第2章 直线和圆的方程 章末综合提升-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

该高中数学单元复习讲义以“突破点”为核心分层构建直线与圆的知识体系，涵盖直线方程、位置关系、对称问题、圆的方程等八大专题，通过表格归纳“求直线方程的关注点”“平行垂直判定方法”等要点，用方法总结梳理知识内在联系，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点在于“一题多解”与“分层练习”设计，如直线与圆交点问题同时用几何法和代数法求解，培养数学思维。高考真题与对点练结合，基础题巩固通法，综合题提升能力，助力不同层次学生发展。教师可依托框架实施精准教学，学生自主复习有明确路径。

章末综合提升 突破点一　直线的方程 (1)已知直线l的一个法向量为(1，－2)，且经过点A(1，0)，则直线l的方程为(　　) A．x－y－1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 学生用书⬇第96页 (2)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为(　　 ) A．x＋y＝4 B．y＝x＋2 C．y＝3x或x＋y＝4 D．y＝3x或y＝x＋2 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)直线l的一个法向量为(1，－2)，所以设直线l的方程为x－2y＋C＝0，代入点A(1，0)，得1－0＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为x－2y－1＝0.故选C． (2)当直线过原点时，方程为y＝3x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，将点(1，3)代入直线方程中，则＋＝1，解得a＝－2，所以直线方程为y＝x＋2，综上，所求直线的方程为y＝3x或y＝x＋2.故选D． 求直线方程的关注点 方法 直接法、待定系数法 关键 掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程 注意 当不能确定某种条件是否具备时，要另行讨论条件不满足的情况 对点练1. (1)已知△ABC的三个顶点分别为A，B(－4，0)，C，则AC边上中线BD所在的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 (2)直线l过点(－2，1)，且在y轴上的截距为在x轴上的截距的4倍，则直线l的方程为　　　　　　. 答案：(1)D　(2)4x＋y＋7＝0或x＋2y＝0 解析：(1)因为A，C，所以AC边中点为D，即D(4，4).又B，所以中线BD所在的直线方程为＝，即x－2y＋4＝0.故选D． (2)当截距均为零时，直线过原点，则直线方程为y＝－x，即x＋2y＝0.当截距不为零时，设在x轴上的截距为a，则直线方程可设为＋＝1，又直线过点(－2，1)，故＋＝1，解得a＝－，故直线方程为4x＋y＋7＝0. 突破点二　两条直线的平行与垂直 (1)已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝　　　　. (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是　　　　. 答案：(1)3　(2)垂直 解析：(1)kAB＝＝－，因为lAB∥lCD，所以kCD存在且kCD＝＝，所以－＝，即a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1.当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，所以AB与CD平行；当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，所以AB与CD重合.所以当a＝3时，直线AB和直线CD平行. (2)将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，则＝(－)×2＝－1，所以l1⊥l2. 1.判定两条直线平行、垂直的方法 (1)若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1(注意斜率不存在时的特殊情形). (2)一般式方程下的平行与垂直 ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.平行直线系、垂直直线系问题 (1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线可写成Ax＋By＋C1＝0(C1≠C). (2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可写成Bx－Ay＋C2＝0. 对点练2.(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为　　　　. (2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝　　　　. 答案：(1)－3　(2)－1 解析：(1)由l1⊥l2知，2a－3(a＋1)＝0，解得a＝－3. (2)1×3－m(m－2)＝0，得m＝3或－1.又当m＝3时，l1与l2重合；当m＝－1时，l1∥l2，所以m＝－1. 突破点三　两条直线的交点与距离 (1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　 ) A． B． C．2 D．2 (2)(一题多解)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，所以a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，所以｜a－b｜＝3.故两条直线之间的距离d＝＝＝.故选B． (2)法一：由即直线l过点(1，2).设点Q(1，2)，因为｜PQ｜＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条.故选C． 法二：由题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l有2条.故选C． 1. 2.解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养. 对点练3.(1)若直线l：y＝kx－ 与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A．［，) B．(，) C．(，) D．［，) (2)已知点A(1，2)，B(4，－2)，则满足点A到直线l的距离为2，点B到直线l距离为3的直线l的条数为　　　　. 答案：(1)B　(2)3 解析：(1)联立解得k＞，所以直线l的倾斜角的范围是(，).故选B． (2)由｜AB｜＝＝5，故A，B之间存在一条垂直于AB的直线满足题设，显然在线段AB的两侧各有一条直线满足条件，所以共有3条直线满足要求. 突破点四　对称问题 (1)已知A，B，C，一束光线从点F出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点E上.则点D的坐标为(　　) A． B． C． D． (2)已知点A(2，0)，B(－2，－4)，P在直线l：x－2y＋8＝0上，则＋的最小值等于　　　　. 答案：(1)C　(2)12 解析：(1)根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出F，E关于AC，BC的对称点G，H，连接GH，交BC于D，则D点即为所求，如图所示.因为AC所在直线方程为y＝x＋3，F(－1，0)，设G(x，y)，则解得x＝－3，y＝2，即G(－3，2).由BC所在直线方程为y＝－x＋3，E(1，0)，同理可得H(3，2)，所以直线GH方程为y＝2.由解得D(1，2).故选C． (2)设A关于l的对称点为A'(m，n)， 则解得m＝－2，n＝8，所以A'(－2，8)，则＝＝12，所以＋的最小值为12. 1.点关于点的对称问题：是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 学生用书⬇第97页 2.点关于直线的对称问题：是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：(1)两点连线与已知直线互相垂直，斜率乘积等于－1；(2)两点的中点在已知直线上. 3.直线关于点的对称问题：可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的，我们往往利用平行直线系去求解. 对点练4.(1)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为(　　 ) A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 (2)已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ周长最小为　　　　. 答案：(1)D　(2)4 解析：(1)设所求直线上一点的坐标为(x，y)，则其关于点(1，－1)对称的点的坐标为(2－x，－2－y)，则点(2－x，－2－y)在直线2x＋3y－6＝0上，即2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化简得2x＋3y＋8＝0.故选D． (2)由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5).则周长最小值为｜M1M2｜＝＝4. 突破点五　圆的方程 (1)与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则此圆的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y－1)2＝9 B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝9 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，或(x－3)2＋(y－1)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－1)2＝9，或(x－3)2＋(y＋1)2＝9 (2)已知等腰三角形ABC的顶点为A(4，2)，底边的一个端点为B(5，3)，则底边的另一个端点C的轨迹方程为　　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)x2＋y2－8x－4y＋18＝0(x－y－2≠0或除去点(3，1)，(5，3)) 解析：(1)由圆心在直线x－3y＝0上，可设圆心坐标为.又因为与y轴相切，所以半径r＝.易知圆心到直线y＝x的距离为d＝＝，根据直线被圆截得的弦长公式得2＝2，所以2＝2，解得a＝±1.当a＝1时，该圆是以为圆心，r＝3为半径的圆，圆方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9；当a＝－1时，该圆是以为圆心，r＝3为半径的圆，圆方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.故选C． (2)设底边的另一个端点C的坐标为，则＝，化简可得x2＋y2－8x－4y＋18＝0.因为A，B，C三点构成三角形，所以三点不共线且B，C不重合，当A，B，C三点共线时kAB＝＝1，由直线的点斜式可得y－2＝1×，化简可得x－y－2＝0，所以点C的轨迹方程为x2＋y2－8x－4y＋18＝0(x－y－2≠0或除去点(3，1)，(5，3)). 求圆的方程的关注点 1.根据已知条件，选择设标准方程还是一般方程，如果条件中涉及圆心、弦长、距离等条件，一般设标准方程. 2.结合圆的性质，如垂径定理、切线的性质等，简化方程形式或直接求圆的方程的系数. 对点练5.(一题多解)求经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程. 解：法一：解方程组 所以直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4，4). 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，将A，B，P的坐标代入， 得方程组 因为满足D2＋E2－4F＞0， 所以所求圆的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0， 整理得x2＋(λ＋2)x＋y2＋(λ－4)y－8＝0. 又将(－1，－2)代入上式，得λ＝1， 所以x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0， 即x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 突破点六　直线与圆的位置关系 (1)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝r2与圆C的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 (2)若直线y＝x＋b与曲线y＝恰有一个公共点，则实数b的取值范围是　　　　. 答案：(1)C　(2)b＝，或－1≤b＜1 解析：(1)已知圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心为C(0，0)，半径为r，由P(x0，y0)是圆C内异于圆心的一点，得0＜＋＜r2，则有0＜＜r，则圆心C(0，0)到直线x0x＋y0y－r2＝0的距离d＝＞r，故直线x0x＋y0y＝r2与圆C相离.故选C． (2)曲线y＝表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，如图所示.由图可知，当直线y＝x＋b在l2和l3之间移动或与半圆相切，即处于l1的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y＝x＋b在l3时，经过点(1，0)，所以b＝－1，当直线y＝x＋b在l2时，经过点，所以b＝1，当直线与半圆相切时，＝1，所以b＝，或者b＝－(舍)，故b＝，或－1≤b＜1. 关于直线与圆的位置关系 1.位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系. 2.弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l，半径r，弦心距d之间满足r2＝d2＋. 3.相切：圆心到切线的距离等于半径、过切点且垂直于切线的直线过圆心. 对点练6.已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明l与圆C总相交； (2)m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长. 解：(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)， 由点斜式可知，直线恒过点P(4，－3). 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15＜0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交. (2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25. 如图所示. 当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短， 此时PC⊥l. 又kPC＝＝3， 所以直线l的斜率为－， 则2m＝－，所以m＝－. 在Rt△APC中，｜PC｜＝，｜AC｜＝r＝5. 所以｜AB｜＝2＝2. 故当m＝－时，l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2. 突破点七　圆与圆的位置关系 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)(一题多解)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 解：(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13. 所以圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝； C2(4，－2)，r2＝. 因为｜C1C2｜＝＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相切. 由两式相减得12x－8y－12＝0， 即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程. (2)法一：过C1，C2的直线方程为＝，即2x＋3y－2＝0， 联立 则切点坐标为(1，0). 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 所以所求圆的方程为(x＋4)2＋＝， 即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 法二：由圆系方程，可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 因为点(2，3)在此圆上，将点的坐标代入方程解得λ＝， 所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 学生用书⬇第98页 1.关于两圆的位置关系 一般利用几何法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差的关系，另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的，可以利用位置关系判断公切线的条数，反之亦然. 2.两圆的公共弦长 将两圆的方程作差，即可得到公共弦所在直线的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、弦心距的关系求弦长. 对点练7.(1)圆C1：x2＋y2－8x＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2y－3＝0相交于A，B两点，则｜AB｜等于(　　) A．2 B．2 C． D． (2)若圆(x－a)2＋(y－1)2＝4和圆x2＋y2＝1恰有三条公切线，则实数a＝　　　　. 答案：(1)C　(2)±2 解析：(1)圆C1：(x－4)2＋(y＋1)2＝16的圆心C1(4，－1)，半径r1＝4，圆C2：x2＋(y－1)2＝4的圆心C2(0，1)，半径r2＝2，显然｜C1C2｜＝2∈(r1－r2，r1＋r2)，即圆C1与圆C2相交.把圆C1与圆C2的方程相减得直线AB的方程8x－4y－4＝0，即2x－y－1＝0，点C2(0，1)到直线AB的距离d＝＝，因此｜AB｜＝2＝.故选C． (2)根据圆与圆的位置关系可知，两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和.易知圆(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C1(a，1)，半径r1＝2，圆x2＋y2＝1的圆心为C2(0，0)，半径r2＝1，即可得＝＝r1＋r2＝2＋1，得a＝±2. 突破点八　与圆有关的最值 (1)已知圆C经过点M，N(－1，3)，且圆心C在直线3x＋y＋5＝0上，若P为圆C上的动点，则线段OP(O为坐标原点)长度的最大值为(　　) A．＋5 B．2 C．10 D．2＋10 (2)已知点A在曲线y＝上运动，则的最大值为　　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)线段MN中点的坐标为，kMN＝＝－2，所以线段MN的中垂线的斜率为k＝，中垂线的方程为x－2y－3＝0.又圆心在直线3x＋y＋5＝0上，由所以圆心为C(－1，－2)，r＝＝5，如图所示.所以＝＋r＝＋5.故选A． (2)y＝变形为x2＋y2＝4(y≥0)，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图所示.A在上半圆上，表示点A与M连线的斜率.由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，设直线与半圆相切时直线斜率为k，直线方程y＝k，即kx－y＋4k＝0，因此＝2，解得k＝(由图k＝－舍去)，所以. 与圆有关的最值问题 1.求圆O上一点到圆外一点P的最大距离，最小距离：dmax＝｜OP｜＋r，dmin＝｜OP｜－r. 2.求圆上的点到某条直线(相离)的最大距离，最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r. 3.已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求(1)mx＋ny；(2)；(3)x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解. 对点练8.(1)(2025·浙江金华十校调研)点P为直线y＝2上一动点，过点P作圆x2＋y2＝1的切线，切点为Q，则的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 (2)直线l：ax＋by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相切，则(a－3)2＋(b－4)2的最大值为　　　　. 答案：(1)C　(2)49 解析：(1)设点P的坐标为，由圆x2＋y2＝1的圆心坐标为，有＝≥2.由圆的几何性质可得PQ⊥QO，又由＝＝≥＝，所以当m＝0时，.故选C． (2)由直线l与圆O相切可得，圆心O到直线l的距离等于圆的半径，即＝2，故a2＋b2＝4，即点(a，b)在圆O上，(a－3)2＋(b－4)2的几何意义为圆上的点(a，b)与点(3，4)之间距离的平方，由x2＋y2＝4知圆心为.因为32＋42＞4，所以点(3，4)在圆x2＋y2＝4外，所以点(a，b)到点(3，4)的距离的最大值为圆心到(3，4)的距离与圆半径之和，即d＋r＝＋2＝7，所以(a－3)2＋(b－4)2的最大值为72＝49. (2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．3 答案：D 解析：化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3.故选D． (2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A． B． C．(3，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：B 解析：易得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2.当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个.故选B． (2023·上海卷)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝　　　　. 答案：－3 解析：圆x2＋y2－4y－m＝0化为标准方程为x2＋(y－2)2＝4＋m.因为圆的面积为π，所以圆的半径为1，所以4＋m＝1，所以m＝－3. (2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值　　　　. 答案：2(2，－2，，－中任意一个皆可以) 解析：设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝.由d＝＝，所以＝＝，解得m＝±或m＝±2. (2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)交于C，D两点，｜AB｜＝3｜CD｜，则r＝　　　　　　　. 答案：2 解析：因为直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于A(－6，0)，与y轴交于B(0，6)，所以｜AB｜＝＝6，所以｜CD｜＝2.圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的半径为r，圆心(－1，3)到直线l1：x－y＋6＝0的距离为d＝＝，故｜CD｜＝2＝2＝2，解得r＝2. (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程　　　　　　. 答案：x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确) 解析：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，如图所示.因为｜OC｜＝r1＋r2，所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.因为kOC＝，所以l1的斜率为－.设直线l1：y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝1，解得b＝(负值舍去)，则l1：3x＋4y－5＝0.由图可知，l2：x＝－1.l2与l3关于直线y＝x对称，联立解得l2与l3的交点为(－1，－).在l2上取一点(－1，0)，该点关于y＝x的对称点为(x0，y0)，则解得对称点为(，－). 所以＝＝，则l3：y＝(x＋1)－，即7x－24y－25＝0.所以与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程为x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确). (2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：［，］ 解析：点A(－2，3)，B(0，a)，kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为，所以对称直线方程为y－a＝·x，即(3－a)x－2y＋2a＝0，又(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圆心(－3，－2)，半径为1，所以≤1，得6a2－11a＋3≤0，解得a∈［，］. 单元检测卷(二)　直线和圆的方程 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(2025·浙江金华十校调研)已知直线l的方程为y＝x＋1，则直线l的倾斜角为(　　) A． B． C．π D．π 答案：B 解析：由y＝x＋1，可得直线l的斜率为，故直线l的倾斜角为.故选B． 2.(2025·广东惠州期末测试)已知点A，B，直线y＝kx－2与直线AB平行，则实数k等于(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 解析：由kAB＝＝－，则k＝－.故选C． 3.已知直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋1＝0，则l1，l2间的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：将直线l1方程化为4x＋2y－2＝0，由平行直线间的距离公式得d＝＝.故选C． 4.若直线l1：ax＋y－4＝0与直线l2：x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－1，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：A 解析：当a＝－1时，l1：x－y＋4＝0，此时l1∥l2，不满足题意；当a≠－1时，解方程组 解得－1＜a＜2，即实数a的取值范围为(－1，2).故选A． 5.已知点P在圆(x＋1)2＋y2＝2上，则点P到直线x＋y－5＝0距离的最小值为(　　 ) A． B． C．2 D．3 答案：C 解析：(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，r＝，圆心C(－1，0)到直线x＋y－5＝0的距离d＝＝＝3，故圆(x＋1)2＋y2＝2上的动点P到直线x＋y－5＝0的距离的最小值为3－＝2.故选C． 6.若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D． 答案：A 解析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2).由＝x－1，得到(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)，所以曲线C表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0))，如图所示.当直线l经过点(1，0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，当l与半圆相切时，由＝1，得k＝，由图可知，当＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点.故选A． 7.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　) A．1 B． C．2 D．2 答案：A 解析：由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长｜AB｜＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A． 8.在平面直角坐标系中，已知点A，B，圆C：＋y2＝1.若圆C上存在点M，使得＋＝12，则实数a的值不可能是(　　) A．－1 B．0 C．1＋2 D．－2 答案：D 解析：设M，由题意可知＋＝12，所以＋y2＋x2＋＝12，整理得＋＝4.所以M是圆C：＋y2＝1与圆D：＋＝4的交点，由两圆位置关系可知圆心距满足2－1≤≤1＋2，即1≤≤3，解得a∈[1－2，1＋2]，a的值不可能是－2.故选D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　) A．直线l在y轴上的截距是2 B．直线l的斜率为 C．直线l不经过第三象限 D．直线l的一个方向向量为v＝ 答案：ACD 解析：对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；对于B，斜率k＝－，故B错误；对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；对于D，该直线的一个方向向量为，与v＝平行，故D正确.故选ACD． 10.(2025·广东惠州期末测试)已知圆C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，直线l：ax－y－a－1＝0(其中a为参数)，则下列选项正确的是(　　) A．圆心坐标为 B．若直线l与圆C相交，弦长最大值为12 C．直线l过定点 D．当a＝－时，直线l与圆C相切 答案：AD 解析：由圆C：x2＋y2－4x－6y－3＝0可化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，故A正确；弦长最大值为直径8，故B错误；由直线l：ax－y－a－1＝0方程可化为a－＝0，则直线过定点，故C错误；当a＝－时，直线l：－x－y＋－1＝0即l：8x＋15y＋7＝0，圆心到直线的距离d＝＝＝4＝r，从而直线与圆相切，故D正确.故选AD． 11.已知圆M：x2＋y2＋4x＝0和圆N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A．AB⊥MN B．直线AB的方程为x＋y＋3＝0 C．线段AB的长为 D．M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为1∶4 答案：ABC 解析：对于A，因为两个圆相交，所以圆心M，N所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B，因为圆M：x2＋y2＋4x＝0和圆N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B两点，所以两圆方程相减得到4x＋4y＋12＝0，即AB：x＋y＋3＝0，故B正确；对于C，圆M：x2＋y2＋4x＝0化为标准方程是(x＋2)2＋y2＝4，圆心M(－2，0)到直线AB：x＋y＋3＝0的距离为d＝＝，所以＝2＝2＝，故C正确；对于D，因为圆N：x2＋y2－4y－12＝0化为标准方程是x2＋(y－2)2＝16，圆心N(0，2)到直线AB：x＋y＋3＝0的距离为d'＝＝，所以M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为d∶d'＝∶＝1∶5，故D错误.故选ABC． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上) 12.已知直线l过点且方向向量为，则l在y轴上的截距为　　　　. 答案： 解析：因为直线l的方向向量为，所以直线斜率k＝－，又直线l过点，所以直线方程为y－6＝－(x＋1)，即3x＋2y－9＝0，令x＝0，得y＝，所以l在y轴上的截距为. 13.由点A(－3，3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则l的方程为　　　　　　　　. 答案：3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0 解析：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴对称的圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1.设光线l所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，即kx－y＋3k＋3＝0，由题设知对称圆的圆心C'(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d＝＝1.整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－，或k＝－.故所求的直线方程是y－3＝－(x＋3)，或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0. 14.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则小汽车　　　　进入安全预警区.(填“会”或“不会”) 答案：会 解析：由题意得A(40，40)，B(－240，0)，设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过O，A，B三点， 所以 解得所以圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0，即(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000.小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，圆心为C(－120，160)，半径r＝200，圆心C到直线y＝－x－200的距离d＝＝120＜r，所以直线y＝－x－200与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程. 解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)， 整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－14)， 由点到直线的距离公式得＝3， 即＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16. (15分)(2025·江苏无锡期末考试)已知直线l：ax－y＋3＋a＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－7＝0. (1)若l不经过第三象限，求实数a的取值范围； (2)当圆心C到直线l的距离最大时，求此时直线l的方程. 解：(1)直线l：ax－y＋3＋a＝0化为y＝ax＋3＋A． 由l不经过第三象限，得解得－3≤a≤0， 所以实数a的取值范围是. (2)圆C：x2＋y2－2x－2y－7＝0的圆心C(1，1)，直线l：a(x＋1)－(y－3)＝0恒过定点A(－1，3)， 当且仅当CA⊥l时，点C到直线l的距离最大，此时直线AC的斜率kAC＝＝－1， 直线l的斜率a＝1，直线l的方程为x－y＋4＝0. 17.(15分)(2025·广东佛山质量检测)已知A，B，C是圆P上的三点，D. (1)(一题多解)判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由； (2)过点D的直线l被圆P截得的弦长为8，求直线l的方程. 解：(1)A，B，C，D四点共圆. 法一：根据题意，kAB＝＝，kBC＝＝－7，则kAB·kBC＝－1，故AB⊥BC， 所以AC是圆P的直径， 于是圆心P，即P， 半径为＝＝5， 故圆P的方程为＋＝25. 代入D，则有＋＝25， 因此点D在圆P上，即A，B，C，D四点共圆. 法二：设圆P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－20， 所以圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 代入D得1＋25＋4－10－20＝0. 故点D在圆P上，即A，B，C，D四点共圆. (2)如图，当直线l的斜率不存在时，对于＋＝25，令x＝－1，得y＝－3或y＝5. 此时弦长为5－＝8，符合题意，故直线l的方程为x＝－1. 当直线l的斜率存在时，设y－5＝k，即kx－y＋k＋5＝0. 于是圆心P到直线的距离为d＝＝. 设弦长为，则＝2，即8＝2， 解得k＝－.故直线l的方程为7x＋24y－113＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或7x＋24y－113＝0. 18(17分)已知k∈R，圆C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0. (1)若圆C与圆x2＋y2＝1外切，求实数k的值； (2)求圆心C的轨迹方程； (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：(1)由圆C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0， 化为标准方程为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝42， 所以圆C的圆心为C(－k，－2k－5)，半径r＝4. 因为圆C与圆x2＋y2＝1外切， 所以＝4＋1＝5， 解得k＝0或k＝－4. (2)由(1)得C(－k，－2k－5)，即消去k得y＝2x－5， 所以圆心C的轨迹方程为y＝2x－5. (3)设直线l交圆C于A，B两点，设C(－k，－2k－5)到直线l的距离为d， 则｜AB｜＝2，假设存在符合题意的定直线l， 则＝2，解得d＝， 即圆心C到直线l的距离恒为， 而圆心C的轨迹方程为2x－y－5＝0， 所以可设直线l的方程为2x－y＋t＝0(t≠－5)， 且＝，｜t＋5｜＝， 解得t＝－或t＝－， 所以存在符合题意的定直线l，且定直线l的方程为2x－y－＝0或2x－y－＝0(t≠－5). 19.(17分)已知点O(0，0)，Q(2，0)，动点P满足｜PO｜2＋｜PQ｜2＝10，记动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并判断C的形状. (2)已知过点O且不与坐标轴重合的直线l1与曲线C相交于A，B两点. (ⅰ)过点O作与l1垂直的直线l2，与曲线C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值； (ⅱ)设曲线C与x轴相交于M，N两点，直线MA与NB相交于点G，证明点G在定直线上，并求出该直线的方程. 解：(1)设P(x，y)，由｜PO｜2＋｜PQ｜2＝10， 得x2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10， 化简整理得曲线C的方程为(x－1)2＋y2＝4. 故曲线C是以(1，0)为圆心，2为半径的圆. (2)(ⅰ)由(1)知，曲线C：(x－1)2＋y2＝4，圆心为C(1，0)，半径r＝2，如图①所示. 设直线l1：x＝my(m≠0)，圆心C到直线l1的距离d＝，则｜AB｜＝ 2＝2. 因为直线l2与l1垂直，所以直线l2：x＝－y. 同理可得｜EF｜＝2＝2. 所以四边形AEBF的面积S＝×2×2＝2≤4－＋4－＝7，当且仅当m2＝1，即m＝±1时S取得最大值，最大值为7，所以四边形AEBF面积的最大值为7. (ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨取M(－1，0)，N(3，0)，如图②所示. 联立直线l1和圆C的方程，得整理得(m2＋1)y2－2my－3＝0. 所以y1＋y2＝，y1y2＝. 所以y1y2＝－(y1＋y2). 易得直线AM：y＝(x＋1)，BN：y＝(x－3)， 联立得＝＝＝＝＝，解得x＝－3. 所以点G在定直线x＝－3上. 学生用书⬇第99页 学科网（北京）股份有限公司 $