安徽蚌埠市B层2026-2027学年第一学期学情调研高二数学试题

蚌埠市B层高二年级2026-2027学年度第一学期学情调研 高二数学 考试时间：120分钟试卷分值：150分命题人：李昊杰审核人：胡波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 % 4 5 6 7 8 A C A B D D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 AC ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（-5,4,-1) 13.2x-y=0或x+y-3=0 14.2 3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.AB+BC-DC=() A.AD B.AC C.BC D.BD 【答案】A 【解析】 【详解】AB+BC-DC=AC+CD=AD 故选：A 2.已知u=(2,-2V3为直线1的一个方向向量，则直线1的倾斜角为() B. 2π 5π c. D. 3 6 【答案】C 【解析】 【详解】因为u=(2,-23)为直线1的一个方向向量， 所以直线1的斜率为k= 2W3 2 所以直线1的倾斜角为 2π 3 故选：C 3.已知直线4：x+2y-1=0和直线，：6a-1x-ay+1=0,则a=上是4∥的() 6 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【解1%，则2a(6a-小-1(-o)=a6g-)=0,解得a=言或a=0, 当a= 则：3x+y-3=0,2:3x+y-6=0,满足412，符合题意； 当a=0,则l:x-1=0,1:x-1=0,两直线重合，不符合题意： 1 综上所述：1∥L2等价于a= 6 所以a=二是4∥，的充要条件 6 故选：C 4.空间内有三点P(3,1,4),E(2,1,),F(1,2,2),则点P到直线EF的距离为() A.V14 B.3√2 c.√5 D.2V3 【答案】A 【解析】 【详解因为厅=，：所以直线旺的一个单位方向向量为a=5（- 3 因为PE=(-1,0,5),所以点P到直线F的距离为PE2-(PE=V26-12=V4. 故选：A 5.空间四边形0ABC中，OA=d,OB=6,OC=,点M在OA上，且OM-2OA,点N为 BC中点，则MN等于() 1 1 A B. 2a+6+c 222 22 221 2 2 C.-a+-b--c D. -ld -a+-b 33 3 【答案】B 【解析】 【详解】 M IN+ANC) N -oi+oi-网+c-om) 2 a* 2 1- = 3a+ 故选：B 6.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，点M满足DM=xDA+yDB+zDC,且x+z=1-y, 则DM的最小值是() A.25 B.2V2 C.4v2 3 3 3 D. 4v5 3 【答案】D 【解析】 由DM=xDA+yDB+zDC和x+y+z=1结合共面向量定理得M、AB、C四点共面， 即点M在平面ACB上，则DM的最小值为点D到平面ACB的距离. ZA D Di. C 不 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,2,0), 所以AC=(-2,2,0),AB=(0,2,-2),DA=(2,0,2), 设平面ACB的法向量n=(x,y,z),则 -2x+2y=0 2y-2z=0 取万=(1，l,1),点D到平面AC,B的距离d= DA·i44V5 33 7.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,若AB⊥BC,则直线AB,与平面BCCB,所成 角的正弦值为() C B B B.V6 D. 2 3 3 7 2 【答案】D 【解析】 【详解】设正三棱柱ABC-AB,C的高为h,即BB=h, 由于AB=BB-BA,BC=BC-B,B,AB⊥BC, 则ABBC=(BB-BAB,C-B,B=0,即BBB,C-BB·BB-BAB,C+BAB,B=0,则 F-2x2x=0,所以h=2 取BC的中点O,连接AO,BO, B 由于底面AABC为等边三角形，AB=2,则AO⊥BC,AO=√3 由于BB⊥平面ABC,AB,AOC平面ABC,所以AO⊥BB,AB⊥BB,且 B=22+2=v6 由于BB,∩BC=B,BB,BCC平面BCCB,所以AO⊥平面BCCB, 所∠1BO为直线AB与平面BCCB所成角，则sin∠AB0=40-5-V2 故选：D 8.己知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则ME.MF的最小 值为() A.-48 B.-32 c.-16 D.0 【答案】B 【解析】 【详解】如图，EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为V82+82+82 =4N5, 2 设外接球球心为O,则OF=-OE, ME-MF =(MO+OE)(MO+OF)=(MO+OE)-(MO-OE) HM0P-|OE2MO2-(4V3)2OM2-48 由于点M在正方体表面上运动， 故|OM2的最小值为球心O与正方体面的中心连线的长， 8 即为正方体棱长的一半，为气4， 所以ME.MF的最小值为42-48=-32， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量à=(1，-1,0)，b=(0,1,-1),则下列说法正确的是() A.向量a,b的夹角为 2 3 B.2a+b=5 C.若O是坐标原点，且OA=a,OB=b,则以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为√3 D.向量a在向量)上的投影向量为二6 2 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A:计算数量积：ab=1×0+(-1)×1+0×(-1)=-1, 模长：同=VP+(-+02=2,=V02+1P+(-1=V2, 夹角余弦：cos(a,b)=a.b=-I 。。1 d6V2×V22 因此a,6=2 ,故选项A正确： 3 选项B:计算：2à=(2，-2,0)，2à+b=(2+0,-2+1,0+(-1)=(2,-1,-1): 模长：2ā+=V22+(-1)2+(-1)2=V6≠V5,故选项B错误： 装项C:以0A,0B为部边的平行四边形销面积S=回sna,6=2x2xsin行-5，放 选项C正确： 选项D:向量a在向量b上的投影向量为： -b a-6=-1,=02+2+(-=2, 代入得： 6-5=, 2 故选项D错误。 故选：AC 10.已知直线：x+y+2a=0,12:x-y-2=0,a∈R,O为坐标原点，则下列说法正确的是 () A1⊥12 B.I与l,过同一个定点 C.若a=1,则1与l关于y轴对称 D.若l与l2交于点M,则OM为定值 【答案】ACD 【解析】 【详解】直线l:ax+y+2a=0,2:x-y-2=0,a∈R, 对于A:因为a×1+(-a)×1=0,所以l⊥12，A选项正确： 对于B:直线l:a(x+2)+y=0过定点(-2,0)，12：x-2-y=0过定点(2,0)，1与l2不过同 个定点，B选项错误： 对于C:若a=1,1:x+y+2=0,12:x-y-2=0,则与l2关于y轴对称，C选项正确： 对于D:若l与l,交于点M,直线l:a(x+2)+y=0过定点P(-2,0),I,:x-2-y=0过定点 2(2,0), 因为1，则PM+Mg2=PO2=16,OM=P9-2为定值，D选项正确： 故选：ACD. 11.正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC,BB,的中点.则() D C B E B A.直线DD与直线AF不垂直 B.直线A,G与平面AEF平行 9 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 8 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A,若DD⊥AF, 因为DD⊥AE且AEOAF=A,所以DD⊥平面AEF, 所以DD⊥EF,所以CC⊥EF,此时不成立，所以线DD与直线AF不垂直，故A正确： B 对于B,如图所示，取BC的中点Q,连接AQ,GQ, 由条件可知：GQ/1EF,AQ11AE,且GQnA2=O,EFAE=E, 又GQ丈平面AEF,EFC平面AEF,AQ丈平面AEF,AEC平面AEF, ∴.GQ/1平面AEF,AQ11平面AEF,又GQ∩AQ=Q, 所以平面AGQ1/平面AEF,又因为AGc平面AGQ, 所以A,G//平面AEF,故B正确： 对于C,因为E,F为BC,CC的中点，所以EF∥AD, 所以A,E,F,D四点共面，所以截面即为梯形AEFD, ，下底A0=V2,腰长为 √2 9 由题得该等腰梯形的上底EF= 2 所以梯形面积为8。故C正确： 对于D,假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的 中点，连接CG交EF于H,而H不是CG中点，则假设不成立，故D错误。 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.点P(5,4,1)关于y轴对称的点的坐标为 【答案】（-5,4，-1) 【解析】 【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得点P(5,4,1)关于y轴对称的点的坐标为P(-5,-4,-) 故答案为：（5,4，-1) 13.过两直线3x+y-5=0,2x-3y+4=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 【答案】2x-y=0或x+y-3=0 【解析】 3x+y-5=0 x=1 【详解】由 ,解得 2x-3y+4=0 (y=21 即两直线交点坐标为(1,2)， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点(0,0)和(1,2)， 2-0 方程为y-0= 1-0 (x-0),整理得2x-y=0: 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为x+y=Q, 将点(1,2)坐标代入方程可得α=3，所以此时直线方程为x+y=3, 整理得x+y-3=0, 综上，所求直线方程为2x-y=0或x+y-3=0 故答案为：2x-y=0或x+y-3=0 14.定义：在空间直角坐标系中，经过P(x,yo,2。)且法向量m=(a,b,c)的平面方程为 a(x-)+b(y-)+c(z-zo)=0,经过P(x,,z)且方向向量i=(A,B,C)(ABC≠0)的直线方程 为二。=y-九=一0.阅读上面材料，并解决下列问题：己知平面α的方程为x-y+2+5=0,直 B C 线l是两个平面x-y+3=0与2x-z+7=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 【省划 【解析】平面a的方程为x-y+z+5=0, ∴.平面x的一个法向量3=(1，-1,1)， 同理，可得平面x-y+3=0的一个法向量1=(1，-1,0)，平面2x-z+7=0的一个法向量p=(2,0,-1), 设平面x-y+3=0与平面2x-z+7=0的交线的方向向量为9=(x,y,z), 则防=x-y=0 gp=2x-2=0'取y=l,则g=(1,12), 设直线1与平面α所成角为0，则 sin0=lcos6,g训= 5 1-1+2 2 可aP+1+P.P+1P+2 3x6=3: 故答案为： 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 已知点A(-4,-3),B(3,-2),直线l经过点P(0,1)与Q(m,8), (1)若l与直线AB垂直，求m; (2)若1与线段AB有交点，求1的倾斜角的取值范围， 【答案】(1)m=-1 3 2)44】 【解析】 【小问1详解】 43=因为1与直线AB垂直，所以k=7, 所以m≠0， 8-1=-7,解得m=-1: m 【小问2详解】 依题意kp4=4-0 -3-1 -2-1 1,kpB=3-0 =-1, 由I与线段AB有交点，当直线I斜率存在时， 则1的斜率的取值范围是(-o,-1]U1,+∞)， 因直线的倾斜角的范围是[0，π)， 故1的倾斜角的取值范围是 若1斜率不存在时，倾斜角为2， 综上，I的倾斜角的取值范围为 π3π 4’4 VA 16.(本小题15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=2,PA1平面ABCD,Q为棱 PD的中点. (1)求证：AQ1PC; (2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值. 【答案】 【解析】 【小问1详解】 (1)因为PAI平面ABCD,底面ABCD是正方形，即AB⊥AD, 故以点A为原点，以向量AB,AD,AF为X,y,z轴的方向向量，建立空间直角坐标系， 0 则A(0,0,0),D(0,2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),Q(0,1,1) 故A0=(0,1,1),PC=(2,2,-2): 则A0·P元=(2,2，-2)·(0,1,1)=0，则A01PC,则AQ1PC. 【小问2详解】 设直线PC与平面ACQ所成角为0(0<0<) 所以，直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为 PCn V12×3 所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为号 17.(本小题15分) 如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1， 且两两夹角为60°.设AB=a,AD=b,A4=c. (I)用{a,b,C为基底表示向量BD,并求BD,的长： (2)求cos(BD,AC)的值 【答案】(1)BD=b+c-a,√2 (2) 6 6 【解析】 【小问1详解】 记AB=a,AD=b,AA=c, 则d=6=d=1,(a,b)=(6,c=(c,d)=60°， :a-b=i-c=cd=2D=A+8c+服=-B+而+队=b+c-a. →→ BD=(6+c-a}=a+6+c+2bc-2ca-2a-6=1+1+1+1-1-1=2. “BD=V2,即BD,的长为2： 【小问2详解】 AC=a+i,故AC2=a2+2a.b+6=1+1+1=3, 故AC=5, 由(1)知BD=i+c-a,BD=V2 BDiAC-(B+c-a)-(a+b)-B-a+B+a-c+B.c-a-a.B =6+ac+6-c-a=1+t-1=1, →2 22 .:.cos(BD,AC)= BD·AC 1 _V6 BDAC2×N5-6 18.(本小题17分) 己知直线1：(2-√3x-y=0的倾斜角与直线L2:x+y+入=0的倾斜角之和为60°. (1)求入的值： (2)点Mxo,yo)在直线L2上运动. (i)若xo∈[-3,1]，求0+3 x0-2 的取值范围： (i)点A(-1,2),B(0,3),求当MA+IMB取得最小值时直线AM的方程. 【答案】解：（①）直线1的斜率k1=2-√3，倾斜角为a1, 直线1，的斜率k2=-2,倾斜角为2， 因为a+a,=60°，所以tam(a,ta)-√3， 1-k1k2 解得k2=1,故=-1： (2)①由(1)可知，直线12：x-y+1=0, 要表示点Ky)与点(23)连线的斜率，作出图形如图所示。 4 3 2 -4-3-21101234x T -3 4 记P(2,-3),T(-3,-2),N(1,2),9k, 0-2 其k广兴台k器5， 观察可知，kPNk≤kpT, 所以g的取值范围为5，引 ()作点B(0,3)关于直线1的对称点B'(m,n), 3.1=-1 则 m 解得子故BaD。 t3+1-0 此时IMA+MB=|MA+MB2AB 2-11 KAM-KAB=1-2一 故直线AM的方程为y-1=-(x-2), 即x+3y-5-0. 19.(本小题17分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD L CD,AD=2DC=2,AB=AC, BC=√IO,△PAD是以PD为斜边的等腰直角三角形. ò D (1)证明：AB⊥PC. (2)在棱PC上是否存在点M,使得平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为7？若存在，求出 17 器的值：若不布在，请说明理由 (3)在棱PA上是否存在点N,使得三棱锥N-BCD外接球的球心在平面ABCD内？若存在，求出AN 的长度；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)证明见解析 PM 1 Q存在，PC3 ③存在，AW=V30 【详解】(1)证明：因为AD=2DC=2,AB=AC,BC=V10,AD⊥CD, △PAD是以PD为斜边的等腰直角三角形 所以AB=AC=√5，AB2+AC2=BC2,即AB LAC 因为平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥PA,平面PADO平面ABCD=AD,PAC平面PAD, 所以PA⊥平面ABCD,因为ABC平面ABCD, 所以PAL AB,因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以AB⊥平面PAC,因为PCc平面PAC, 所以AB⊥PC (2)由(1)知AB,AC,AP两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 40ao叭.a5ao.ce50.P0a2,0350 A C y B 0(居者小币-aa.e-a 设PM=PC=(0,5,-2,e[0,1] 所以AM=AP+PM=AP+PC=(0,V5,2-2), 设平面ADM的法向量为=(x,y,z）, m=0即方+5=0 mAD=0 [2x 4 则 ,令==√51，则y=22-2,x=41-4, V5y+(2-2)z=0 所以m=(4-4,22-2,5, 又平面ABCD的法向量为n=(Q,01),平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为 17 所以小os(m 5 7 V(4-42+(22-2)2+5e17 整理得32+2入-1=0，解得2=或入=-1（舍 所以，当M为棱PC靠近点P的三等分点时，平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为 17 ,此时 PM 1 PC3 (3)假设棱PA上存在点N,使得三棱锥N-BCD外接球的球心在平面ABCD内， 设三棱锥N-BcD外接球的球心O(a,b,0),N(0,0,t),t∈[0,2] 所以三棱锥N-BCD外接球的球心O(a,b,O)到B,C,D,N的距离相等， (a-5+B=d+b-5 「OB=OC 即{OC=OD, OD=ON 口+6-矿)： 房j6)-+8f 解方程得ab=怎i=e斗 6】 所以，棱PA上存在点V,使得三棱锥N-BCD外接球的球心在平面ABCD内，此时W=V30 3蚌埠市B层高二年级2026-2027学年度第一学期学情调研 高二数学 考试时间：120分钟试卷分值：150分命题人：李吴杰审核人：胡波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.AB+BC-DC=() A.AD B.AC C.BC D.BD 2.已知u=(2,-2V3为直线1的一个方向向量，则直线1的倾斜角为( ) B 6 3.已知直线：x+2a@y-1=0和直线：(3a-1x-四+1=0，则a=二是4/1，的（） 6 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.空间内有三点P(3,1,-4),E(2,1,1),F(1,2,2),则点P到直线EF的距离为( A.V14 B.3V2 c.√ D.23 5.空间四边形0ABC中，OA=a,OB=6,OC=c,点M在OA上，且OM=oA,点N为BC中 点，则MN等于() B-2at161 d+b+-d 2 2 322 2 C. D. 2a+261 3362 6.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点M满足DM=xDA+yDB+zDC,且x+z=1-y, 则DM的最小值是() 4.25 B.2V2 C.4v2 D.4v5 3 3 3 7.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=2,若AB,⊥BC,则直线AB与平面BCCB所成角的 正弦值为() 1 A.V3 B.6 C21 D.2 3 3 7 2 8.己知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则ME.MF的最小值 为() A.-48 B.-32 C.-16 D.0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量ā=(1，-1,0)，b=(0,1,-1),则下列说法正确的是() A向量a,b的夹角为2元 3 B.2a+b=5 C.若O是坐标原点，且OA=a,OB=b,则以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为√3 D.向量a在向量方上的投影向量为 1 10.己知直线l:x+y+2a=0,2:x-y-2=0,a∈R,O为坐标原点，则下列说法正确的是() A.1⊥12 B.与2过同一个定点 C.若a=1,则1与l关于y轴对称 D.若l与L2交于点M,则OM为定值 11.正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC,BB,的中点.则() D C B F D B A.直线DD与直线AF不垂直 B.直线AG与平面AEF平行 9 C.平面AEF截正方体所得的截面面积 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.点P(5,4,1)关于y轴对称的点的坐标为 13.过两直线3x+y-5=0,2x-3y+4=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 2 14.定义：在空间直角坐标系中，经过P(,y,2o)且法向量m=(a,b,c)的平面方程为 a(x-x)+b(y-y)+c(z-zo)=0,经过P(xo,yo,z)且方向向量n=（A,B,C)(ABC≠0)的直线方程 为二龙=y-一必=二0.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面α的方程为x-y+z+5=0,直 B 线l是两个平面x-y+3=0与2x-z+7=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知点A(4,-3),B(3,-2),直线1经过点P(0,1)与Q(m,8) (1)若l与直线AB垂直，求m: (2)若1与线段AB有交点，求I的倾斜角的取值范围， 16.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=2,PA⊥平面ABCD,Q为 棱PD的中点. (1)求证：AQ⊥PC, (2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值. 17.(本小题15分) 如图所示，四棱柱ABCD-AB,CD,中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且 两两夹角为60°.设AB=a,AD=b,AA=c. (1)用{a,6,C为基底表示向量BD,并求BD的长： (2)求cos(BD,AC)的值 3 18.(本小题17分) 已知直线l1:(2-√3x-y=0的倾斜角与直线l2:x+y+入=0的倾斜角之和为60. (1)求入的值： (2)点M(xo,y0)在直线L2上运动， ()若x∈[-3,1，求0t x0-2 的取值范围： (i)点A(-1,2),B(0,3),求当MA+IMB取得最小值时直线AM的方程. 19.(本小题17分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD1CD,AD=2DC=2,AB=AC, BC=√IO,△PAD是以PD为斜边的等腰直角三角形. D C B (1)证明：AB⊥PC, (2)在棱PC上是否存在点M,使得平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为17 若存在，求出 17 P4的值：若不存在，请说明理由， P (3)在棱PA上是否存在点N,使得三棱锥N-BCD外接球的球心在平面ABCD内？若存在，求 出AN的长度；若不存在，请说明理由. 4