天津市第二南开学校2026-2027学年度高三年级第一学期固本计划阶段检测数学试题

答案与解析 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 9 C C B B D 二、填空题 10.2V2 11.-84 12.12 212 13.5:25 14.2:2/0.5 J 15.3 三、解答题 16.【答案】解：(1)已知函数 4,xER f(x)=cosx sinxcos 则 4 1 =sinxcosx-- 21 cosx+V3 sin2x-v3 +cos2x)+5 4 sin2x-v3 cos2x 4 1 2二下 又2 即f()的最小正周期为兀， 由 2,得 12 2km+T≤2x-元≤2km 由 3 3元k +5πsx≤m+1l匹(keZ) 2,得12 12 所以函数单调增区间为 12(kez) a 5,k+ 12/(keZ) 函数单调减区间为 1 ππ (2)由于 L4'4 5ππ 所以 36'6 1 1 故函数的最小值为2，函数的最大值为4 f(x)-sin2x- 【解析】(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 ), 利用正弦函数 的性质即得； (2)利用正弦函数的性质即求. 本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了三角函数的性质，属中档题. 17.【答案】 2W22 21 (1)见解析(2)11(3)11 【解析】 )证明：取CB中点E,连接NE,ME,由N是BC的中点，得NE/CC,月NE -CC ,由 M是DD的中点，得 M=号Dn=5CG ,且DMCC,则DMNE,D,M=NE,所以四边形 DMEN是平行四边形，所以D,NME,又MEC平面CB,M,D,Nc平面CB,M,故D,N∥平面 CBM (2)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有(0,0,0)，B(2,00),B(2,0,2),M(0,1,). C1,1,0),G(1,12),则CB=(,-1,2),CM=(10,1),BB=(00,2）,设平面CBM的法向量 m.CB,=x-y+231=0, 为m=(,),【mCM=-X+名=0，取￥=1，则m=(3,）,设平面BBC,C的法向量为 i.CB,=x2-y2+22=0, i=(x2,y2,22). n.BB=2z2=0, 取名=1，则i=(1,0) n)= m元 1+3 2√22 所以Cos(m m园√1+9+1×1+111 2W22 故平面CBM与平面BB,CC的夹角的余弦值为11， (3)因为BB=(0,0,2),平面CBM的法向量为成=(L3,1),所以点B到平面CBM的距离为 BB·m d= 2_2 V1+9+111 【解析】略 18.【答案】（1)证明： sin(4-B)sin(4-C) 由题知cosB cosC 所以sin(A-B)cosC=sin(A-C)cosB sinAcosBcosC-cosAsinBcosC=sinAcosCcosB-cos AsinCcosB, 所以cosAsinBcosC=cosAsinCcosB 因为A为锐角，即C0sA≠0， 所以sinBcosC=sinCcosB, 所以tanB=tanC, 所以B=C 25 (2)16. 【分析】 (1)运用两角和与差正弦进行化简即可： b 1.1 asinC 2RsinA.- =bsinA=1 (2)根据(1)中结论运用正弦定理得 2R 然后等量代换出a2b2,再 运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【详解】 (1)略： (2)由(1)知：B=C, 所以sinB=sinC, 因为asinC=l, 1=sinc 所以a 因为由正弦定理得：a=2 RsinA. sinB=b Γ2R, 所 asinC=2Rsind. 2R =bsin4=1 1 =sinA 所以b 因为A=π-B-C=π-2C, 1 =sinA=sin2C 所以b 11 所以a2b2=sin2C+sin22C2 Cowc) 2 因为△ABC是锐角三角形，且B=C, 爪 <C< 所以42， <2C<T 所以2 所以-1<cos2C<0 os2C=-1 1.1 25 当 时，ab取最大值为16， 1.1 25 所以a2b2最大值为：16 b=c=2 19.【答案】【详解】(1)由题 V ,从而a=B2+e2=2, x2,y2 √2 =1 e= 所以椭圆方程为42，离心率为2 (2)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， B 设直线AB的方程为'=+≠01>V),A(,y),B(,)】 联立化简并整理得1+2k2)x2+4+2r2-4=0 由盟意得△=167-8(2+-2)=8(4+2-)>0，即k,1应满足42+2-产>0， -4t2t2-4 所以+61+2派，2+1. 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(,片)， y=4-2(x-x)+y 所以直线AD的方程为，+七 令x=0. =+-++低+0.2++).2到1=？1 得 x1+x2 x1+x2 x1+X2 -4kt t 所以t=2, 、② k>2 此时k应满足 2,或2， 综上所述，t=2满足题意，此时 g 【解析】【分析】(1)根据已知条件可得：b=c=V2,进而求得a,由此即可求解方程及离心率； 2设直线4B的方程为”=+k≠0,1>V),4(,）,B(,),联立稀圆方程， -4kt 2t2-4 由韦达定理可得：写+1+2及，52以2+1，表示出直线D的方程为 y=名二2(x-x)+ x+x2 ,令x=0即可求解t的值，最后根据△>0求解k的取值范围. 20.【答案】1Df)=2r+ 1 x, 则f'(0)=3.f0)=1 所以曲线=()在点（，f(0》处的切线方程为y-1=3(x-),即y=3x-2 (2)(i)g(x)=x2-ax+Inx g(y=2x-a+-2r-ar+6x>0) xx :x=1时，g()取得极值，六8(0=2-a+1=0,解得a=3, g6x)=2-3x+1_2x-106e-） 令8()>0，得 0<x< 2或x>1,令8'()<0，得2 <x （x)的单调增区间为(2 (1,+o）. 8'()=2r2-ar+1 (x>0) () “g(x)存在两个极值点， 方程8()=0，即2x2-m+1=0在(0，+∞）上有两个不等实根 △=a2-8>0 巴xx=2>0 3+20.解得a>2V2 g(x)-g(x）_x号-ax2+lnx2-x2+ax-lnx 则 X2-x x2-X =x2+X1-a+ Inx,Inxi a Inx2 Inx x2-X 2 x2-x 8(x)-8(）>4anx,-lnx>4 ·所证不等式 X2-X a2等价于为-xa, In,-Inx 2 即五x+x, X2-1 In>2 x+1 不妨设>>0，即证 X1, t=点>10)=1r-2-9 令 t+1,te(+o) 0=}4=-=少>0 则 Γt(t+1)2tt+1)2 ∴h0在(，+o)上递增，h)>h0=0, x2-1 .In2>2 x+1 x 成立， :8s)-8s)4a x2-1 a 2 【解析】 (1)求导，再根据导数的几何意义即可得解： (2)(i) 图国2-口2四30山8得板值，所以80=0，求 a,进而可求出函数的单调区间： ( g'()=2r2-ax+1 x >0,g()存在两个极值点，即方程8'()=0，在0，+切)上有两个不等 △>0 七x2>0 g(x2)-g(x)4_a Inx2 -Inx4 实根，所以，+>0 而 X2-x a2等价于一xQ,构造函数即可得证. 方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： (1)直接构造函数法：证明不等式(>8()（或f()<8(:)转化为证明(，）-8()>0（或 f()8(冈<0)，进而构造辅助函数h(:)=f()8(: (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 2026-2027学年度高三年级第一学期固本计划阶段检测 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分， 考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！ 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 5．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则下列说法错误的是（ ） A．若，分别是直线，的方向向量，则，所成角余弦值是 B．若，分别是直线的方向向量与平面的法向量，则与所成角正弦值是 C．若，分别是平面、平面的法向量，则二面角的余弦值是 D．若，分别是直线的方向向量与平面的法向量，则与所成角余弦值是 7．若，且，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 8．设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．5 D．4 9． 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数满足，则                        ． 11．在的展开式中，项的系数为                        ． 12．在正四棱锥中，，，如图，首先将一个半球（半径为）水平放置于四棱锥的内部，其球心与四边形的中心重合，随后将另一个球（半径为）放置于该半球正上方（两球相切），使得该小球与正四棱锥的四个侧面均相切，则                        ． 13．天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目．为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同）的抽奖箱中，随机抽取2个球．若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2个球颜色不同，则获得“B组票箱”．第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”；“B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”．游客从获得的票箱中，随机抽取2张票．若某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为            ；某游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为            ． 14．已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为            ． 若，设为任意实数，的最小值为            ． 15．若，若对任意实数，都有恒成立，则的最大值为            ． 三、解答题：本题共5小题，共75分． 16．（本小题14分）已知函数． （1）求的最小正周期和单调区间；（2）求在闭区间上的最大值和最小值． 17．（本小题15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18．（本小题15分）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求证：；（2）若，求的最大值． 19．（本小题15分）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点A和点的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线的斜率为0，求的值和的取值范围． 20．（本小题16分）设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $