微专题04 圆的方程中最值的问题讲义【知识清单+11大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

微专题04 圆的方程中最值的问题 第一部分：知识清单 知识点一： 圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 知识点二： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 知识点三： 切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 知识点四： 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点五： 利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 知识点六： 圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 知识点七： 切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点八： 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点九： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 阿波罗尼斯圆性质 ①阿波罗尼斯圆圆心在直线上，圆心为 ，； ②阿波罗尼斯圆上任一点P都满足（且）； ③设阿波罗尼斯圆直径两端点分别为，则分别是线段的内分点和外分点，且 ，（且）：分别是的内角和外角平分线，且． 知识点十： 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. 圆的参数方程为 第二部分：典型例题汇总 典例一 截距型、距离型、斜率型求最值 典例二 圆上的点到定点的距离最值 典例三 圆上的点到直线的距离最值 典例四 两圆上的动点的距离最值 典例五 过圆内定点的弦长最值 典例六 圆的切线长度最值问题 典例七 与向量有关的最值 典例八 与面积有关的最值 典例九 阿波罗尼斯圆的应用 典例十 利用对称性求最值 典例十一 利用三角函数换元求最值 第三部分：典型例题 典例一 截距型、距离型、斜率型求最值 1．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 2．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 3．（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆经过点． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 典例二 圆上的点到定点的距离最值 5．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数满足，则的最小值为________． 8．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 典例三 圆上的点到直线的距离最值 9．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是________. 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 典例四 两圆上的动点的距离最值 13．（25-26高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·湖南·二模）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆外离 B．的最大值为9 C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为 15．（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 16．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为_______. 典例五 过圆内定点的弦长最值 17．（25-26高二上·广东江门·期末）（多选）已知圆，直线，则（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线的距离的最大值为2 C．直线被圆截得的弦长的取值范围是. D．当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是 18．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 19．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线l：和圆C：相交于M，N两点，下列说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．圆心C到直线l距离的取值范围是 C．∠MCN的最小值是 D．面积的最大值是2 20．（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例六 圆的切线长度最值问题 21．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 22．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 24．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 典例七 与向量有关的最值 25．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）（多选）设动直线交圆于两点(点为圆心)，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为 28．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 典例八 与面积有关的最值 29．（2026高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点､间的距离为，动点与､距离之比为，当､､不共线时，面积的最大值是___________. 30．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 31．（26-27高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）． (1)证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径． (2)设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值． 32．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． (1)若是等腰三角形，求点P的坐标； (2)①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形ASBT面积的最大值． 典例九 阿波罗尼斯圆的应用 33．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点C满足，直线l：，则（    ） A．动点C的轨迹方程为 B．若点在轨迹圆外，则的取值范围为 C．直线l恒过定点 D．动点C到直线l的距离的最大值为 34．（25-26高二上·浙江杭州·期中）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 35．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 36．（25-26高二上·四川成都·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； (3)若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 典例十 利用对称性求最值 37．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·湖北宜昌·期末）已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是__________． 39．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，k是常数，M，N是圆上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线对称，求△面积的最大值． 40．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 典例十一 利用三角函数换元求最值 41．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 42．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 43．（25-26高二上·湖南·期中）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 44．（25-26高三下·北京·开学考试）已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 第四部分：课后检测 1．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 2．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 4．（2026·云南曲靖·一模）在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D．6 5．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·模拟预测）已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 7．（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 8．（2026·北京平谷·一模）设，函数若，．当存在最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·河北保定·开学考试）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 10．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（多选）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 11．（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 12．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________． 13．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 14．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 15．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 16．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 圆的方程中最值的问题 第一部分：知识清单 知识点一： 圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 知识点二： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 知识点三： 切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 知识点四： 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点五： 利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 知识点六： 圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 知识点七： 切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点八： 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点九： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 阿波罗尼斯圆性质 ①阿波罗尼斯圆圆心在直线上，圆心为 ，； ②阿波罗尼斯圆上任一点P都满足（且）； ③设阿波罗尼斯圆直径两端点分别为，则分别是线段的内分点和外分点，且 ，（且）：分别是的内角和外角平分线，且． 知识点十： 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. 圆的参数方程为 第二部分：典型例题汇总 典例一 截距型、距离型、斜率型求最值 典例二 圆上的点到定点的距离最值 典例三 圆上的点到直线的距离最值 典例四 两圆上的动点的距离最值 典例五 过圆内定点的弦长最值 典例六 圆的切线长度最值问题 典例七 与向量有关的最值 典例八 与面积有关的最值 典例九 阿波罗尼斯圆的应用 典例十 利用对称性求最值 典例十一 利用三角函数换元求最值 第三部分：典型例题 典例一 截距型、距离型、斜率型求最值 1．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 2．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 3．（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆经过点． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为64，最小值为4 【分析】（1）设圆的方程为 ，代入点的坐标，列出方程，即可求解. （2）将转化为圆上的点到点的距离的平方，求得的值，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，圆经过点， 设圆的方程为 ， 可得 ，解得， 所以圆C的方程为，即 ， （2）解：由圆，可得圆心，半径为 又由的表示圆上的点到点的距离的平方， 因为， 根据圆的性质，可得， 所以的最大值为，最小值为. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 典例二 圆上的点到定点的距离最值 5．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 【答案】2 【详解】因为圆的方程化为标准式为， 可知圆心，半径， 则，当且仅当时，等号成立，可知点在圆外， 所以点和圆上点的最小距离． 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求得动圆圆心轨迹方程，根据圆上点到直线距离最值计算公式计算求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【详解】设， 由得， 所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点， ，表示的是点与点的距离，而在圆外 所以的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即的最小值为. 8．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 典例三 圆上的点到直线的距离最值 9．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 10．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 11．（2026高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是________. 【答案】 【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则、，设， ∵，∴， 两边平方并整理得：， 可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 要使的面积最大，只需点到（轴）的距离最大， 所以当点坐标为或时，面积的最大值是. 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 典例四 两圆上的动点的距离最值 13．（25-26高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题通过分析直线过定点及垂直关系确定交点轨迹，再结合圆与圆的位置关系求距离最大值. 【详解】整理，得，故过定点. 整理，得，故过定点. 因与垂直（因为），故的轨迹是以和为直径端点的圆. 圆心为两点中点：. 半径为两点距离的一半：. 即的轨迹方程为. 圆，其圆心，半径. 两圆心与的距离为. 的最大值为两圆心距离加上轨迹圆的半径和圆的半径， 即. 故选：C. 14．（2026·湖南·二模）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆外离 B．的最大值为9 C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为 【答案】ABC 【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析. 【详解】圆的圆心坐标，半径， 圆，即的圆心坐标，半径， 所以圆心距， 因为，所以两圆外离．故A正确； 因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确； 因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误； 故选：ABC． 15．（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 16．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为_______. 【答案】1 【分析】根据两圆方程可分别求得其圆心和半径，判断出两圆位置关系即可求得最小距离为1. 【详解】由题知圆半径为，圆心坐标为， 圆：可改写成，即圆半径为，圆心坐标为， 易知，，所以两圆的位置关系为内含， 所以的最小值为． 故答案为：1 典例五 过圆内定点的弦长最值 17．（25-26高二上·广东江门·期末）（多选）已知圆，直线，则（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线的距离的最大值为2 C．直线被圆截得的弦长的取值范围是. D．当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是 【答案】BCD 【分析】化简直线方程为，可判定A错误；当时，圆心到直线的距离取得最大值，求得，可判定B正确；根据，结合圆的弦长公式，可判定C正确；由直线被圆截得的弦长最短时，即时，求得，得出直线的方程，可判定D正确. 【详解】对于A，将直线化为， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A错误； 对于B，由圆，可得圆心为，半径， 因为直线过定点，当时，圆心到直线的距离取得最大值， 又因为，所以圆心到直线的距离的最大值为，所以B正确； 对于C，由B项知，圆心到直线的距离的取值范围为， 由圆的弦长公式，当，可得； 当，可得， 所以直线被圆截得的弦长的取值范围是，所以C正确； 对于D，当直线被圆截得的弦长最短时，即时， 因为，所以， 则直线的方程为，即，所以D正确. 故选：BCD. 18．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求P的轨迹方程，首先设出点，然后根据两点间距离公式，求得方程； （2）先求出直线的定点坐标，然后根据垂径定理求得的距离，又因为直线过定点，所以最大取到直径，最小就是垂径定理求得的距离，故可得的取值范围. 【详解】（1）设，， 由题意可得，两端同时平方得， 故，化简得. 故曲线的方程为：. （2）直线：，即， 令，解得， 故直线过定点. 代入点到圆的方程：， 故点在圆的内部. 设圆心到直线的距离为，又， 所以. 又因为，， 所以,解得. 故的取值范围为：. 19．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线l：和圆C：相交于M，N两点，下列说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．圆心C到直线l距离的取值范围是 C．∠MCN的最小值是 D．面积的最大值是2 【答案】D 【分析】根据直线恒过的定点，以及过圆内一点截圆所得弦长最值的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对直线，， 其恒过与的交点； 对圆，其圆心为，半径； 对A：当直线过圆心时，此时取得最大值为； 当时，取得最小值为，故A正确； 对B：当直线过圆心时，圆心C到直线l距离取得最小值为； 当时，圆心C到直线l距离取得最大值为，故正确； 对：当，在△中，由余弦定理可得： ，故， 当时，，故，故正确； 对：当时，三点可以构成三角形， 则其面积； 综上的面积没有最大值为，故错误. 故选：. 20．（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心到直线的距离为，结合点的位置求得的取值范围，利用弦长公式求得弦长，将的面积表示为关于的函数，设，利用二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】圆的圆心为原点，半径， 直线过定点，在圆内，且, 设圆心到直线的距离为， 则，且， 故的面积为 . 设，则,函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，当时，则. 故的面积的取值范围是. 【点睛】这道题核心是利用基本不等式求三角形面积的最值，先结合弦长公式表示面积，再通过二次函数性质范围. 典例六 圆的切线长度最值问题 21．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为.    故答案为：. 22．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C 23．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 24．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 典例七 与向量有关的最值 25．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据的面积求出圆心到直线的距离，最后利用向量的运算和圆的性质求出的最大值. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，根据的面积为1， 得，即，所以，即. 设的中点为，则，， 因为，所以 . 由，得, 的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径， 即，所以的最大值为. 故选：B 26．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标为， 直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以，则，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为，， 故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中， 若点为弦的中点，位置关系如图：   ，连接，由，易知， 故点在以为圆心，半径为1的圆上， ，直线为， 联立与得或（舍去）， 又点为圆上的点，， 此时. 故选：D 27．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）（多选）设动直线交圆于两点(点为圆心)，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的性质，结合余弦定理求解判断BC；利用数量积的定义计算判断D. 【详解】对于A，由，，则直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，圆的圆心，当且仅当时，取得最小值， 因此，解得，B正确； 对于C，当且仅当取得最小值时，最小，而， 则由余弦定理得，C错误； 对于D，，同向时取等号，D正确. 故选：ABD 28．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标得，通过根与系数的关系化简为只含参数的表达式，进而求最小值. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍）， 所以圆C的标准方程为； （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程得，则， 因为有两个交点，所以；    （ⅱ）设，则， 由根与系数的关系， ，且， 令，则，得，当时， 当时，，而在上恒负，在上恒正， 要使最小，则，而在上单调递增，在上单调递减， 所以时，， 综上，. 典例八 与面积有关的最值 29．（2026高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点､间的距离为，动点与､距离之比为，当､､不共线时，面积的最大值是___________. 【答案】 【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则、，设， ∵，∴， 两边平方并整理得：， 可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 要使的面积最大，只需点到（轴）的距离最大， 所以当点坐标为或时，面积的最大值是. 30．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 31．（26-27高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）． (1)证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径． (2)设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值． 【答案】(1)设，则， 由，得， 整理得，又且， 则，即，                    所以动点P的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径为. (2)（i）（ii）． 【分析】（1）根据给定条件，利用两点间距离公式列式，结合圆的定义推理得证. （2）（i）把代入，求出圆心到直线的最大距离，结合三角形面积公式求出直线方程；（ii）按直线的斜率是否存在且不为0分类，利用圆的弦长公式及不等式性质求出最小值. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）知，当时，圆C的方程为，圆心，半径， 直线过点，则，点在圆内，且圆心到直线的最大距离为1， 由的面积为，得，则， 若，则圆心C到直线DF的距离为，不符合题意； 若，则圆心C到直线DF的距离为，符合题意， 因此圆心到直线DF的距离为，此时，即轴， 所以的方程为． （ii）当中有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0， 由（i）知； 当直线的斜率都存在时，设直线的方程为（），则直线的方程为， 点到直线的距离为，则， 同理得，因此 ，于是， 所以四边形DEFG面积的最小值为. 32．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． (1)若是等腰三角形，求点P的坐标； (2)①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形ASBT面积的最大值． 【答案】(1)或 (2)①或；②，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出点Q的轨迹方程，令，设点，再由是等腰三角形得到 ，由此列出方程，即可求出点P的坐标； （2）①表示出直线PS和PT的斜率，，得到，即可求出的值；②由题意知，可得 ，设直线的方程为， 并将其代入曲线中，利用韦达定理及求出值，即可证明直线AB过定点； （3）用两个三角形面积之和及韦达定理表示出四边形ASBT的面积，令，即可利用的范围求出四边形ASBT面积的最大值. 【详解】（1） 设点，由题意可知，即 ， 两边平方整理得可得点Q的轨迹方程为. 由对称性不妨令，设点，设直线与轴交于点. 因为，，所以，， 所以若是等腰三角形，则 ，解得， 所以点P的坐标为或； （2） ①若，， 则直线PS的斜率 ，直线PT的斜率 ，则有， 又直线PS，PT的斜率为，所以 ； 若，同理可得 ； ②由题意知，所以直线SB的斜率 ，即 ， 设，设直线的方程为， 将其代入曲线中，消去可得， 则 ，即，               则 ， 因为 ， 整理可得 ， 则 ， 由，可解得，此时恒成立， 所以直线AB恒过定点； （3） 由（2）得 ， 则 ， 令，则 ， 因为 ，所以当，取得最大值3， 即四边形ASBT面积的最大值为，此时，直线AB的方程为. 典例九 阿波罗尼斯圆的应用 33．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点C满足，直线l：，则（    ） A．动点C的轨迹方程为 B．若点在轨迹圆外，则的取值范围为 C．直线l恒过定点 D．动点C到直线l的距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】直接求出动点轨迹方程判断A，由点与圆的位置关系判断B，把直线方程整理成关于参数的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断C，由圆心到定点距离求得圆心到直线距离的最大值，从而得出点到直线的距离最大值，判断D． 【详解】选项A，设，则由得，化简得，A正确， 选项B，圆心坐标为，半径为2，点在轨迹圆外，则 ，解得或，B正确； 选项C，直线方程整理为，由得，直线过定点，C正确； 选项D，圆心到定点的距离为，所以圆心到直线的距离的最大值为，从而动点到直线距离的最大值是，D错． 故选：ABC． 34．（25-26高二上·浙江杭州·期中）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程； （2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可； （3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可. 【详解】（1）设，则， 整理得，即， 所以曲线的方程为. （2）设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以， 直线的方程为. （3） 由题意得点在直线上运动， 设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则， 所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则， 所以. 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可. 35．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【分析】设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 36．（25-26高二上·四川成都·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； (3)若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆心位置及圆过的点列方程组求解圆心坐标及半径即可； （2）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程； （3）设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，然后根据点到直线距离公式求最值即可. 【详解】（1）设圆的方程为，由题意，解得， 所以圆的方程为． （2）当垂直于x轴时，将代入圆的方程，得， 所以，， 此时截得的弦长为，满足条件； 当不垂直于x轴时，设的方程为即， 圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得，解得， 此时直线的方程为即． 所以直线的方程为和． （3）设，则， 故 . 令，则， 其中为点E到直线的距离， 因为，所以的最小值为.    典例十 利用对称性求最值 37．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为函数的图象和的图象有两个交点，而函数的图象为半圆，利用直线与圆相交的位置关系求解. 【详解】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以的取值范围是． 38．（25-26高二下·湖北宜昌·期末）已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据直线的对称性得圆得方程为：，再根据直线过定点，且在圆内得当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，当直线过圆心时，有最大值，最后计算即可得答案. 【详解】解：由圆得圆心，半径， 设圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以有，整理得，解得：， 所以圆得方程为：， 将直线方程变形为：， 所以直线过定点，易知其在圆内， 所以当直线与过点和的直线垂直时，有最小值， 此时最小值为：， 显然当直线过圆心时，弦有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查点关于线的对称性问题，圆的弦长的取值范围问题，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 39．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，k是常数，M，N是圆上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线对称，求△面积的最大值． 【答案】． 【分析】由圆的方程得圆心，结合圆上M，N的关于直线对称求参数k，进而可得圆心坐标、半径，由题设求出并写出的方程，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，即知圆上点到定直线距离最大值，进而求△面积最大值. 【详解】依题意得，的圆心坐标为．又M，N是圆上两个不同的点且M，N关于直线对称， ∴直线过圆心，则有，即， ∴圆心坐标为且半径为1． 由题意，，直线的方程是，即， 圆心到直线的距离， ∴点P到直线的距离的最大值是， ∴△面积的最大值为． 40．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再根据对称性得到点的对称点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，将原题条件转化为圆与该轨迹圆有公共点，利用两圆圆心距与半径的关系建立不等式，从而解出参数的范围. 【详解】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以的取值范围为． 故答案为： 典例十一 利用三角函数换元求最值 41．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）根据对称可得圆的圆心为，半径为2，从而得到圆的方程； （2）方法一：整理可得，由的几何意义，得到，确定点在圆外，所以，，从而求出的最值； 方法二：可设，从而表达出，由三角函数有界性求出最值. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 因为圆与圆关于原点对称， 所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为， 最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 42．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 43．（25-26高二上·湖南·期中）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为53，的坐标为 【分析】（1）根据圆心在直线上，结合相切，即可求解圆心和半径， （2）方法一，利用三角换元，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值，方法二，利用坐标法可将问题转化为圆上的点到点距离的平方的最值，即可联立直线与圆的方程求解坐标． 【详解】（1）设圆心，由于直线与圆相切于点，所以， 故，，所以圆的标准方程为 （2）方法一：设， 则 ，其中，， 所以，当时，的最大值为53． 此时，，，，，所以． 方法二：设，则， ∴． 又，所以， 因为表示圆上的点到点距离的平方． 易得，的最大值为， 所以的最大值为53．此时，，和三点共线，且，位于两侧时， 直线方程， 联立直线与可得，解得或（舍去），则 故的坐标为．    44．（25-26高三下·北京·开学考试）已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】先由数量积公式求出，建立平面直角坐标系，由，得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，则，得进行求解． 【详解】由，且得，， 所以， 建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点， 由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆， 则， 得 ， 等号成立时，得，即， 故的最大值为： 第四部分：课后检测 1．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 【答案】C 【分析】设，利用两点间距离公式求出，利用余弦函数的范围求出的最大值和最小值，从而得到所求. 【详解】由点在圆上运动，设， ， ， 的最大值为， 最小值为， 的最大值与最小值之和为. 故选：C. 2．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【详解】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 3．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】由方程确定曲线的形状，再确定曲线上的点到原点距离最大的点，进而求出最大面积. 【详解】曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称， 当时，曲线方程为，即， 此时曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点）及原点， 因此曲线是上述圆弧及其关于坐标轴、原点对称而得的图形，加上原点， 圆弧到原点距离最大值为，对应的点为， 点关于坐标轴、原点对称点为，点顺次连接得正方形， 并且是符合条件的面积最大的正方形，所以正方形的面积的最大值为4. 4．（2026·云南曲靖·一模）在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由，判断三角形的形状，结合数量积结果，求得的夹角，以及三角形的边长；取的中点为，的中点为，求得的轨迹是以为圆心的圆，再根据圆外一点到圆上一点距离最值的求解方法，计算即可. 【详解】设圆的半径为，则， 又， 故两两之间的夹角相等，且均为，三角形为等边三角形， 故，解得； 连接，取的中点分别为，如下图所示： 因为，故点在以为圆心，1为半径的圆上运动； 若三点不共线时，在三角形中，分别为的中点， 故， 故点是在以为圆心，为半径的圆上运动； 若三点共线且为线段上点时， 此时，， 故； 同理若三点共线且为线段延长线上一点时，也有； 综上所述：点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 对等边三角形，由正弦定理可得：， 又为中点，则； 故圆外一点到圆上一点的距离， 当且仅当三点共线，且在线段延长线上时取得等号， 所以的最大值是5. 5．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得点的轨迹是以为直径的圆，求得圆的方程，进而求得圆心到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值. 【详解】由题知直线过定点，直线过定点， 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 又的中点坐标为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：C. 6．（2026·重庆·模拟预测）已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先由可得，进而可得点坐标及，进而可得点轨迹是过点且平行于的直线，从而可得圆上的点到直线的距离最小值减去圆的半径可得所求值. 【详解】因为是圆上的点，故，，故. 由，两边平方得： ，，. 设，，所以， 代入圆方程得 ，即的斜率， 由对称性，不妨设. 由得，故点轨迹是过点且平行于的直线， 直线的方程为：，整理为， 因为是圆上的动点，是直线上的动点，如图：    所以的最小值等于原点到直线的距离减去圆的半径， 由点到直线的距离公式得 因此. 7．（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【详解】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 8．（2026·北京平谷·一模）设，函数若，．当存在最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值的条件，由此列不等式可得结论. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递增的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图象（即半圆）； 因为，设，， 当时，，此时不存在最小值， 当时，，当且仅当为线段与半圆的交点时等号成立， 过点作直线的垂线， 当垂足不在函数的图象上时， 则，此时，不存在最小值， 当垂足在函数的图象上时， ，此时， 当且仅当与重合，为线段与半圆的交点时等号成立， 所以当与重合，为线段与半圆的交点时，存在最小值，最小值为， 因为的斜率为，则， 故直线的方程为， 联立，解得，则， 所以若存在最小值，则，又， 故. 9．（25-26高二下·河北保定·开学考试）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【分析】将直线方程化为，即可求出定点，可判断A；根据直线与圆相切的条件列方程即可判断B；求出圆心到直线的距离，即可判断C；当时，切线长最短，根据勾股定理求解即可判断D. 【详解】将直线的方程整理为， 由得， 所以直线过定点，故A正确； 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若直线与圆相切，则，解得，故B正确； 若，则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以，故C错误； 从点向圆引切线，设切点分别为，连接，则， 则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 所以，故D正确． 10．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（多选）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 【答案】BCD 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆M上的点到直线l的最小和最大距离，分析可判断A的正误；根据切线长公式，结合圆心到直线的距离，分析可判断B的正误；根据B选项中的最小距离，代入面积公式，即可判断C的正误；求出点P的轨迹方程，与圆M方程联立，可得直线AB的方程，分析可判断D的正误. 【详解】对于A，由圆M：，可知圆心，半径r＝1， 所以圆心到直线的距离为， 圆M上的点到直线l的最小和最大距离分别为和， 由于，圆M上有两个点到直线l的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值， 又，所以，故B正确； 对于C，因为四边形AMBP面积为， 因为，所以四边形AMBP面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点A，B在以PM为直径的圆上， 又，所以点P的轨迹为， 即， 又圆M：，即， 两式子相减得直线AB的方程为：，即， 令，得，即直线AB恒过定点，故D正确．    11．（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据圆的弦长公式推导、与圆心坐标的关系，再结合各选项的约束条件逐一判断正误. 【详解】∵ ⊙的方程为，半径， 圆心到轴的距离为，到轴的距离为， 由弦长公式可得，， 且弦长存在，则，，即，. 对选项A：∵，即，不能取任意实数，A错误. 对选项B：若，则，即， 只要满足，即可，符合条件的圆心有无数个， B正确. 对选项C：若圆心在⊙上，则， ∴，，则， 因为，由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立， ∴的最大值为，C正确. 对选项D：∵，，令，， ∴. ∵圆心在直线上，∴， 代入得：， 结合弦长存在的约束，可得当时，取得最小值， 此时取最大值，故， 由基本不等式可得 ∴，即，∴， 当且仅当（即，结合可解得，满足）时等号成立. 故的最大值为，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查圆的弦长公式、不等式求最值，解题时先推导弦长与圆心坐标的关系，再结合约束条件转化为代数最值问题求解. 12．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知，，过点的直线与单位圆交于，两点，为的中点，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先利用垂径定理确定动点D的圆的轨迹方程及其取值，再通过向量分解将问题转化为求固定向量与旋转向量的数量积的最大值即可. 【详解】因为是圆的一条弦，且为的中点，所以，即， 则点始终在以为直径的圆上运动，设的中点为，， 该圆的半径，则该圆的方程为，即， 由于直线必须与单位圆交于两点，圆心到直线的距离即， 即，即，因为在圆上， 则，综上，， 由题意得，，其中， 则， 其中， ，其中， 因为在圆上，所以， 因此， 当与同向时，即，取最大值， 则， 当与同向时， 单位向量为， 此时，则， 以下验证， 因为，所以，则， 若，即，同时平方得，该不等式恒成立， 综上的最大值为. 13．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等， 设的中点为，则也是的中点，且， 故问题转化为求的取值范围. 设，由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ，而的取值范围可由的轨迹求得： ，其中， 所以的范围为： 所以， 故的取值范围为.      14．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 【答案】 【分析】求出圆的圆心、半径及直线所过定点，再利用圆的性质求解. 【详解】直线方程为，直线过定点， 圆的圆心，半径，由，得点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，则最短弦长； 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，由，得， 直线的方程为，即. 15．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 16．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) （i）由直线，可得， 所以直线恒过直线与直线的交点， 由解得，即直线恒过定点； （ii） 【分析】（1）设，化简可得； （2）（i）将直线方程写成过两直线交点的直线方程形式，两直线交点即直线恒过定点；（ii）确定弦最短时直线的方程，求出及点到直线的最大距离，求出面积的最大值. 【详解】（1）设，则由得，整理得， 即圆的方程为. （2）（i）略 （ii）由（1）圆的方程为，即，圆心，半径. 设直线恒过的定点为N，则当时，弦最短， 由，所以直线的斜率为，方程为，即 此时圆心到直线的距离，弦长. 又点到直线的最大距离为， 所以 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $