第4章·一元一次方程·期中复习·培优提高讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第4章·一元一次方程·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元一次方程的概念，能判断方程是否为一次方程 · 掌握等式的两条性质，会利用等式性质变形方程 · 掌握去括号、去分母、移项、合并同类项等解方程步骤 · 能列方程解决行程、销售、配套、工程等实际问题 · 能借助数轴、绝对值解决含参数的方程与动点综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次方程的概念与方程的解 一元一次方程：只含一个未知数、未知数次数为1、两边都是整式的方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值 检验：把未知数的值代入方程左右两边，看是否相等 概念辨析例题：下列方程中是一元一次方程的是：x2=4、2x+3=7、=1 答案：2x+3=7是一元一次方程 解析：x2=4含二次项，=1分母含未知数，均不是一元一次方程 ☆ 2.等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 变形技巧：移项是性质1的应用，系数化1是性质2的应用 概念辨析例题：若a=b，则a-3与b-3的关系是什么？ 答案：a-3=b-3 解析：根据等式性质1，等式两边同减3，结果仍相等 ☆ 3.解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，分子是多项式时要加括号 去括号：用乘法分配律，注意负号去括号后各项变号 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号 概念辨析例题：解方程：3x+5=2x+9 答案：x=4 解析：移项得3x-2x=9-5，合并得x=4 ☆ 4.解方程与参数综合 已知方程的解求参数：把解代入方程，转化为关于参数的方程 方程解的关系：同解方程的解相同，可列方程求参数 含参数的方程：先解出含参数的解，再根据条件确定参数范围 概念辨析例题：若x=2是方程ax-3=5的解，求a的值 答案：a=4 解析：把x=2代入得2a-3=5，解得a=4 ☆ 5.一元一次方程的应用 行程问题：路程=速度×时间，相遇、追及问题找等量关系 销售问题：利润=售价-进价，利润率=×100% 配套问题：按比例配套，设一个未知数列方程 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，合作总量为1 概念辨析例题：某商品进价80元，售价100元，利润率是多少？ 答案：25% 解析：利润为100-80=20元，利润率=×100%=25% ☆ 6.数轴动点综合 数轴上两点距离：右侧点坐标减左侧点坐标 动点表示：初始位置±速度×时间 绝对值方程：分情况讨论，结合数轴画图分析 概念辨析例题：数轴上点A表示2，点B表示7，AB的距离是多少？ 答案：5 解析：距离为7-2=5，即大数减小数 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次方程 含一个未知数、次数为1的整式方程 分母不能含未知数 等式的性质 性质1加减；性质2乘除（除数不为0） 除以的式子不能为0 解方程步骤 去分母→去括号→移项→合并→系数化1 去分母分子加括号、移项变号 方程的解 使方程左右两边相等的值 代入检验，求参数也代入 应用问题 设未知数→找等量关系→列方程→解方程 单位与作答要完整 数轴动点 距离=大减小；位置=起点±速度×时间 注意方向与绝对值讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元一次方程的概念与方程的解（第1-6题） · 判断一元一次方程：一个未知数、次数为1、整式方程三个条件 · 方程的解代入检验，或由解求参数 · 注意分母含未知数的方程不是一元一次方程 1．（23-24七年级上·山东临沂·期中）当关于的方程的解为时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程即可求解. 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．据此解答即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元一次方程，故选项错误； B、最高次数是2，故选项错误； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故选项错误； D、是一元一次方程，故选项正确． 故选：D． 3．（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：C． 4．（23-24七年级上·江苏南京·期末）若是方程的解，则________． 【答案】/ 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查方程的解以及解一元一次方程，将代入得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：将代入， 得：， 即， 解得， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则______. 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，据此解答即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为_____． 【答案】 【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据题干定义的奇异方程，找到，之间的代数等量关系是解决问题的关键．方程的解为，因为它又是奇异方程，所以解为，两式相等即可找到，之间的代数等量关系，代入关于的方程即可求解． 【详解】解： ， ， 又 为奇异方程， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点2】等式的性质（第7-10题） · 等式两边同加同减同乘，同除以非零数结果仍相等 · 移项依据性质1，系数化1依据性质2 · 除以含字母的式子时注意其是否为0 7．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 【答案】C 【知识点】等式的性质1 【分析】由第一次天平得，由第二次天平得，进而代入即可求解． 【详解】解：由题意得，第一次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 第二次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 将代入上式得， 解得， ∴． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据等式的基本性质，如果，那么下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的加减乘除（除数不为零）运算，等式仍然成立．选项B中，不一定成立，因为时，a和b可能不为零． 【详解】解：∵， ∴对于A：，两边同减c，正确； 对于B：，当时，，错误； 对于C：，两边同除以3，正确； 对于D：， ∵， ∴， ∴，正确． 故选：B． 9．（22-23七年级上·广西贺州·期中）若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】此题主要考查了等式的性质，直接利用等式的基本性质分别判断得出答案． 【详解】：A、，∴，故本选项错误，不符合题意； B、，，故本选项错误，不符合题意； C、，，故本选项错误，不符合题意； D、， ，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 10．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】③④ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、多个有理数的乘法运算、等式的性质2 【分析】先根据变形得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再根据已知绝对值的大小关系判断，的符号关系，分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故④正确； 且， ∵， ∴等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． ∵， 假设，异号，则， ∵， ∴， ∴，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，，必为同号，故②错误． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时； 当时，，，此时， 因此不一定成立，故①错误． 综上，正确结论的序号是③④． 【考点3】解一元一次方程（第11-17题） · 按步骤求解，去分母乘最小公倍数、分子加括号 · 去括号注意负号，移项要变号 · 解后代入原方程检验 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．由第一个方程的解代入得到 的关系式，然后将第二个方程化简，利用该关系式求解，即可作答． 【详解】解：∵方程 的解为， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 移项得， ∴， 把代入，得， ∵， ∴， 故选：D． 12．（25-26七年级上·四川广元·期末）下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质2 【详解】解：A选项，方程，系数化为1得，原变形错误； B选项，方程，移项得，原变形正确； C选项，方程，去括号得，原变形错误； D选项，方程，去分母得，原变形错误. 13．（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程 的解为____ ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用，解题的关键是先利用美好方程的定义求出对应方程的解，再通过换元法求解关于的方程． 先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】解：，得. ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得. 故答案为：. 14．（24-25七年级上·江苏·期末）解方程：． 【答案】． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【点睛】本题考查了解一元一次方程．根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项， 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 15．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】（1） 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，． 16．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解一元一次方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，根据解一元一次方程的方法求解即可，掌握去分母解一元一次方程的方法是解题的关键，注意符号变换． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点4】解方程与参数综合（第18-25题） · 已知解求参数：解代入方程列关于参数的方程 · 同解方程：先解出已知解的方程，再代入含参方程 · 程序流程图：逐步运算逆推 18．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 19．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】把代入，得出，解一元一次方程即可求出a的值． 【详解】解：把代入得：， 则， ∴． 20．（2024·广西钦州·三模）设，为有理数，定义新运算： ．例如： ，若 ，则的值为________． 【答案】或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 21．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是________． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解的定义；关键是在两个方程中寻找解之间的关系； 通过对比两个方程的形式，发现第二个方程中的“”相当于第一个方程中的“”，因此利用第一个方程的解直接求解． 【详解】解：第一个方程 的解为 ， 第二个方程 可视为将第一个方程中的 替换为 ， 因此 ，解得 ． 故答案为：． 22．（25-26七年级下·重庆垫江·阶段检测）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】先解关于x的一元一次方程，得到用含m的代数式表示x，再根据x是非负整数、m为整数，确定所有符合条件的m的值，最后计算所有符合条件的整数m的和即可． 【详解】解： 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∵原方程有解， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解是非负整数， ∴，且x为整数， 当时，把代入原方程得，此时等式不成立，故， 为正整数， ∴是负整数， ∵且是整数， ∴为负整数，且是的约数， 的可能取值为， ∴m的值是或或或， ∴符合条件的所有整数m的和为． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如果关于的方程和的解相同，那么______． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分别解两个方程求出对应方程的解，由于两个方程的解相同，则可得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：解第一个方程，得， 解第二个方程，得 ∵关于的方程和的解相同， ∴， 解得， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若开始输入的x是正整数，最后输出的结果是239，则满足条件的x的值都有______． 【答案】27或80/80或27 【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，根据题意列出方程求解是解题的关键．根据运算程序列出方程求出x的值，然后把求出的x的值重新输入继续求解，直至x不是正整数为止． 【详解】解：当时， 解得， 当时， 解得， 当时， 解得， 因为开始输入的x是正整数， 所以满足条件的x的值有27和80， 故答案为：27和80． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【考点5】已知方程的解求参数（第26-29题） · 把已知解代入方程，转化为参数的一次方程 · 注意方程组中解的对应关系 · 求得参数后再回代验证 26．（2025七年级上·全国·专题练习）若 是方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程解的定义，利用方程解的定义求出是解题的关键．将代入方程求出 的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 即， ， ， 故选：A． 27．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知关于的一元一次方程（为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 【答案】7 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了解一元一次方程，解方程得，从而得出，解方程得出，从而得出，求解即可，熟练掌握解一元一次方程的解法是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 关于的一元一次方程（为常数，且）的解为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 28．（23-24七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 【答案】(1)是“美好方程”， 解方程得， 解方程得， 因为， 所以这两个方程是“美好方程”； (2) 14 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解方程得， 根据题意，方程的解为：， 所以， 解得． 29．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键．根据小林的错误解法求出a的值，然后根据正确方程求出其解即可． 【详解】解：， 去分母时，方程右边的漏乘了6，所以， 解得， 因为此时方程的解为， 所以， 解得， 所以正确的方程为， ， ， ， ． 【考点6】销售与配套问题（第30-36题） · 销售：利润=售价-进价，利润率=利润÷进价 · 配套：找配套比例，设未知数列方程 · 注意打折、盈亏的实际意义 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商店以每套元的价格卖出两套喜乐牌套装书写笔，其中一套盈利，另一套亏损，则该商店在这次买卖中（   ） A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．赚了元 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握利润等于进价乘以利润率，正确的列出方程． 设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为，，根据题意，得到，，分别求出，的值，再利用，得出结果后即可得出结论． 【详解】解：设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为，， 根据题意得：，， 解得：，， 元， 该商店在这次买卖中亏了元， 故选：C 31．（24-25七年级上·云南红河·期末）一箱某品牌秋月梨的原价为元，中秋节当天，商家为回馈新老客户，按原价的九折销售，仍可获利，则每箱该品牌秋月梨的进价为__________元． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程；先计算九折后的销售价，再根据利润率公式建立方程求解进价． 【详解】解：原价为元，九折销售，销售价为元． 设每箱进价为元，根据获利，销售价为元． 列方程，解得． 故答案为． 32．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）某商品按价格180元出售仍可获利，则该商品进价是______元． 【答案】150 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设商品的进价为元，根据按价格180元出售仍可获利，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设商品的进价为元，由题意，得：， 解得：； 答：该商品进价是150元． 故答案为：150． 33．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设安排x名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名，根据配套关系，小饰品数量应是大花瓶数量的2倍，列出方程求解． 【详解】解：设安排名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名， 由题意得， 解得， 故答案为：5． 34．（23-24六年级下·全国·假期作业）一机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，那么需要安排_________名工人加工大齿轮，_________名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套． 【答案】 25 60 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，设安排x名工人加工大齿轮，根据如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套列得方程求解，正确理解题意列得一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，根据题意得 ， 解得 ∴安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮， 故答案为：25，60． 35．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）某工厂需要在20天内生产1200台电子产品．已知每台电子产品由4个装置和3个装置配套组成．工厂现有80名工人，每名工人每天能生产6个装置或者3个装置． (1)该工厂安排多少名工人生产装置，剩余工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套？ (2)工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立生产装置，且每人每天只能生产4个装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 【答案】(1)安排32名工人生产装置，48名工人生产装置 (2)补充新工人后每天能配套生产64套产品，补充新工人后20天内能完成总任务 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设安排名工人生产型装置，则安排名工人生产型装置，根据“生产的装置总数每人每天生产的数量人数”结合每台、型产品由4个型装置和3个型装置配套组成，即可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出结论； （2）设安排名工人生产型装置，则安排名工人及40名新工人生产型装置，同（1）可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出补充新工人后每天能配套生产的套数，进而可求出20天生产的总数，与1200比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设安排名工人生产型装置，则安排名工人生产型装置， 依题意，得：， 解得：， ． 答：应安排32名工人生产装置，48名工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套． （2）解：设安排名工人生产B型装置，则安排名工人及40名新工人生产型装置， 依题意，得：， 解得：， ． ， 补充新工人后20天内能完成总任务． 答：补充新工人后每天能配套生产64套产品，补充新工人后20天内能完成总任务． 【考点7】行程与工程问题（第37-40题） · 行程：路程=速度×时间，画线段图找等量关系 · 工程：工作量=效率×时间，设总量为1 · 合作问题：效率相加 36．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 37．（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）“要致富，先修路”，某村为了更方便的运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为50天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程? 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要30天，乙工程队单独完成此项工程需要20天 (2)甲、乙还需合作10天才能完成此项工程 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据等量关系，列出方程． （1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，列出方程，解方程即可； （2）设甲、乙还需合作y天才能完成此项工程，将整个工程量看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ， 解得：， （天）， 答：甲工程队单独完成此项工程需要30天，乙工程队单独完成此项工程需要20天． （2）解：设甲、乙还需合作y天才能完成此项工程，根据题意得： ， 解得：， 答：甲、乙还需合作10天才能完成此项工程 38．（3.3一元一次方程的应用（7种题型基础练 能力提升练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024））甲、乙两人骑自行车分别从、两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇．相遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达地．甲每小时行多少千米？ 【答案】12千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用行程问题，审清题意找到等量关系是解决问题的关键． 设甲每小时行千米，根据“甲行驶1.5小时的路程千米甲继续行驶1小时的路程千米”列出方程并解答． 【详解】解：设甲每小时行千米，则： ． 解得． 答：甲每小时行12千米． 39．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段检测）甲乙两港口相距，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行速度为，水流速度为，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间的距离． 【答案】甲港口到丙港口之间的距离为． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设甲港口到丙港口之间的距离为，根据该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，列方程即可求解． 【详解】解：设甲港口到丙港口之间的距离为，由题意得： ， 解得， 答：甲港口到丙港口之间的距离为． 【考点8】其他应用问题（第41-47题） · 几何、数字、电费水费等：找关键词转化为等式 · 分段计费：分情况列式 · 数字问题：设十位、个位数字列方程 40．（23-24七年级上·广东广州·阶段检测）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了32平方厘米。则这个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设正方形的边长是，根据面积相应地增加了，即可列方程求解． 【详解】解：设正方形的边长是，根据题意得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了列方程解应用题，正确列方程是关键． 41．（25-26七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的应用，正确理解“盈”和“不足”的含义是关键． 根据物品价格相等列方程即可． 【详解】解：∵每人出8钱，盈3钱， ∴物价为； ∵每人出7钱，不足4钱， ∴物价为． ∴． 故选：A． 42．（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 43．（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，，C是线段延长线上一点，M为线段的中点，在线段上存在一点N（点N在点M的右侧且点N不与B，C两点重合），使得且，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2或3 D．2 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用，设，则， ，根据线段中点的定义得到，则，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 44．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“坚持不懈”这四个字表示的数之和为_______． 坚 持 不 0 懈 【答案】22 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等得，解方程求出，对四个字表示的数分别进行求解，即可求解；理解题意得到方程，求出是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ， ， 懈懈持， “持”表示的数为； 不， “不”表示的数为； 坚， “坚”表示的数为； 懈， “懈”表示的数为； “坚持不懈”这四个字表示的数之和为： ， 故答案为：． 45．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过______秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分两种情况：①点M、N在点O的两侧时，②点M、N重合时，分别列方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等， ①点M、N在点O的两侧时，， 解得， ②点M、N重合时，， 解得， ∴经过或，点M、点N分别到原点O的距离相等， 故答案为：或． 46．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．根据题意得到小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”，然后列出方程求解即可． 【详解】解：（元） （元） （元） ， 小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设小亮家去年实际用水量为，根据题意可知： 解得 答：小亮家去年的实际用水量是． 【考点9】数轴动点综合（第48-52题） · 动点坐标：起点±速度×时间，注意方向 · 两点距离：大数减小数，结合绝对值 · 分类讨论：点在左、在右分别列式 47．（23-24七年级上·四川德阳·阶段检测）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2023次后点B所对应的数是（    ）    A．不对应任何数 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】根据是等边三角形，找出它的运动规律并进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环 ∵， ∴翻转2023次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，找到的运动规律是解决此类问题的关键． 48．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动___________秒时，点恰好是的中点． 【答案】或或或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设运动时间为秒，分四种情况：和和和时，分别列方程可得答案．找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】解：设运动时间为秒， ∵动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，且， ∴动点从点到点的时间为：（秒）， ∵当第一次回到点时两个点同时停止运动， ∴的取值范围是：， ∵点是的中点， ∴， 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 综上所述，当点运动或或或秒时，点恰好是的中点． 故答案为：或或或． 49．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）规律发现： （1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空： ①点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ②点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ③发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______． 直接运用： （2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则的值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字对应的点将与的顶点______重合． 类比迁移： （3）如图（2），，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【答案】（1）；；；（2），；（3）或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程，数轴与几何的综合，解题的关键是掌握数轴的性质，角平分线的性质，一元一次方程的应用，进行解答，即可． （1）根据数轴的性质，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，解出，求出，，对应的点；然后根据等边三角形以为周期交替出现，即，则，即可； （3）根据题意，求出，，的角度，设运动时间为秒，分类讨论，求出的取值范围；再根据其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线，分类讨论：当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线，求出，即可． 【详解】（1）∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． ∵点表示的数为，点表示的数为：， 设， ∴， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． （2）∵是等边三角形， ∴， ∵设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 解得：， ∴点表示的数为，点表示的数为，表示的数为， ∴的边长为， ∵将从图中位置向右滚动，且以为周期交替出现， ∴到之间有：个数， ∴， ∴数字对应的点将与的顶点重合． 故答案为：；． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当与重合时， ∴， 解得：； 当与重合时， ∴， 解得：； 当与重合时， ∴， 解得：； ∵当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动， ∴， 当与重合时，， ∴， 解得：； 当与重合时，， ∴， 解得：； 当与重合时，， ∴， 解得：； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， 解得：，不符合题意． 综上所述：当或或，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 50．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【阅读材料】数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，、两点之间的距离为 【初步感知】 (1)如图1，、两点之间的距离为_____； (2)数轴上表示和3两点之间的距离为_____；的含义是数轴上表示与_____的两点之间的距离； 【拓展研究】 (3)在数轴上，表示数的点在与之间移动时，可以发现的值总是一个固定值，这个值是_____； (4)若动点分别从和同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒()，当为何值时，两点之间距离为3？ 【答案】(1)；(2)；-；(3)；(4)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）利用两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意可知，，计算即可； （4）用代数式表示出，，列式求解即可． 【详解】解：（1）、两点之间的距离为； 故答案为：； （2）数轴上表示和两点之间的距离为； 的含义是数轴上表示与两点之间的距离； 故答案为：；； （3）由题可知，， ， 故答案为：； （4）秒后，表示的数： 表示的数： 距离为， 令， ， ； ， ， 故或． 51．（23-24七年级上·福建厦门·阶段检测）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足． (1)求x、y的值． (2)点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，直接写出的最小值是__________；的最小值是__________． (3)数轴上有一点M，使得，求点M所对应的数． 【答案】(1) (2)8； (3)点M所对应的数为或6 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据两个非负数之和为0，这两个数都为0，就可以解出x、y； （2）先确定取最小时，P的范围，再确定取最小值时P的范围，即可求出最小值； （3）设M点所对应的值为m，在根据等式代入线段长，就可以求出m的值． 【详解】（1）解：， 又， ， 解得：； （2）解：当P在之间时，， 当P在A点左边时，， 当P点在B点右侧时，， 所以，的最小值是8， 因为D点是 的中点， 所以D点所对应的数为， 的中点所对应的数为， 当P点为时，， 当P点对应的数小于时，， 并且P点在D点左侧， 当P点对应的数大于0时，， 所以的最小值为； 故答案为：8； ； （3）解：设M点的坐标为m， 当时，， ， 解得：， 当时，，不合题意， 当 时，， ， 解得：， ∴使得，点M所对应的数为或6． 【点睛】本题主要考查几个非负数之和为0的问题、线段之和最小、线段之差最大等问题，难点在于需要分阶段讨论． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：一元一次方程三要素判断，多练辨析题 · 性质过关：等式性质是变形依据，注意除数为0 · 解法过关：去分母去括号步骤完整，检验防出错 · 应用建模：行程画图、销售套公式、配套找比例 · 动点综合：先表示动点坐标，再列绝对值方程讨论 【作业1】．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：A、只含有一个未知数x，且x的最高次数是1，等式两边都是整式，符合一元一次方程的定义，故该选项符合题意； B、，知数x的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合一元一次方程的定义，故选项不符合题意； C、，有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合一元一次方程的定义，故选项不符合题意； D、，含有三个未知数x、y和z，是三元一次方程 ，不符合一元一次方程的定义，故选项不符合题意； 故选：A． 【作业2】．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已 知，下 列 等 式 不 一 定 成 立 的 是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查等式的性质，等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等，据此进行逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：B 【作业3】．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段检测）已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是整数解 ∴ 或，，，，，， 则 故选：C． 【作业4】．（23-24七年级下·福建福州·期中）将代入，去括号后，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查代入求值和去括号，把整体代入后去括号即可解答． 【详解】解：将代入得， 去括号得， 故选A． 【作业5】．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有9名工人，每人每天可以生产20块凳面或100条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理清题中的等量关系是解题的关键．设安排x名工人生产凳面，则安排名工人生产凳腿，根据生产的凳腿数量是凳面数量的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设安排x名工人生产凳面，则安排名工人生产凳腿， 依题意，得：． 故选：A． 【作业6】．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）若是方程的解，则______． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求解m的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，根据等式的性质填空． __________ __________ __________ __________ 【答案】 5 m 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键； 根据等式的性质直接填空：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．即可得到答案． 【详解】； ； ； ． 故答案为：5，m，，． 【作业8】．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是______． 【答案】2或3或4或7 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【作业9】．（24-25七年级上·上海·期中）代数式的值等于代数式的值，则___． 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：3． 【作业10】．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解_______． 【答案】5 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的x，据此即可求解．理解两个方程之间的关系是关键． 【详解】解：可化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得， 故答案为：5． 【作业11】．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某笔记本进价20元，售价30元，打折后还可以获利，根据题意可列方程______． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．根据售价的两种表示法列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【作业12】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少，若货轮在静水中速度为，水流速度为，求甲乙两地距离．设两地距离为，则可列方程________． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 设两地距离为，根据“货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少2小时”列出方程即可． 【详解】解：设两地距离为， 根据题意，得． 故答案为：． 【作业13】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】设有个人，根据银子的量是一定的，列出方程即可． 【详解】解：设有个人， 由题意，得：． 【作业14】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【作业15】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【作业16】．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可知，循环位数是几位则乘以几个10得到一个数，再用这个数减去原循环小数后等于循环节组成的数，据此可得答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 故答案为：． 【作业17】．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)6， (2)t的值是8或4 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）设运动的时间是t秒，可得，即得，点P在数轴上表示的数是，即可作答． （2）根据题意得：，从而可得或． 【详解】（1）解：设运动的时间是t秒，则M表示的数是，N表示是数是， 两只蚂蚁相遇在点P时，， 解得， ∴点P在数轴上表示的数是， 故答案为：6，； （2）解：根据题意得：， ∴或， 解得或， ∴t的值是8或4． 【作业18】．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点表示数，点表示数满足． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示数为 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球乙从点处以每秒2个单位长度的速度也向右运动．若运动的时间为秒，试求：当为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 【答案】(1)，3 (2)15或 (3)当t为2或时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用分类讨论的方法解答． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）设C点表示的数为x，根据列出方程，解方程即可． （3）分小球从B到点O之前和从点O碰撞返回两种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：，3； （2）设点C表示的数为m， 当点C在A，B之间时，， ∵ ∴， ∴； 当点C在点B的左边时，， ∴， ∴， 综上所述C点在数轴上表示的数为15或． 故答案为：15或； （3）当小球从点B到达点O之前时， ， 解得； 当小球从点O碰撞之后返回时， ， 解得； 由上可得，t的值是2或． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章·一元一次方程·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元一次方程的概念，能判断方程是否为一次方程 · 掌握等式的两条性质，会利用等式性质变形方程 · 掌握去括号、去分母、移项、合并同类项等解方程步骤 · 能列方程解决行程、销售、配套、工程等实际问题 · 能借助数轴、绝对值解决含参数的方程与动点综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次方程的概念与方程的解 一元一次方程：只含一个未知数、未知数次数为1、两边都是整式的方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值 检验：把未知数的值代入方程左右两边，看是否相等 概念辨析例题：下列方程中是一元一次方程的是：x2=4、2x+3=7、=1 答案：2x+3=7是一元一次方程 解析：x2=4含二次项，=1分母含未知数，均不是一元一次方程 ☆ 2.等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 变形技巧：移项是性质1的应用，系数化1是性质2的应用 概念辨析例题：若a=b，则a-3与b-3的关系是什么？ 答案：a-3=b-3 解析：根据等式性质1，等式两边同减3，结果仍相等 ☆ 3.解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，分子是多项式时要加括号 去括号：用乘法分配律，注意负号去括号后各项变号 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号 概念辨析例题：解方程：3x+5=2x+9 答案：x=4 解析：移项得3x-2x=9-5，合并得x=4 ☆ 4.解方程与参数综合 已知方程的解求参数：把解代入方程，转化为关于参数的方程 方程解的关系：同解方程的解相同，可列方程求参数 含参数的方程：先解出含参数的解，再根据条件确定参数范围 概念辨析例题：若x=2是方程ax-3=5的解，求a的值 答案：a=4 解析：把x=2代入得2a-3=5，解得a=4 ☆ 5.一元一次方程的应用 行程问题：路程=速度×时间，相遇、追及问题找等量关系 销售问题：利润=售价-进价，利润率=×100% 配套问题：按比例配套，设一个未知数列方程 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，合作总量为1 概念辨析例题：某商品进价80元，售价100元，利润率是多少？ 答案：25% 解析：利润为100-80=20元，利润率=×100%=25% ☆ 6.数轴动点综合 数轴上两点距离：右侧点坐标减左侧点坐标 动点表示：初始位置±速度×时间 绝对值方程：分情况讨论，结合数轴画图分析 概念辨析例题：数轴上点A表示2，点B表示7，AB的距离是多少？ 答案：5 解析：距离为7-2=5，即大数减小数 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次方程 含一个未知数、次数为1的整式方程 分母不能含未知数 等式的性质 性质1加减；性质2乘除（除数不为0） 除以的式子不能为0 解方程步骤 去分母→去括号→移项→合并→系数化1 去分母分子加括号、移项变号 方程的解 使方程左右两边相等的值 代入检验，求参数也代入 应用问题 设未知数→找等量关系→列方程→解方程 单位与作答要完整 数轴动点 距离=大减小；位置=起点±速度×时间 注意方向与绝对值讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元一次方程的概念与方程的解（第1-6题） · 判断一元一次方程：一个未知数、次数为1、整式方程三个条件 · 方程的解代入检验，或由解求参数 · 注意分母含未知数的方程不是一元一次方程 1．（23-24七年级上·山东临沂·期中）当关于的方程的解为时，的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 4．（23-24七年级上·江苏南京·期末）若是方程的解，则________． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则______. 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为_____． 【考点2】等式的性质（第7-10题） · 等式两边同加同减同乘，同除以非零数结果仍相等 · 移项依据性质1，系数化1依据性质2 · 除以含字母的式子时注意其是否为0 7．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据等式的基本性质，如果，那么下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·广西贺州·期中）若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 【考点3】解一元一次方程（第11-17题） · 按步骤求解，去分母乘最小公倍数、分子加括号 · 去括号注意负号，移项要变号 · 解后代入原方程检验 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·四川广元·期末）下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 13．（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程 的解为____ ． 14．（24-25七年级上·江苏·期末）解方程：． 15．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 16．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解一元一次方程：． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点4】解方程与参数综合（第18-25题） · 已知解求参数：解代入方程列关于参数的方程 · 同解方程：先解出已知解的方程，再代入含参方程 · 程序流程图：逐步运算逆推 18．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 19．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 20．（2024·广西钦州·三模）设，为有理数，定义新运算： ．例如： ，若 ，则的值为________． 21．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是________． 22．（25-26七年级下·重庆垫江·阶段检测）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如果关于的方程和的解相同，那么______． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若开始输入的x是正整数，最后输出的结果是239，则满足条件的x的值都有______． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1) (2) 【考点5】已知方程的解求参数（第26-29题） · 把已知解代入方程，转化为参数的一次方程 · 注意方程组中解的对应关系 · 求得参数后再回代验证 26．（2025七年级上·全国·专题练习）若 是方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 27．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知关于的一元一次方程（为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 28．（23-24七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 29．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 【考点6】销售与配套问题（第30-36题） · 销售：利润=售价-进价，利润率=利润÷进价 · 配套：找配套比例，设未知数列方程 · 注意打折、盈亏的实际意义 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商店以每套元的价格卖出两套喜乐牌套装书写笔，其中一套盈利，另一套亏损，则该商店在这次买卖中（   ） A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．赚了元 31．（24-25七年级上·云南红河·期末）一箱某品牌秋月梨的原价为元，中秋节当天，商家为回馈新老客户，按原价的九折销售，仍可获利，则每箱该品牌秋月梨的进价为__________元． 32．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）某商品按价格180元出售仍可获利，则该商品进价是______元． 33．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 34．（23-24六年级下·全国·假期作业）一机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，那么需要安排_________名工人加工大齿轮，_________名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套． 35．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）某工厂需要在20天内生产1200台电子产品．已知每台电子产品由4个装置和3个装置配套组成．工厂现有80名工人，每名工人每天能生产6个装置或者3个装置． (1)该工厂安排多少名工人生产装置，剩余工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套？ (2)工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立生产装置，且每人每天只能生产4个装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 【考点7】行程与工程问题（第37-40题） · 行程：路程=速度×时间，画线段图找等量关系 · 工程：工作量=效率×时间，设总量为1 · 合作问题：效率相加 36．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）“要致富，先修路”，某村为了更方便的运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为50天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程? 38．（3.3一元一次方程的应用（7种题型基础练 能力提升练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024））甲、乙两人骑自行车分别从、两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇．相遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达地．甲每小时行多少千米？ 39．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段检测）甲乙两港口相距，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行速度为，水流速度为，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间的距离． 【考点8】其他应用问题（第41-47题） · 几何、数字、电费水费等：找关键词转化为等式 · 分段计费：分情况列式 · 数字问题：设十位、个位数字列方程 40．（23-24七年级上·广东广州·阶段检测）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了32平方厘米。则这个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 42．（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 43．（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，，C是线段延长线上一点，M为线段的中点，在线段上存在一点N（点N在点M的右侧且点N不与B，C两点重合），使得且，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2或3 D．2 44．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“坚持不懈”这四个字表示的数之和为_______． 坚 持 不 0 懈 45．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过______秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 46．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【考点9】数轴动点综合（第48-52题） · 动点坐标：起点±速度×时间，注意方向 · 两点距离：大数减小数，结合绝对值 · 分类讨论：点在左、在右分别列式 47．（23-24七年级上·四川德阳·阶段检测）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2023次后点B所对应的数是（    ）    A．不对应任何数 B．2021 C．2022 D．2023 48．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动___________秒时，点恰好是的中点． 49．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）规律发现： （1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空： ①点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ②点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ③发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______． 直接运用： （2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则的值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字对应的点将与的顶点______重合． 类比迁移： （3）如图（2），，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 50．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【阅读材料】数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，、两点之间的距离为 【初步感知】 (1)如图1，、两点之间的距离为_____； (2)数轴上表示和3两点之间的距离为_____；的含义是数轴上表示与_____的两点之间的距离； 【拓展研究】 (3)在数轴上，表示数的点在与之间移动时，可以发现的值总是一个固定值，这个值是_____； (4)若动点分别从和同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒()，当为何值时，两点之间距离为3？ 51．（23-24七年级上·福建厦门·阶段检测）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足． (1)求x、y的值． (2)点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，直接写出的最小值是__________；的最小值是__________． (3)数轴上有一点M，使得，求点M所对应的数． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：一元一次方程三要素判断，多练辨析题 · 性质过关：等式性质是变形依据，注意除数为0 · 解法过关：去分母去括号步骤完整，检验防出错 · 应用建模：行程画图、销售套公式、配套找比例 · 动点综合：先表示动点坐标，再列绝对值方程讨论 【作业1】．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已 知，下 列 等 式 不 一 定 成 立 的 是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段检测）已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 【作业4】．（23-24七年级下·福建福州·期中）将代入，去括号后，可得（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有9名工人，每人每天可以生产20块凳面或100条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）若是方程的解，则______． 【作业7】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，根据等式的性质填空． __________ __________ __________ __________ 【作业8】．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是______． 【作业9】．（24-25七年级上·上海·期中）代数式的值等于代数式的值，则___． 【作业10】．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解_______． 【作业11】．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某笔记本进价20元，售价30元，打折后还可以获利，根据题意可列方程______． 【作业12】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少，若货轮在静水中速度为，水流速度为，求甲乙两地距离．设两地距离为，则可列方程________． 【作业13】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 【作业14】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【作业15】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）解方程 (1)； (2)． 【作业16】．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 【作业17】．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【作业18】．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点表示数，点表示数满足． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示数为 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球乙从点处以每秒2个单位长度的速度也向右运动．若运动的时间为秒，试求：当为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $