精品解析：吉林省实验中学2026-2027学年高二上学期学程性考试（一）数学试题

吉林省实验中学2026-2027学年度上学期 高二年级学程性考试（一） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，也是空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，因为，故共面，不能作为基底，故A错误； 对于选项B，因为，故，，共面，不能作为基底，故B错误； 对于选项C，因为，故共面，不能作为基底，故C错误； 对于选项D，假设共面，则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，所以不能由线性表示，故矛盾. 所以不共面， 可以作为基底，故D正确. 2. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 3. 如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理求解可得答案. 【详解】、分别为、的中点，若，，， . 4. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 6. 在平面直角坐标系中，过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，则面积的最小值为（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先判断直线斜率的范围，然后求出直线方程和点的坐标，然后写出面积的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为过的直线与轴的正半轴有交点，所以直线的斜率. 设直线方程为，即. 则根据题意可知. 所以. 由基本不等式可得. 所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的面积最小值为6. 故选：B. 7. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 8. 在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，利用对称的性质及线段和的最小特征求出点到平面的距离即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 则，在线段的延长线上取点，使， 于是点，由平面，点在平面内，得， 令点到平面的距离为，因此， 当且仅当分别是过点垂直于平面的直线与平面和平面的交点时取等号， ，设平面的法向量， 则，取，得，， 所以的最小值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 B. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 【答案】AD 【解析】 【详解】对A，因为，满足，所以，，，四点共面，故A正确； 对B，因为，所以当时，就不可能成为平面的法向量，故B错误； 对C，假设，此时向量共线且反方向， 若为钝角，则有且，即且， 解得且，故C错误； 对D，若，则l与所成角为，故D正确. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知，，，过点且垂直于直线的直线方程为 B. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D. 过，两点的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项： ，则过点且垂直于直线的直线方程为，即，故A正确； B选项：因为三条直线不能构成三角形，则必存在两条直线平行或三线共点. 由与平行，可得，即； 由与平行，可得，即； 又因为与交于点，代入第三条直线得，即. 综上，解得或或，B选项错误； C选项：当直线经过坐标原点时，， 当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为， 综上直线方程为或，C选项错误； D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确； 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项先找到线线平行，从而得到线面平行；B选项先找出直线与平面平行，再确定点；C选项找出异面直线公垂线，再求公垂线长度；D选项先找出二面角的平面角，再用余弦定理计算余弦值. 【详解】对于选项A：如图1，若P为的中点，,平面PAC，平面PAC，平面PAC，故A正确； 对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确； 对于选项C：如图3，连接，平面，，又，，平面， 所以平面，平面，所以，同理可得， 取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得， 因为， ，所以， ， 故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确； 对于选项D：如图4，设，， 则，作，垂足为T，连接ET， ，，可得， ，，， 故，当且仅当时“＝”成立， 即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值． 取EF中点R，连接RB，RC，平面与平面交线为， 因为E，F分别为BD，中点，所以， 又R是EF中点，所以, 则为二面角的平面角， 而，得， 即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 13. 的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和， 即，如下图所示： 由图可知，当点、、三点共线时，取最小值， 且. 故答案为：. 14. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，然后利用线面角的向量法求解. 【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为， 设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线， 则，取，得，而平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）若与垂直，求实数的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用对应分量的倍数关系求出，再由，即求出；（2）先求与，再利用向量夹角公式求余弦值；（3）由垂直关系建立数量积为的方程，求出． 【小问1详解】 因为，所以存在实数，使． 由第三个分量得，所以． 于是，，解得，，故 又因为，所以解得，因此 【小问2详解】 由（1）得 设两向量的夹角为． 有 所以 【小问3详解】 由题意，，所以 由（1）得 因此即，解得 16. 已知直线经过直线与的交点． （1）若点到的距离为3，求的方程； （2）若直线经过点，且与直线平行，求与的距离最大值及此时直线的斜截式方程． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程求出交点坐标，讨论斜率是否存在并利用点到直线的距离公式和直线的点斜式即可求解； （2）根据题意可知两平行线距离的最大值为，利用两点间的距离公式和直线的点斜式化简为斜截式即可. 【小问1详解】 联立 ，解得 ，即 ， 当直线斜率不存在时， 的方程为 ，点 到 的距离为 ，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，的方程为 ，即 . 由点到直线的距离公式得：，化简得， 两边平方得 ，解得 . 代入得的方程为 ，即 . 综上，的方程为 或 . 【小问2详解】 直线 过定点 ， 过定点 且与平行，两平行线距离的最大值为， 则， 而 ，故此时的斜率为 的斜率也为， 的方程为 ，整理为斜截式得. 17. 如图，在平行六面体中，，．令，，． （1）用、、表示向量，并求； （2）求异面直线和所成角的正弦值． 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦值，再利用正余弦的关系求出正弦值. 【小问1详解】 ， 由已知可得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 因为， 所以，所以. 且 ， 所以. 设异面直线和所成的角为. 则. 即异面直线和所成角的正弦值为. 18. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 【答案】（1）证明：在三棱柱中，连接，设与相交于点，连接， 由四边形是平行四边形，得点为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解；（ⅱ）利用点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ⅱ）由（ⅰ）知， 所以点到平面的距离. 19. 如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将沿折起至的位置，如图2所示，连接，． （1）证明：； （2）设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，； （3）若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）由题意得题图1中，所以题图2中， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以． （2）由（1）中得，，则当时，两两垂直， 则以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，， 易知的外接圆的圆心为的中点，而的外接圆的圆心为的中点， 分别过两个圆心作外接圆所在平面的垂线，则交点为， 根据已知条件，得点， 故，，则， 又四点不共线，所以． （3）是定值，该定值为 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直的性质，线面垂直的判定和性质即可证明； （2）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，再根据直角三角形外接圆的性质得到对应外接球球心的坐标，从而求出求出的坐标，进而即可证明； （3）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后分别求出平面和平面的法向量和，从而求出，的表达式，进而即可判断是否为定值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，，，其中， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 易得平面和平面的一个法向量为， 故，则； ，则． 故． 20. 在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，，，，且为该平面的法向量．已知集合，，． （1）记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： （2）记集合中所有点构成的几何体为． ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的余弦值． 【答案】（1），； （2）① ；② 相邻两个面所成二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）利用空间对称性，将空间区域按八个卦限拆分，先计算第一卦限内几何体体积再乘以，采用割补法，用正方体体积减去截去的小三棱锥体积，得到交集几何体体积； （2）对于几何体，看作正方体拼接个正四棱锥，分别计算体积求和，写出相邻两个面的平面方程，得到平面法向量，用向量夹角公式计算从而得出二面角的余弦值. 【小问1详解】 因为， 第一卦限内区域：，是顶点为的四面体. 四面体体积. 根据几何体的对称性得. 为棱长为的正方体， 在第一卦限单位正方体中，为单位正方体截去三棱锥，其中. . 根据几何体的对称性得. 【小问2详解】 ① 对应的几何体，可以看作棱长为的正方体，向外拼接个全等正四棱锥. 正方体的体积. 单个正四棱锥底面是边长为的正方形，高为，单个棱锥体积为. 所以. ② 取一对相邻面，平面的方程为：，法向量；平面的方程：，法向量. 则，，. . 由图知相邻两个面所成二面角是钝角，所以相邻两个面所成二面角的余弦值等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2026-2027学年度上学期 高二年级学程性考试（一） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，也是空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（     ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，则面积的最小值为（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 B. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知，，，过点且垂直于直线的直线方程为 B. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D. 过，两点的直线方程为 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，若、和共面，则实数________． 13. 的最小值为______． 14. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）若与垂直，求实数的值． 16. 已知直线经过直线与的交点． （1）若点到的距离为3，求的方程； （2）若直线经过点，且与直线平行，求与的距离最大值及此时直线的斜截式方程． 17. 如图，在平行六面体中，，．令，，． （1）用、、表示向量，并求； （2）求异面直线和所成角的正弦值． 18. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 19. 如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将沿折起至的位置，如图2所示，连接，． （1）证明：； （2）设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，； （3）若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20. 在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，，，，且为该平面的法向量．已知集合，，． （1）记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： （2）记集合中所有点构成的几何体为． ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $