第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）讲义（6类热点题型讲练）2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦圆锥曲线的方程（面积问题），系统梳理三角形、焦点三角形、平行四边形的面积计算方法，以及范围问题中均值不等式、二次函数、导数的应用，为椭圆、双曲线、抛物线的面积定值与最值问题提供学习支架。 该资料按圆锥曲线类型分题型设计，含典例与变式，结合高考真题培养数学思维与推理能力，通过规范解题过程提升数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第10讲拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题） 第一部分知识梳理 知识点一：三角形面积问题 直线B方程：y=:+m d=lPH=K。-⅓+m V1+k2 5whd=+6-tm.ac⅓+ A到V1+k 24 知识点二：焦点三角形的面积 直线AB过焦点B,△4BF的面积为 mk小为- Sxon 4BId士4 eMo'+bA-C a2A2+b2B2 VA2+B2 ab/(a2A2+b2B2-C2)C2 a2A2+b2B2 注意：A'为联立消去x后关于'的一元二次方程的二次项系数 知识点三：平行四边形的面积 直线AB为y=+m,直线CD为y=C+m d=lCH=匹-m V1+k2 4=+-小+G+-46=i-4F A Saw=Al-d=+A.m-m_ 公m,-m 41+ 4 注意：A为直线与椭圆联立后消去'后的一元二次方程的系数. 知识点四：范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数 均值不等式a2+b2≥2ab(a,beR) 变式：a+b≥2ad(a,beR5ab≤+乌(a,beR') 2 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值： 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： (1) 2t2 S=2+64t+0 .64(注意分 三种情况讨论) t=0,t>0,t<0 12k2 12 )、AB=3+9r++6k2+19k2++6S -≤3+ 2×3+6 当且仅当？=1 2时，等号成立 3)Pg-34+25235+9.9≥34+2 9x 25 256×9 =64 25y 9xg 25 当且仅当25.255=9.9 9x2 5时等号成立. 3m2.m_1 1工m2-m2+8=2 2V2 2 当且仅当m=-m2+8时，等号成立 (5) 2k2-m2+1+m s=22+RV2-m+1.2m=4N2N2-m+ms4W2,2 1+2k2 1+2k2 1+2k —=22 V1+k2 当且仅当2k2+1=2m时等号成立 第二部分题型精讲 题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值) 〖典例12627高三上浙江杭州开学考试)已知椭圆C:+发1(a>b>0,点 F(L,O0)为椭圆C的右焦点，过点F作直线I交曲线C于A、B两点，当直线1与x轴垂直 时，AB=3. (1)求曲线C的方程： (2)若x轴上一点T(1,0)满足∠ATF=∠BTF. (i)求实数t的值； AT 3 ()若B75,求 的面积. TAB x2.y2 【典例2】(26-27高三上山东阶段检测)已知椭圆E:京+尔1（a>b>0)的左顶点 为A4:下顶点为g’短轴长为4'离心率为3，P(x)是E上位于第一象限内的动点， 直线PA交y轴于点M,直线PB交x轴于点N, (1)求E的方程： (2)证明：四边形ABNM的面积为定值 x2,y2 【变式1】(25-26高二下四川乐山期未)已知椭圆c:京+=1（a>b>0)的离心率 √2 为2，焦距为2， (1)求椭圆C的方程： (2)过椭圆C的左焦点F作倾斜角为60°的直线1，直线1与椭圆C相交于A,B两点，O为 坐标原点，求△OAB的面积. 【变式2】(25-26高二下云南楚雄期未)已知椭园C:二+广 a+京=1a>b>0)的左、右焦点 分别为F,E,短轴长为2，离心率为2 (1)求C的标准方程； V6 2)过点E,的直线，与c相交于M,N两点，若线段MN的中点的纵坐标为-6，求△FMN 的面积 【变式3】25-26高二下江苏南京阶段检测)已知椭圆C:气+左(（0>6>0)离心 率等于臣且椭圆经过点P ”2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线y=a+m与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，直线OM,ON的斜率之 1 积等于-2，求△OMN的面积. 题型02椭圆中三角形（四边形)的面积问题（最值或范围） 【典别1】(2525高二下潮南株阶段检测已知畅圆C:号+y1(,>1）的左、右 焦点分别为F、F,直线I:y=cx+m(m≠0)与椭圆C交于M、N两点(M点在N点 的上方)，与V轴交于点E. (1)当t=3时，点A为椭圆C上除项点外任一点，求△4F的周长： .2√2 (2)若椭圆c的离心率为3，当k为何值时，OMP+ONP恒为定值：并求此时△MON 面积的最大值. 【典例2】(2026高三全国专题练习)已知曲线C: 过+凶=-1(a>b>0)所围成的封闭图 a b 2V5 形的面积为45，曲线C的内切圆半径为3，记c,为以曲线C,与坐标轴的交点为顶点 的椭圆。 (1)求椭圆C2的标准方程： (2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦，1是线段AB的垂直平分线.若M是I与椭圆C2的交 点，求△AMB的面积的最小值. 【变式1】(（25：26高二下上海徐汇期末)已知椭圆C:+片 :京+厅=1a>b>0)的离心率为号 ,点(2,3)在椭圆C上，过点P(8,0)的直线1交椭圆C于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)求△OAB面积的最大值(O为坐标原点) 【变式2】(2026甘肃模拟预测)已知椭圆C:+广 :a+存=1(a>b>0)的左焦点为F,c的 离心率为2，且c过点(2,2) (1)求椭圆C的方程： (2)已知M(8,0),N(1,O),过点N的直线与C交于A,B两点(A,B不在x轴上)· (i)求证：∠NMA=∠NMB: (ii)求△AB面积的最大值. 【变式3】(2026江西南昌模拟预测)已知椭圆C:+广 :。+存=1a>b>0)的上顶点为40，) 3 ，离心率为2,0为坐标原点 (1)求椭圆C的方程： (2)动直线/过点A且与椭圆的另一个交点为p,若O0=O1+0P,求△OPQ面积的最大 值 题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值) 2上=1，斜率为2的动 【典例1】(26-27高三上云南昆明阶段检测)已知双曲线c:2-2 直线与双曲线C交于A,B两点，点M是A,B的中点： (1)证明：点M在直线y=2x上： (2)若点M(2,),O为坐标原点，试求此时三角形OAB的面积. 典例2】2026高三全国专题练习已知双曲线C:，少1的右焦点为 (1)求双曲线的渐近线方程： 14 (2)已知P 0,点O在双曲线C上且PQ不与坐标轴垂直，若aPQr为直角三角形，求 △PQF的面积 【变式1】(25-26高二上·湖南永州·阶段检测)已知双曲线E的标准方程为 x2 y2 。F=1(a>0,b>0),左、右焦点分别是F、F,B到双曲线渐近线的距离是1'并且 25 离心率为 3 (1)求双曲线E的标准方程： (2)若斜率为1的直线I过点F与双曲线E交于A、B两点，求△ABF的面积 x2 y2 【变式2】（25-26高三下辽宁阶段检测)已知双曲线c:a厅=1(a>0,b>0)的离心 率为2，且经过点(-2，-3)】 (1)求C的方程： 2)若直线1：y=c+m(k≠0)与C交于A,B两点 1 ()若直线x=-2与x轴交于点D'与线段AB交于点E'且∠ADB=2∠BDE' 证明：直线过定点： (i)设O为坐标原点，若C上存在不同于A,B的点M,使AM=-3OB, 求四边形AMOB的面积， 【变式8】(Q2026润南供作楼银候)已加4”g分别是双曲线C:号若-a>06>0 的左、右顶点，且4=4，动点M(,)在C上，当州=3时，M= (1)求C的标准方程. (2)已知P,Q是C的右支上不同于M的两点， ()若线段PM的中点为N(21,)t≠0)，证明：直线PM的斜率为定值： 西若右M3引.直线w·ey台车互为相反数.且n∠pM0- 3，求△POM 的面积. 题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】(2026商三全国专题练习)如图。F-5为双曲线C:若号-a>0b>0)的 左、右焦点，动点P(x,%)在双曲线C的右支上.设∠FPF的平分线与x轴、y轴分别交 于点M(m,0)和点，且当PW⊥FN时，|ON=2. VA OM/ (1)当2V2时，求m的取值范围： (2)在(1)的条件下，设过点F,N的直线1与双曲线C交于D,E两点，求△FDE面积的取 值范围。 【典例2】(2025陕西咸阳·模拟预测)已知双曲线C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐 标轴，其一条渐近线方程为y=-2√2x,且点E(N5,4)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程： (2)已知M(-3,0),N(3,0),过点N的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点，直线PM与 直线=3交于点A (i)证明：直线AQ恒过定点： 1 (i)若直线oM与直线x=3交于点B'直线AQ与直线BP交于点D'求△PQD面积的 最小值 【变式1】(2025福建三明三模)平面直角坐标系xO中，M是一个动点，直线MM1与直 了：華直，垂是M位于第一象限，直线MM,与直线=5 线 3x垂直，垂足M,位于 第四象限，且MM,MM,=-3 81 (1)求动点M的轨迹方程C: (2)若过点H(2,0)的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A(异于点 B),直线AB与x轴交于点G,求△BGD面积的取值范围· 【变式2】(2425高=上山西太原阶段检测)已知双曲线C:二 :a京=1(a>0,b>0)与椭 圆5x2+9y2=45有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为60°. (1)求双曲线C的方程： (2)C的左、右焦点分别为F,B,若过的直线与C交于A,B两点.当A,B两点均在C的左 支上时，求△AOB面积的取值范围. 5 【变式3】(2425高三上湖南阶段检测)已知双曲线E的焦点在，轴上，离心率为3 ,点(3，V2)在双曲线E上，点F,E分别为双曲线的左、右焦点 (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线马和2，与双曲线的右支分别交于A,C两点和B,D两点， 求四边形ABCD面积的最小值 题型05抛物线中三角形（四边形)的面积问题（定值) 【典例1】(2026浙江一模)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,C上有一点 P(P,%)到焦点F的距离为3，过焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，4B=6,0为坐标 原点 (1)求点F的坐标： (2)求△OAB的面积. 【典例2】(25-26高二上宁夏期末)开口向上的抛物线C:x2=2p少(p>0)的焦点为F, 过点F作直线1与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点当直线I⊥y轴时，AB=4. (1)求抛物线C的标准方程及准线方程； (2)若直线AB的斜率为2，求△ABO的面积. 【变式1】(25-26高二上四川成都期末)己知抛物线C:y=2px(p>0)上一点M与焦点 的距离为4，点M到x轴的距离为V3p. (1)求C的方程： (2)点P为C的准线上一动点，直线PO(O为坐标原点)与C交于另一点A,过点P作V 轴的垂线与C交于点B若∠A0B=, 3,求。4OB的面积 【变式2】(25-26高二上上海期末)如图，己知抛物线y=4x,顶点为0，过焦点的直 线交抛物线于A,B两点. 0 B (1)设AB=8,求线段AB中点到y轴的距离： (2)若直线AB的倾斜角为45°，求△OAB面积. 【变式3】(25-26高二上·北京延庆·阶段检测)在直角坐标系x0中，点P到直线x=-2 的距离比到点F(,0)的距离大1，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： 2)若P为曲线C上任意一点，己知一点D(1,),求PD+PF的最小值及此时点P的坐 标； (3)过F的直线1交曲线C于A,B两点，且I的倾斜角为60°，求AB及△AOB的面积 题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】(25-26高二下广西贺州期末)在平面直角坐标系x0y中，已知定点F(1,0)和 定直线1：x=-1动点P(x,)到定点F的距离等于它到定直线的距离，记动点P的轨迹 为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)设O为坐标原点，点A,B是曲线C上异于原点O的两个动点，且满足OA⊥OB. (1)证明：直线AB恒过定点： (i)求△AOB面积的最小值. 【典例2】(2026宁银川三模)已知抛物线C的顶点为原点，焦点F0号引p>0)到直 线：y=-1的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)设P(,-)为直线1上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切 点 ①证明：直线AB的方程为x-2y+2=0: ②求△PAB面积的最小值： 【变式1】(25-26高二下重庆阶段检测)已知抛物线C的顶点为原点，焦点F(0,c)( c>0)到直线l:y=-1的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)设P(,-)为直线1上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切 点. (1)证明：直线AB的方程为x-2y+2=0, (i)求△PAB面积的最小值. 【变式2】(25-26高三下·江苏南通开学考试)已知点A,B,C，D都在抛物线 E:x2=4y上，且DC=2AB,线段AB,CD的中点分别为M,N. (1)证明：直线MN垂直于x轴： (2)直线AB经过曲线E的焦点F,直线AD与BC相交于点P,求△PAB面积的最小值. 【变式3】(2025云南模拟预测)设抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交E于 A,B两点，O为坐标原点 (1)求OAOB: (2)设点T(2,0),直线AT,BT与E的另一个交点分别为C,D,求△CDT面积的最小值： 第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题） 第一部分 知识梳理 知识点一：三角形面积问题 直线方程： 知识点二：焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 知识点三：平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 知识点四：范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 第二部分 题型精讲 题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． (1)求曲线的方程； (2)若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意得，再结合通径长公式得，最后根据即可求得，得答案； （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为点为椭圆的右焦点，所以， 因为过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，， 所以，将代入方程得，所以，即， 因为，所以，即，解得或（舍）， 所以，即曲线的方程为； （2）解：（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，代入韦达定理整理得， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ii）因为，所以为的角平分线， 所以. 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以 因为， 所以，即，解得， 不妨设，则，． 所以的面积. 【典例2】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 则，，而四边形的对角线互相垂直， 所以， 因为， ， 所以 所以， 所以四边形的面积为定值. 【分析】（1）根据椭圆性质及，，的关系联立即可求解； （2）运用坐标法与椭圆方程代入消元，由以及椭圆方程得，通过两点式求出直线、与坐标轴的交点、，利用对角线，将四边形面积转化为，借助椭圆方程消去二次项，化简即可求解面积. 【详解】（1）由题意可得，，所以. 因为，所以， 所以的方程为. （2）略 【变式1】（25-26高二下·四川乐山·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦距可得，即可得，从而求得椭圆C的方程； （2）求直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式求得，以及点到直线的距离，即可得面积. 【详解】（1）因为椭圆：（）的离心率为，焦距为2， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为：． （2）由题意可知：，直线的斜率，且直线与椭圆必相交，    则直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 设，，则，， 可得， 且点到直线：的距离为． 所以的面积为． 【变式2】（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 【变式3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）联立直线与椭圆的方程，根据斜率之积得出，再利用化简即可. 【详解】（1）由题意得，， 得， 故椭圆的标准方程为； （2）联立，得， 设，则， 即， ， 则 ， 得， 则的面积 . 题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 【答案】(1)； (2)，恒为定值；面积的最大值为 【分析】（1）由椭圆定义可得周长； （2）由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，从而得到时，恒为定值；并求出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）当时，椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，的周长为； （2）由题意得，解得， 椭圆方程，联立，消元得， ，可得， 设，，则，， 又因为、在椭圆上，则，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知列方程组求参数值，再由曲线的关系即可得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率，并设出直线方程，联立椭圆求交点坐标，再由化简得到定值，结合三角形面积公式及基本不等式求面积最小值. 【详解】（1）当时，，则，由对称性知内切圆的圆心为原点， 结合题设，有，解得， 因此所求椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率存在且时，则， 联立，得， 由，解得， 所以，则，同理， 法一：由 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 法二：因为， 又， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是， 当时，， 当k不存在时，， 综上所述，的面积的最小值为. 【变式1】（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值（为坐标原点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件建立方程，，求出，即可求解； （2）根据条件设直线的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式求出，求出到直线的距离，进而可得，再求出其最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，整理得到①， 又点在椭圆上，则②，由①②解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）易知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，得到， 所以， 又到直线的距离为， 所以， 令，则， 令，令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则， 所以面积的最大值为. 【变式2】（2026·甘肃·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【详解】（1）由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 【变式3】（2026·江西南昌·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】（1）根据椭圆性质与离心率即可求解； （2）讨论直线方程，通过求解点与点坐标，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的上顶点为，所以， 因为离心率，且， 所以，， 则椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线过点，直线方程为，此时、、三点共线，不满足题意， 所以直线斜率必存在，设直线方程为， 联立得， ， 解得方程两根为，， 因此，所以点坐标为， 因为，所以设， 则，，即 ， 直线的方程为 ，所以点到直线的距离为， 而，所以， ， 所以， 当时，，当时，有， 所以，当且仅当时等号成立. 所以最大值为.    题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 【答案】(1)设，，， 因为点，在双曲线上， 则， 即：，. ∴点在直线上，得证. (2) 【分析】（1）根据点差法即可求解； （2）先求出直线方程，与双曲线联立，然后根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，最后由面积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）直线的方程是l：， 与双曲线方程联立得：， 所以，. ， 点到直线的距离， 所以.    【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据渐近线的定义即可写出； （2）分、两种情况讨论，分别求出点的坐标，即可求的面积. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）易知，已知， 点在双曲线上且不与坐标轴垂直，则， ①当时，将代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设， 则， 则，解得， 则.       故的面积为或. 【变式1】（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别是、，到双曲线渐近线的距离是，并且离心率为 (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线过点与双曲线交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合可得出、的值，由此可得出双曲线的标准方程； （2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求出的面积. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离为， 又因为，所以，， 所以双曲线的标准方程为. （2）设、，由（1）及题设知、， 所以直线方程为，联立，消得：， ， 由韦达定理可得，， 所以， 又因为，所以， 即的面积为. 【变式2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知双曲线：的离心率为2，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线：与交于，两点. （i）若直线与轴交于点，与线段交于点，且， 证明：直线过定点； （ii）设为坐标原点，若上存在不同于，的点，使， 求四边形的面积. 【答案】(1) (2)（i）由条件可知，设，， 联立整理得， 则即， 且，，. 因为，所以，则， 又，所以 即， 所以， 则， 整理得，所以直线的方程为， 故直线过定点. （ii） 【分析】（2）（i）因为，所以，则， 整理得，将直线的方程与双曲线C的方程联立，消去，韦达定理求出，代入上式即可求解 （ii）设， 由，得 将点代入，化简整理得， 将，代入上式，表示出，再求出点到直线的距离，即可求解，又，所以， 所以，得解. 【详解】（1）由题意可知 解得，，故的方程为. （2）（i）略 （ii）设，则，， 因为，所以，即 将点代入，得， 整理得， 又，在上，所以，， 代入上式得， 又，均在直线上， 所以，， 则， 整理得， 将，代入上式，得， 则， 所以 . 又点到直线的距离， 故的面积为. 又，所以， 所以. 【变式3】（2026·河南焦作·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右顶点，且，动点在上，当时，． (1)求的标准方程． (2)已知，是的右支上不同于的两点． （i）若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值； （ii）若点，直线，的斜率互为相反数，且，求的面积． 【答案】(1) (2)(i) 设，因为在双曲线上， 所以，两式相减得：， 即， 因为的中点为，所以， 所以直线的斜率为 ，即为定值； (ii) 【分析】(1)由左右顶点信息可得，再把点的坐标代入的方程即可得； (2)(i)结合中点信息和双曲线方程，利用点差法即可得到直线的斜率； (ii) 先运用正切的和差角公式列出方程解得直线的斜率，再写出直线方程并与双曲线方程联立，依次得到点和的坐标，最后使用弦长公式和三角形面积公式算出的面积. 【详解】（1）因为，是双曲线的左、右顶点且，所以 即 . 又因为在上，且当时，， 所以，解得 ， 所以的标准方程为 . （2）(i)略 (ii) 设，依题意有， 因为，所以，， 又点在点右上时，，点在点左下时有， 所以，平方整理得， 令解得 或，所以或，因为小于的渐近线斜率， 此时直线与双曲线左支必有交点，也就意味着点在左支，故， 设，因为点在直线上， 所以的方程可设为，将其与双曲线方程联立得， 化简得， 由韦达定理有，同理可得， 又，， 所以. 【点睛】 题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． (1)当时，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长与交于点，当时，，且为中点，结合双曲线定义，以及角平分线的性质，根据题意即可求得结果； （2）根据题意表示出直线的方程，结合韦达定理表示出三角形面积并直接求出范围即可. 【详解】（1）延长与交于点． 当时，，且为中点， 所以， 则，所以双曲线的方程为：， 则， 即， 由点在的平分线上知， 由， 且点在双曲线右支，即，可得， 则， 且， 故由，得. （2）由（1）知， 令，则， 故点．则， 与双曲线方程联立消去得：．， 设，则， 所以， 因为，令，所以， 此式子随着的增大而增大， 所以得，当且仅当时，． 【典例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明：因为两点P，Q在双曲线C的右支，所以直线与x轴不重合，设直线的方程为，，. 联立方程得， 则， ，， 直线PM的方程为， 令，得点A的坐标为， 所以直线的方程为， 令，得直线与x轴交点的横坐标 . 故直线恒过定点. （ⅱ）. 【分析】（1）先根据点与渐近线的位置关系确定双曲线的焦点在x轴上，再利用待定系数法求解双曲线的方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，，写出直线PM的方程，令得点A的坐标，写出直线的方程，令即可求出定点；（ⅱ）先说明直线BP也过定点，即，根据题意判断出参数的取值范围，表达出面积，利用换元法求最小值即可. 【详解】（1）因为点在渐近线上方，所以双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为（，）. 由题知，解得，， 故双曲线的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）同理可得，直线BP也过定点， 因为直线与直线BP交于点D，所以. 因为过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点， 所以或或，即. . 令，则，， 因为函数在上单调递增，故， 故的面积的最小值为. 【点睛】 【变式1】（2025·福建三明·三模）平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，利用点到直线的距离得到和，再根据向量的数量积即可求解； （2）设直线BD方程为，联立直线BD的方程和曲线C，利用韦达定理得到和，写出直线AB的方程，令得到，进而得到，利用换元法结合二次函数在给定区间的值域求解即可. 【详解】（1）设，直线与直线的夹角为，即， 又因为，所以， 又因为，， 所以，化简得， 由于位于第一象限，位于第四象限， 所以M的轨迹方程； （2）由题可知直线斜率不为0，故设直线BD方程为， ，，，， 联立直线BD与曲线C，可得且， 化简得，，， ，，所以， 设直线AB方程为， 令，得， 所以， 所以， 令，， 所以，，， 综上，面积的取值范围为. 【变式2】（24-25高二上·山西太原·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 【变式3】（24-25高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和，及点在双曲线上，求出，即可求出的方程； （2）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用，即可求出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（2026·浙江·一模）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义解出p的值，得到点的坐标； （2）设直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出直线方程，进而得到到直线距离，最终求得的面积 【详解】（1）由抛物线定义可得，因此 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2） 设直线的方程为，与联立，消元可得， ， 设，则， 所以； 解得. 所以原点到直线的距离为， 所以 【典例2】（25-26高二上·宁夏·期末）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为2，求的面积. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据，求面积即可. 【详解】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2）由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 【变式1】（25-26高二上·四川成都·期末）已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求的方程； (2)点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，利用抛物线的焦半径公式结合题设条件列出方程求出的值，即得抛物线的方程； （2）设，，利用题设条件求出与，利用向量数量积的定义与坐标公式计算求得，根据三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设点，由，得， 由点到轴的距离为，得， 又，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）不妨设点在第二象限，可设，，则， 将其与联立，解得，代入，可得，即得， 又轴，且点在抛物线上，故，代入，可得，即得， 则，由， 又，可得， 故的面积为. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出即可求解； （2）设，直线的方程：与抛物线方程联立，求出、，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得三角形的高，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. （2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得，        设，所以，， 所以，                        原点到直线的距离，      所以.    【变式3】（25-26高二上·北京延庆·阶段检测）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为曲线上任意一点，已知一点，求的最小值及此时点的坐标； (3)过的直线交曲线于两点，且的倾斜角为，求及的面积. 【答案】(1) (2)的最小值为； (3)，的面积为 【分析】（1）根据点到直线距离公式与两点间的距离公式列出方程化简即可求得；（2）结合抛物线的定义和图象，根据点到直线的距离最短即可求得最小值，利用三点共线且平行于横轴即可求得点的坐标；（3）联立直线与抛物线的方程，根据根与系数的关系和弦长公式即可求得弦长，再利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）设，因为点到直线的距离比到点的距离大，所以； 当时，，化简得，不符合题意； 当时，，化简得；所以曲线的方程为； （2）由（1）知，曲线，焦点为，准线方程为； 如图，过点作准线的垂线交准线于，则；    由图可知，当三点共线时，即在图中的位置时，的最小； 即，即的最小值为；此时，，所以，即； （3）    设，由（1）知，，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，所以直线的方程为； 由，得，所以，； 所以； 因为直线的方程为，即，所以到直线的距离为； 所以的面积为； 综上，，的面积为. 题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（25-26高二下·广西贺州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可. （ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 【典例2】（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点，，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 【变式1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (i)设切点，由得 ，. 则抛物线在点处的切线斜率为，切线方程为且， 整理得， 因为在切线上，代入切线方程得， 同理，对切点可得. 说明两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线的方程就是得证. (ii) 【分析】（1）根据抛物线性质求解即可； （2）结合导数的几何性质整理出切线方程，再利用两点确定一条直线即可证明；利用弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形面积即可求解最小值. 【详解】（1）由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 焦点到直线的距离为，解得， 因此抛物线的方程为. （2）（i）略 （ii）联立直线与抛物线的方程， 消去得，判别式， 由韦达定理得， 弦长， 点到直线的距离，   因此的面积. 因为，当即时，取得最小值， 因此面积的最小值为. 【变式2】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知点，，，都在抛物线上，且，线段，的中点分别为，． (1)证明：直线垂直于轴； (2)直线经过曲线的焦点，直线与相交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明:设， 则，， 因为，则，又易知， 所以向量也共线， 所以，得到， 又线段，的中点分别为，，所以，则直线垂直于轴. (2) 【分析】（1）设，根据条件可得共线，即可求解； （2）设，联立直线与抛物线方程，利用根与系数间的关系，得，求出直线与的方程，进而得点，再求出点到直线的距离和，利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）略； （2）易知，由题知直线的斜率存在，设， 由，消得，则，， 因为，则直线的方程为①， 又，则直线的方程为②， 联立①②，消得， 整理得到， 由（1）知，又，即， 所以，由，得到， 将代入，得到， 将代入，整理得到， 所以，则，所以到直线的距离为， 又， 所以，又，所以， 故面积的最小值为. 【变式3】（2025·云南·模拟预测）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点. (1)求； (2)设点，直线，与的另一个交点分别为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用直线与抛物线联立，由直线经过轴上的点的横坐标，可得两交点的纵坐标之积为定值，再结合点在抛物线上，又可求得两交点的横坐标之积为定值，从而可得向量积为定值； （2）利用第一问的结论，来研究交点的纵坐标，并可求得直线经过轴上的点的横坐标，再把的面积转化为的纵坐标之差与的长度之积的一半来进行计算即可求解. 【详解】（1） 设，，直线的方程为， 由得，时， 则， 因为直线经过点，所以，故，此时 而两点在上，故，，所以， 所以. （2）设，，因为直线，经过点， 由（1）知，由，则，， 设直线的方程为， 同理得，， 则，， 由， 而，所以，故. 所以直线经过定点，且， ， 当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $