直线和圆的方程：圆的轨迹问题、直线与圆相交的性质—韦达定理及应用讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线和圆的方程：圆的轨迹问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用讲义 直线和圆的方程：圆的轨迹问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用讲义 考点目录 圆的轨迹问题 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 考点一 圆的轨迹问题 【知识点解析】 一、核心本质 根据动点满足的几何约束，通过坐标法转化为代数方程，化简后判断轨迹为圆（或圆弧），最终得到轨迹方程。核心是确定圆心（定点）与半径（定长），或通过几何性质直接判定轨迹形状。 二、六大经典轨迹模型 1. 定义型轨迹 · 条件：动点到定点的距离等于定长 。 · 轨迹：以定点为圆心、 为半径的圆。 · 标准方程：。 2. 直径型轨迹（直角对直径） · 条件：动点 与两定点 满足 （或 ）。 · 轨迹：以 为直径的圆。 · 注意：若题目隐含 不与 重合，需去掉 两个端点。 · 拓展：若 为定角 ，则轨迹为以 为弦的两段圆弧，圆心在 的垂直平分线上，对应圆心角为 。 3. 距离平方和为定值 · 条件：动点 到两定点 的距离的平方和为定值 （）。 · 轨迹：以 中点为圆心的圆。 · 推导：设 ，则 ，整理得 。 关键区分：若距离平方差为定值，轨迹是垂直于 的直线，不是圆。 4. 阿波罗尼斯圆 · 条件：动点到两定点的距离之比为常数 （ 且 ）。 · 轨迹：阿波罗尼斯圆，圆心在两定点的连线上。 · 特例： 时轨迹为线段 的垂直平分线。 5. 相关点型轨迹（代入法） · 条件：动点 随另一动点 运动， 在已知圆上，且 满足明确的坐标对应关系（如中点、定比分点、平移、对称）。 · 解法：设 ，用 表示出 的坐标，代入 满足的圆方程，化简得 的轨迹方程。 6. 切线长定值轨迹 · 条件：到定圆的切线长为定值的点的轨迹。 · 轨迹：与定圆同心的圆（同心圆）。 · 原理：切线长 ， 为定值则圆心距 为定值，即到圆心距离为定值。 三、解题步骤 1. 设坐标：设动点坐标为 ； 1. 译条件：将几何约束条件转化为含 的代数等式； 1. 化方程：化简整理为圆的标准方程或一般方程； 1. 验纯粹：结合几何意义，去掉不符合条件的点，说明轨迹范围。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·贵州黔西南·期中）已知圆经过点，且恒被直线平分. (1)求圆的标准方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案； （2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案. 【详解】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分， 所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 （2）设.因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即，所以的轨迹方程为. 例2．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. (1)求圆的圆心坐标和半径; (2)求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 【答案】(1)圆心坐标，半径. (2) 【分析】（1）将一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径； （2）设，根据垂径定理可知，结合数量积的坐标表示运算求解. 【详解】（1）因为，即， 所以圆的圆心坐标，半径. （2）因为，可知在圆内， 设，则， 因为，则，即， 所以轨迹的标准方程为. 例3．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式代入整理即可得解； （2）利用相关点法与平面向量的坐标表示，结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 变式2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 变式3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点和点的坐标，因为是的中点，所以利用中点坐标公式建立与的坐标关系；又因为在圆上，将的坐标代入圆的方程，即可得到点的轨迹方程。 （2）先求出圆与点的轨迹的交点、，利用圆系方程，设出过两点的圆系方程，再将点的坐标代入求出参数，得到所求圆的方程. 【详解】（1）设点，， 因为点是的中点，所以，所以， 因为点在圆上，所以， 化简得， 所以点的轨迹方程是. （2）由（1）可得点的轨迹为圆，其一般方程为， 圆的一般方程为， 设经过两点的圆的方程为， 化简得， 将点代入得， 所以， 所以经过三点的圆的方程， 化简得，   故过三点的圆的方程为. 考点二 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【知识点解析】 一、核心本质 将直线方程与圆的方程联立，消元后得到一元二次方程，交点的横/纵坐标即为方程的根。通过韦达定理（根与系数的关系），无需解出具体交点坐标，即可计算弦长、斜率、数量积等目标量，是「设而不求」思想的核心体现。 二、基础联立与韦达形式 设直线 ，圆 。 将 代入圆的方程，消去 ，整理得关于 的一元二次方程： 设两交点为 、，则韦达定理为： 直线与圆相交的前提：。 若直线为 （斜率不存在），直接代入圆方程得关于 的二次方程，同理可用韦达定理。 三、五大核心应用 1. 弦长计算 · 代数弦长公式： · 对比：圆中优先用几何法（垂径定理 ），计算更简便；韦达法为通用通法，可直接迁移至所有圆锥曲线。 2. 中点弦与中点轨迹 · 弦中点坐标：，，代入韦达定理可直接得中点坐标； · 中点轨迹：将中点坐标中的参数消去，得到中点满足的轨迹方程，轨迹为过圆心且垂直于弦的圆内线段。 3. 斜率和与斜率积定值 · 场景：过定点 作动弦 ，证明 或 为定值。 · 方法：将斜率表示为坐标差的形式： · 通分后分子化为 、 的表达式，代入韦达定理，化简后参数抵消得定值。 4. 向量数量积计算 · 场景：计算 、 等向量数量积。 · 方法：展开为坐标乘积： · 代入 ，，整理为 、 的形式，代入韦达定理计算。 5. 定点与定值证明 · 场景：证明动直线过定点，或某几何量为定值。 · 方法：通过韦达定理将条件转化为直线参数的关系，代入直线方程，整理为「参数 式子 + 常数式 = 0」的形式，令系数分别为 0 解得定点坐标；定值问题则化简后参数抵消得常数。 四、解题步骤 1. 设直线：设直线方程，优先斜截式，同时考虑斜率不存在的情况； 1. 联立消元：代入圆方程，整理为一元二次方程； 1. 写韦达：写出两根和、两根积，验证 ； 1. 转目标：将所求量（弦长、斜率、数量积等）转化为两根和、两根积的表达式； 1. 代化简：代入韦达定理，化简得到结果。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由求得圆心坐标，进而可求解； （2）联立直线方程和圆的方程，结合韦达定理由，即可求解. 【详解】（1）由圆心在直线上，设， 由题意可得， 即， 化简可得：，即， 则， 故圆的半径为， 则圆的方程为 （2）设， 联立直线与圆方程， 得， 消去化简可得， 由韦达定理可得：， 因为以弦为直径的圆过点， 所以，即， ， 所以， 代入， 化简可得：， 代入韦达定理可得： ， 化简得：， 解得或 即直线方程为或， 故直线的斜率为或. 例2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意，得到圆心在直线上，连接，作轴，由圆被轴分成的两段弧之比为，求得，得到圆心，半径为2，即可求解； （2）易知直线的斜率为0不符合题意，设直线的方程为，与圆方程联立，结合韦达定理及求出的值即可. 【详解】（1）因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上， 如图所示：连接，作垂直于轴，垂足为， 又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以， 故，可得圆心的坐标为，半径为2. 所求圆的方程为：. （2）当直线的斜率为0时，则直线的方程为， 代入圆的方程得，解得， 不妨设,又, 则， 所以，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立，消去得， 即， 即. ，解得或. 设，， 则， 所以， 即， 即， 即， 故， 即，即， 所以， 即，解得或，均满足或. 综上所述，直线的方程为或. 例3．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得x轴平分. 【分析】（1）利用相关点法求曲线方程； （2）根据条件转化为直线上存在一点P，使，转化为点为圆心，为半径的圆与直线有交点，即可列式求解； （3）首先设垂直于轴时，满足条件，当不与轴垂直时，设直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求定点的坐标. 【详解】（1）设，，则 因为，所以，， 所以，整理为， 所以曲线的方程为； （2）由条件可知，若存在点，使， 所以四边形是正方形，则， 则以点为圆心，为半径的圆与直线有交点， 所以，解得：， 所以的取值范围是； （3）当直线轴时，两点关于轴对称，则轴正半轴上任意点，使得轴平分； 当直线不与轴垂直时，设，直线为，与曲线联立， 得， ， 设，， ，， 由题可知，，代入，， 化简得，即， 代入韦达定理， 整理为，得， 综上可知，轴上存在点，使得x轴平分. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知圆，点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹与圆交于，两点，求； (3)过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2) (3) 由题意知两直线的斜率都存在且互为相反数， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 则，， 设，， 联立化简得 由根与系数的关系得， 同理得， 从而， ， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值1. 【分析】（1）设，利用两点间距离公式化简即可解； （2）两圆方程联立相减可得直线的方程为，利用几何法求圆的弦长； （3）设，，分别与圆的方程联立，利用韦达定理化简直线的斜率. 【详解】（1）设，因， 所以， 化简得. 即动点的轨迹方程. （2）由（1）知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 由二式相减得. 即直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以. （3）略 变式2．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 【答案】(1)； (2) 证明：设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 则， 所以当不断变化时，轴始终平分. 【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证. 【详解】（1）由圆，可得圆的圆心为，半径为， 又圆，可得圆心为，半径为， 因为圆心与圆心关于直线对称，得，解得， 所以圆的标准方程为； （2）略 变式3．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）设是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，，，则称点与圆的张角为．已知圆的半径为2，圆心为，点． (1)求点与圆的张角． (2)当取得最小值时，求点与圆的张角的余弦值． (3)将圆向右平移两个单位长度后得到圆． （Ⅰ）求圆上一点的坐标，使得该点与圆的张角为； （Ⅱ）过点的直线与圆交于，两点，，两点都不在轴上，证明：直线与的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2) (3)（Ⅰ）或. （Ⅱ）证明：由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，. 将代入圆的方程，得， 由韦达定理得，，，则. 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，得， 将代入，得，则. 故直线与的交点在定直线上. 【分析】（1）利用切线垂直半径构造直角三角形，由三角函数求出半张角，两倍得到张角； （2）用表示切线长与张角，把数量积转化为关于的函数，均值不等式求最小值，回代求； （3）（Ⅰ）利用张角定义求出点到圆心Q的距离，联立两个圆方程解交点坐标； （Ⅱ）设直线，联立圆得到韦达关系，写出两条直线方程，两式相除消元，代入韦达化简求出交点横坐标为定值. 【详解】（1）过点作圆的切线，切点为，，则，， 在中，，则， 则，则点与圆的张角为. （2）设点到圆心的距离为，点与圆的张角为. 因为，， 所以， 所以. 由点在圆外，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 故当取得最小值时，点与圆的张角的余弦值为. （3）（I）圆的方程为. 设圆上所求的点为，则，① 由点与圆的张角为，得， 因为，所以，② 由①和②，解得，， 则所求点的坐标为或. （Ⅱ）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线和圆的方程：圆的轨迹问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用讲义 直线和圆的方程：圆的轨迹问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用讲义 考点目录 圆的轨迹问题 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 考点一 圆的轨迹问题 【知识点解析】 一、核心本质 根据动点满足的几何约束，通过坐标法转化为代数方程，化简后判断轨迹为圆（或圆弧），最终得到轨迹方程。核心是确定圆心（定点）与半径（定长），或通过几何性质直接判定轨迹形状。 二、六大经典轨迹模型 1. 定义型轨迹 · 条件：动点到定点的距离等于定长 。 · 轨迹：以定点为圆心、 为半径的圆。 · 标准方程：。 2. 直径型轨迹（直角对直径） · 条件：动点 与两定点 满足 （或 ）。 · 轨迹：以 为直径的圆。 · 注意：若题目隐含 不与 重合，需去掉 两个端点。 · 拓展：若 为定角 ，则轨迹为以 为弦的两段圆弧，圆心在 的垂直平分线上，对应圆心角为 。 3. 距离平方和为定值 · 条件：动点 到两定点 的距离的平方和为定值 （）。 · 轨迹：以 中点为圆心的圆。 · 推导：设 ，则 ，整理得 。 关键区分：若距离平方差为定值，轨迹是垂直于 的直线，不是圆。 4. 阿波罗尼斯圆 · 条件：动点到两定点的距离之比为常数 （ 且 ）。 · 轨迹：阿波罗尼斯圆，圆心在两定点的连线上。 · 特例： 时轨迹为线段 的垂直平分线。 5. 相关点型轨迹（代入法） · 条件：动点 随另一动点 运动， 在已知圆上，且 满足明确的坐标对应关系（如中点、定比分点、平移、对称）。 · 解法：设 ，用 表示出 的坐标，代入 满足的圆方程，化简得 的轨迹方程。 6. 切线长定值轨迹 · 条件：到定圆的切线长为定值的点的轨迹。 · 轨迹：与定圆同心的圆（同心圆）。 · 原理：切线长 ， 为定值则圆心距 为定值，即到圆心距离为定值。 三、解题步骤 1. 设坐标：设动点坐标为 ； 1. 译条件：将几何约束条件转化为含 的代数等式； 1. 化方程：化简整理为圆的标准方程或一般方程； 1. 验纯粹：结合几何意义，去掉不符合条件的点，说明轨迹范围。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·贵州黔西南·期中）已知圆经过点，且恒被直线平分. (1)求圆的标准方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 例2．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. (1)求圆的圆心坐标和半径; (2)求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 例3．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 变式2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 变式3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 考点二 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【知识点解析】 一、核心本质 将直线方程与圆的方程联立，消元后得到一元二次方程，交点的横/纵坐标即为方程的根。通过韦达定理（根与系数的关系），无需解出具体交点坐标，即可计算弦长、斜率、数量积等目标量，是「设而不求」思想的核心体现。 二、基础联立与韦达形式 设直线 ，圆 。 将 代入圆的方程，消去 ，整理得关于 的一元二次方程： 设两交点为 、，则韦达定理为： 直线与圆相交的前提：。 若直线为 （斜率不存在），直接代入圆方程得关于 的二次方程，同理可用韦达定理。 三、五大核心应用 1. 弦长计算 · 代数弦长公式： · 对比：圆中优先用几何法（垂径定理 ），计算更简便；韦达法为通用通法，可直接迁移至所有圆锥曲线。 2. 中点弦与中点轨迹 · 弦中点坐标：，，代入韦达定理可直接得中点坐标； · 中点轨迹：将中点坐标中的参数消去，得到中点满足的轨迹方程，轨迹为过圆心且垂直于弦的圆内线段。 3. 斜率和与斜率积定值 · 场景：过定点 作动弦 ，证明 或 为定值。 · 方法：将斜率表示为坐标差的形式： · 通分后分子化为 、 的表达式，代入韦达定理，化简后参数抵消得定值。 4. 向量数量积计算 · 场景：计算 、 等向量数量积。 · 方法：展开为坐标乘积： · 代入 ，，整理为 、 的形式，代入韦达定理计算。 5. 定点与定值证明 · 场景：证明动直线过定点，或某几何量为定值。 · 方法：通过韦达定理将条件转化为直线参数的关系，代入直线方程，整理为「参数 式子 + 常数式 = 0」的形式，令系数分别为 0 解得定点坐标；定值问题则化简后参数抵消得常数。 四、解题步骤 1. 设直线：设直线方程，优先斜截式，同时考虑斜率不存在的情况； 1. 联立消元：代入圆方程，整理为一元二次方程； 1. 写韦达：写出两根和、两根积，验证 ； 1. 转目标：将所求量（弦长、斜率、数量积等）转化为两根和、两根积的表达式； 1. 代化简：代入韦达定理，化简得到结果。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 例2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 例3．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知圆，点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹与圆交于，两点，求； (3)过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. 变式2．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 变式3．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）设是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，，，则称点与圆的张角为．已知圆的半径为2，圆心为，点． (1)求点与圆的张角． (2)当取得最小值时，求点与圆的张角的余弦值． (3)将圆向右平移两个单位长度后得到圆． （Ⅰ）求圆上一点的坐标，使得该点与圆的张角为； （Ⅱ）过点的直线与圆交于，两点，，两点都不在轴上，证明：直线与的交点在一条定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $