第二章 直线与圆的方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的方程”核心内容，系统梳理直线倾斜角与斜率、方程形式（点斜式、斜截式等）、平行垂直判定，延伸至直线交点、距离公式、对称问题，再到圆的方程、位置关系及最值问题，构建从基础到应用的连贯学习支架。 资料通过表格对比直线方程形式、分步解析对称问题，培养数学眼光（几何直观）与思维（推理能力），圆的最值问题转化为几何模型体现数学语言表达。含单元知识导图，课中辅助教师突破难点，课后助力学生梳理方法，查漏补缺。

第二章直线与圆的方程 2.1-2.2直线倾斜角与斜率直线的方程 1.直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角 · 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。 · 当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α=0°。因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°。 · 平面上的任意直线的倾斜角都是唯一确定的。 （2）斜率k=tanα（α≠90°） （3）过两点的直线的斜率公式 过两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线的斜率公式k=。 当x₁=x₂时，即α=90，直线的斜率不存在。 2.两条直线平行和垂直的判定 （1）平行、垂直与倾斜角的关系 l₁∥l₂⇔α₁=α₂；l₁⊥l₂⇔|α₁−α₂|=90°。 （2）平行、垂直与斜率的关系 l₁∥l₂⇔k₁=k₂；l₁⊥l₂⇔k₁k₂=−1。注意直线与坐标轴垂直的特殊情况。 当α₁=α₂=90°时，直线l₁和l₂的斜率都不存在，此时l₁∥l₂；当α₁或α₂=90°时，若l₁⊥l₂，则另一条直线的倾斜角为0°。 3.直线方程的几种形式 名称 已知条件 标准方程 使用范围 点斜式 斜率k，直线上一点(x₀,y₀) y−y₀=k(x−x₀) k存在 斜截式 斜率k，y轴上截距b y=kx+b k存在 两点式 直线上两个定点(x₁,y₁),(x₂,y₂)（x₁≠x₂,y₁≠y₂） = 直线既不能垂直于x轴，也不能垂直于y轴 截距式 x,y轴上的截距a,b（ab≠0） +=1 直线既不能垂直于x轴，也不能垂直于y轴，且不过原点 一般式 A,B不同时为0 Ax+By+C=0 通用 几种特殊位置的直线方程 x轴：y=0； y轴：x=0； 平行于x轴的直线：y=b（b≠0）； 平行于y轴的直线：x=a（a≠0）； 过原点的直线：y=kx或x=0。 过点P(x₀,y₀)，且斜率不存在的直线方程为x=x₀；斜率为0的直线方程是y=y₀。 拓展1：直线方程过定点问题 直线方程过定点问题常用的三种方法： ①将方程化为点斜式y−y₀=k(x−x₀)，其中k为参数，求得直线恒过定点(x₀,y₀)。 ②分离参数法：将方程变形，把x,y作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x,y的值，即为直线过的定点的坐标。 ③赋值法：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于x,y的二元一次方程组，解方程组可得x,y的值，即为直线过的定点的坐标。 拓展2:利用直线系方程求直线的方程 常见的直线系方程有如下几种： ①平行于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+λ=0（λ是参数且λ≠C）； ②垂直于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx−Ay+λ=0（λ是参数）； ③过定点P(a,b)的直线系方程可设为m(x−a)+(y−b)=0（m为参数）。 2.3直线的交点坐标和距离公式 1.三角形的重心坐标公式 设△ABC的三个顶点坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)，则△ABC的重心G的坐标为(, )。 常见的点关于直线对称的点的坐标之间的关系总结 点A(a,b)关于x轴的对称点为A′(a,−b)； 点B(a,b)关于y轴的对称点为B′(−a,b)； 点C(a,b)关于直线y=x的对称点为C′(b,a)； 点D(a,b)关于直线y=−x的对称点为D′(−b,−a)； 点P(a,b)关于直线x=m的对称点为P′(2m−a,b)； 点Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q′(a,2n−b)。 2.对称问题 （1）点关于点对称 点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题。 设点P(x₀,y₀)关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y)，则有{, }，所以{x=2a−x₀,y=2b−y₀}，即点P′(2a−x₀,2b−y₀)。 特别地，点P关于坐标原点O的对称点为P′(−x₀,−y₀)。 （2）直线关于点的对称 ①直线关于点的对称直线方程的求法： 方法一：在已知直线上取两点，根据点关于点对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线的方程； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程。 ②直线Ax+By+C=0关于原点对称的直线方程是A(−x)+B(−y)+C=0。 （3）点关于直线的对称 ①若点P关于直线l的对称点为P′，则直线l为线段PP′的垂直平分线，于是有等量关系： a.k_PP′·k_l=−1（直线l的斜率存在且不为零）； b.线段PP′的中点在直线l上。 ②如图2−3−6，已知P(x,y)，直线l:Ax+By+C=0，求点P关于直线l的对称点P′(x′,y′)可以分两步来求： 第一步，直线PP′和直线l垂直，故k_PP′·k_l=−1；① 第二步，线段PP′的中点刚好在直线l上，即点(, )满足直线方程Ax+By+C=0，得到A·+B·+C=0。② 联立①②可以解出x′,y′，从而可得点P′(x′,y′)。 特别地，点D(, )关于直线x+y+c=0的对称点D′的坐标为(−−c,− −c)，关于直线x−y+c=0的对称点D″的坐标为(−c, +c)。 ③常见的点关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下： 点A(a,b)关于x轴的对称点为A′(a,−b)； 点B(a,b)关于y轴的对称点为B′(−a,b)； 点C(a,b)关于直线y=x的对称点为C′(b,a)； 点D(a,b)关于直线y=−x的对称点为D′(−b,−a)； 点P(a,b)关于直线x=m的对称点为P′(2m−a,b)； 点Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q′(a,2n−b)。 （4）直线关于直线的对称 ①已知直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，求直线l₁关于直线l₂的对称直线的方程。 如果l₁∥l₂，则设所求直线方程为A₁x+B₁y+m=0（m≠C₁），然后在直线l₁上找一点P，求出点P关于直线l₂的对称点P′(x′,y′)，再代入A₁x+B₁y+m=0即可解出m，从而得所求直线方程。 如果l₁不平行于l₂，则先找出l₁与l₂的交点P，然后在l₁上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l₂的对称点P′，由两点式确定所求直线方程。 ②常见的直线的对称有以下几种情况： 对于直线l:Ax+By+C=0， 它关于x轴的对称直线方程为Ax+B·(−y)+C=0； 它关于y轴的对称直线方程为A·(−x)+By+C=0； 它关于直线y=x的对称直线方程为Bx+Ay+C=0； 它关于直线y=−x的对称直线方程为A·(−y)+B·(−x)+C=0。 拓展3:与直线有关的对称问题的解决方法 求点关于直线的对称点 根据轴对称的定义可得，①对称轴l垂直于点P和其对称点Q所连的连线段PQ；②对称轴l过线段PQ的中点。所以设出对称点Q的坐标，由上面两个条件列方程组，然后解答。具体过程如下： 设P(x₀,y₀),l:Ax+By+C=0（AB≠0），若点P关于l的对称点为Q(x,y)，则l是线段PQ的垂直平分线，即PQ⊥l，线段PQ的中点M在直线l上，解方程组 {·()=−1, A·+B·+C=0} 可得点Q的坐标。 特别地，点D(, )关于直线x+y+c=0的对称点D′的坐标为(−−c,− −c)，关于直线x−y+c=0的对称点D″的坐标为(−c, +c)。 求直线关于点的对称直线 两直线关于点对称：设直线l₁,l₂关于点P对称，则①其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上；②l₁∥l₂；③点P到直线l₁,l₂的距离相等。若直线l₁的方程为Ax+By+C=0，点P(x₀,y₀)，设直线l₂的方程为Ax+By+C′=0。由点P到直线l₁和l₂的距离相等，可列方程 = 求解，进而可得直线l₂的方程。 2.4-2.5圆的方程直线与圆圆与圆的位置关系 单元知识导图 以直径两端点求圆的方程 以A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)为直径的两端点的圆的方程：(x−x₁)(x−x₂)+(y−y₁)(y−y₂)=0。 突破1：求解与圆有关的最值问题 ①借助几何性质求最值 ①形如μ=的最值问题，可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题； ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如u=(x−a)²+(y−b)²的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。 ②建立函数关系式求最值 根据题目条件列出所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法。 ③折线段问题 形如|PA|+|PQ|的形式与圆有关的折线段问题，要立足两点：①"动化定"，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②"曲化直"，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决。 利用几何意义求最值： （1）当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r（r为圆C的半径）。 （2）当一条直线l与圆C相切于点P时，则l⊥PC。 （3）过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到|PC|²=|PQ|²+r²。 拓展4:两圆相交时问题的处理 ①公共弦方程：两圆相交时，两圆方程作差得公共弦所在直线的方程，即x²+y²+D₁x+E₁y+F₁−(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0，得方程为D₁x+E₁y+F₁−(D₂x+E₂y+F₂)=0。 ②公共弦长： （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长。 （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，在圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形中，根据勾股定理求出半弦长，进而求出弦长。 拓展5:与圆有关的对称问题 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称。 （2）圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置。 ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点。 （3）圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置。 ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线。 能力1：求圆的方程的常见方法 求圆的方程常见的方法有： （1）直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入圆的标准方程。 （2）待定系数法： ①根据题意，设所求圆的标准方程为(x−a)²+(y−b)²=r²（或设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0）。 ②根据已知条件，建立关于a,b,r（或D,E,F）的方程组。 ③解方程组，求出a,b,r（或D,E,F）的值，并把它们代入所设的方程中，就得到所求圆的方程。 （3）几何性质法：如果在求解圆的方程时能够结合圆的有关几何性质来考虑，可以使思路直观，计算简单，这就是我们所说的"数形结合"思想，学习这部分内容时，要注意培养这种思想。常用的几何性质有： ①圆心与切点的连线垂直于过切点的圆的切线。 ②圆心到切线的距离等于半径。 ③圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形。 ④圆中任意弦的垂直平分线必过圆心。 ⑤圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心。 （4）定义法：先判断轨迹是圆，然后写出方程。 知识点2两圆的公切线 （1）两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线。 （2）两圆的公切线位置的5种情况： ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线。 ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线。 ③相交时，有2条公切线，都是外公切线。 ④内切时，有1条公切线。 ⑤内含时，无公切线。 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系。 （3）求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可。要注意公切线的斜率可能不存在。 圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。常见的圆系方程有以下几种： （1）以(a,b)为圆心的同心圆系方程是(x−a)²+(y−b)²=λ²（λ≠0）。 （2）与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程是x²+y²+Dx+Ey+λ=0。 （3）过同一定点(a,b)的圆系方程是(x−a)²+(y−b)²+λ₁(x−a)+λ₂(y−b)=0。 （4）过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0。 （5）过两圆C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0和C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0的交点的圆系方程是(x²+y²+D₁x+E₁y+F₁)+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0（λ≠−1）。（其中不含有圆C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0，注意检验C₂是否满足题意，以防漏解） ①当λ=−1时，l:(D₁−D₂)x+(E₁−E₂)y+F₁−F₂=0为两圆公共弦所在的直线方程。 ②当两圆相切（内切或外切）时，l为过两圆公共切点的直线方程。 学科网（北京）股份有限公司 $