第2章 实数的初步认识 单元复习（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第2章 实数的初步认识 知识点1：平方根与算术平方根 　　1.平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，正数的平方根表示为。 　　2.算术平方根：如果一个正数的平方等于，那么这个正数就叫做的算术平方根，0的算术平方根是0；算术平方根具有双重非负性，即且。 　　3.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方；平方和开平方互为逆运算，可用平方运算检验开平方结果是否正确；平方根是数（开平方的结果），开平方是运算（求平方根的过程）。 　　4.区别与联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个；0的算术平方根和平方根都是0。 知识点2：立方根与开立方 　　1.立方根：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记作。 　　2.性质：每一个数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 　　3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方；开平方的被开方数必须是非负数，而开立方的被开方数可以是任意数，任意数的立方根都只有一个。 知识点3：无理数 　　1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 　　2.常见形式：开方开不尽的数的相应方根，如、等；圆周率及一些含的数，如等；以无限不循环小数形式写出的数，如（两个1之间依次多一个0）等。 　　3.注意：无理数的小数部分位数无限、不循环，不能表示成分数的形式；是无理数而不是分数，带根号的数不一定是无理数，如是有理数。 知识点4：实数的概念及分类 　　1.概念：有理数和无理数统称为实数。 　　2.分类：按定义分类，实数可分为有理数和无理数；按正负性分类，实数可分为正实数、0、负实数。 知识点5：实数与数轴、实数的有关概念 　　1.实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 　　2.相反数：若与互为相反数，则；倒数：若与互为倒数，则。 　　3.绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即；互为相反数的两个数的绝对值相等，即。 知识点6：实数的运算与大小比较 　　1.实数的运算：在实数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，以及开立方运算和非负实数的开平方运算；有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用。 　　2.运算顺序：实数混合运算的顺序与有理数混合运算相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 　　3.大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大，两个负实数，绝对值大的负实数小；也可通过比较两实数的平方的大小来确定大小关系，或用估算的方法求出近似值后再比较。 【基础必考题型】 【题型1】判断无理数 1.核心知识点 　无理数的定义；无理数的常见形式；有理数与无理数的区分 2.解题方法技巧 　① 无理数是无限不循环小数，常见有开方开不尽的方根、含的数、构造的无限不循环小数 　② 判断时先化简，如是有理数，也是有理数 　③ 注意不是分数，带根号的不一定无理数，分数一定是有理数 【例题1】.（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简含根号的数，再判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A、是无理数； B、是有理数，不是无理数； C、是有理数，不是无理数； D、是有理数，不是无理数． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）下列实数中，属于无理数的是（     ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简含根号的数，再判断是否为无理数即可． 【详解】解：，是有理数；0是有理数；是有理数，是无理数． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下列各数，，，（两个6之间依次增加一个“2”），，，，中，无理数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先化简各数中的开方运算，再根据无理数的定义判断计数． 【详解】解：，，，，，，，均为有理数． 无理数有（两个6之间依次增加一个2），，，共3个． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）在、3.5、、0、、3.010010001…（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】识别含的数、无限不循环小数为无理数，剩余即为有理数，统计个数． 【详解】解：∵ 、是有限小数，是整数，是分数， ∴ 以上4个数均为有理数； ∵ 含，（每两个1之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数， ∴ 以上2个数均为无理数． 综上，有理数共有4个． 【题型2】求平方根与算术平方根 1.核心知识点 　平方根与算术平方根的概念；平方根与算术平方根的表示；符号的运用 2.解题方法技巧 　① 求的平方根写，求算术平方根只写，两者结果不同 　② 被开方数必须非负，负数没有平方根和算术平方根 　③ 先化简再求值，注意 【例题2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）的算术平方根是（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的算术平方根为正数， ∴ 排除A，B选项. ∵ , ∴ 的算术平方根是. 【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）一个数的算术平方根是它本身，那么这个数是（     ） A．0 B．0或1 C．0或 D．或1 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义 ∵ 的算术平方根是，等于它本身，的算术平方根是，等于它本身，负数没有算术平方根，不符合条件． ∴ 满足条件的数是或． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根定义直接开平方计算即可得答案． 【详解】解：根据平方根定义得：的平方根是：， 即的平方根是． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）的算术平方根是____________，64的平方根是____________． 【答案】 3 【详解】解：∵，且， ∴的算术平方根是3， 64的平方根是． 【题型3】求立方根 1.核心知识点 　立方根的概念；立方根的表示；立方根的唯一性 2.解题方法技巧 　① 任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 　② 求的立方根写，与平方根不同，结果不取正负 　③ 注意负数的立方根为负，如 【例题3】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）的立方根是________． 【答案】 【分析】找出立方等于的数即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）__________． 【答案】 【分析】直接根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）的立方根是_____________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，找出立方等于的数即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴的立方根是． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）的立方根为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴的立方根为． 【题型4】实数的分类 1.核心知识点 　实数的分类；有理数与无理数的概念；集合的划分 2.解题方法技巧 　① 实数按定义分为有理数和无理数，按正负分为正实数、0、负实数 　② 分类时先将带根号的数化简再判断 　③ 整数、分数、0属于有理数；开方开不尽、含、无限不循环小数属于无理数 【例题4】.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）把下列各数填入相应的括号内（填写数字序号） ①，②，③0，④，⑤，⑥ 负数：（                 ） 无理数：（                ） 分数：（                  ） 【答案】负数：①②⑤；无理数：②；分数：④⑥ 【分析】根据负数、无理数、分数的定义，先化简，再逐个判断每个数的所属类别即可． 【详解】解：， ∵，，，不是负数，，， ∴负数为①②⑤； ∵是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，其余数都是有理数， ∴无理数为②； ∵是分数，是有限小数，属于分数，其余数中①③⑤是整数，②是无理数， ∴分数为④⑥． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，，0，，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． (1)正数集：； (2)整数集：； (3)负分数集：； (4)正有理数集：． 【答案】(1)5，（每两个1之间逐次增加一个0） (2)5，，0 (3)，， (4)5 【详解】（1）正数集：{5，（每两个1之间逐次增加一个0）…} （2）整数集：{5，，0…} （3）负分数集：{，，…} （4）正有理数集： 【变式题4-2】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，， 正整数集合：{                                        …}； 无理数集合：{                                        …}； 实数集合：{                                        …}． 【答案】；，； ，，，，，． 【分析】根据正整数、无理数、实数的定义解答即可． 【详解】解：正整数集合：； 无理数集合：； 实数集合：． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）现有以下一组数据：，，，，，0，，（每相邻两个3之间依次多1个0）． (1)把上面的数据分别填入下面的两个圈中； (2)两个圈的重叠部分表示_____________的集合； (3)请任意写出一个所有圈以外的实数：____________． 【答案】(1) (2)负无理数 (3)2026（答案不唯一） 【分析】（1）根据负实数和无理数的定义填写即可； （2）两个圈分别代表负实数和无理数，同时属于两类的数是负无理数； （3）两个圈覆盖的是负实数和无理数，圈外的数属于“正有理数或者0”，任意写出一个符合要求的即可； 【详解】（1）解：，0是有理数，不属于这两个圈的任何区域； ，是负实数；既是负实数又是无理数；，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0）是无理数； 作图略 （2）解：两个圈的重叠部分表示负无理数的集合； （3）解：所有圈以外的实数有2026（答案不唯一）． 【题型5】已知平方根或立方根求原数及参数 1.核心知识点 　平方根的性质；立方根的性质；列方程求参数 2.解题方法技巧 　① 正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为0，可列方程求参数 　② 已知某数的平方根或立方根，可通过乘方求原数 　③ 分清"平方根"与"算术平方根"，如"算术平方根是3"表示 【例题5】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，求的值． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求出a，再代入计算得到x的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根分别是和， 解得． 其中一个平方根为． ． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（     ） A．4 B．7 C．18 D．49 【答案】D 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出，然后求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， ∴这个正数为． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是________ 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，先求出和的值，再代入目标式计算出结果，最后求该结果的平方根． 【详解】解：∵ 的立方根是， ∴ ， 解得 ． ∵ 的算术平方根是， ∴ ， 把代入得 ， 解得 ． 将，代入得： ， ∴ 的平方根是． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义求出a，再由立方根的定义求出b，最后根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：的算术平方根是4， ， ， 的立方根是2， ， 将代入，得， ， 的平方根为． 【培优高频题型】 【题型6】平方根与立方根综合求值 1.核心知识点 　平方根与立方根的运算；代入求值；整体思想 2.解题方法技巧 　① 由已知条件求出参数的值，再代入含参数的代数式求值 　② 求一个数的平方根时，先算出该数再开平方，注意号 　③ 综合运用平方根、立方根的定义和性质，理清运算顺序 【例题6】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用立方根与算术平方根的含义列方程求解即可； （2）求解，进一步求解即可. 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得． 因为的算术平方根是4， 所以， 解得． （2）解：由（1）得，． 所以． 所以的平方根为． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西安康·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】8 【分析】根据题意得出，确定，再由立方根得出，然后代入计算，求出算术平方根即可． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得，      的立方根为， ， 解得，      ． 的算术平方根为． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程可求得a，进而求得x；再利用立方根的定义求得b，然后求得的值，最后求算术平方根即可． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴，即，解得， ∴， ∴， 又∵b的立方根是， ∴， ∴， ∵2的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键． 根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是， ∴ 将，代入得，， ∴， ∴的算术平方根为4． 【题型7】实数的大小比较 1.核心知识点 　实数大小的比较；平方法；数轴法；特殊值法 2.解题方法技巧 　① 正数大于0、0大于负数、正数大于负数；两个正数比较可用平方法 　② 平方法：若且，则 　③ 数轴法：在数轴上右边的数总比左边的大；可先估近似值再比较 【例题7】.（26-27八年级上·四川·期中）大于且小于的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】通过比较算术平方根和分数的大小，确定整数范围再进行求解即可． 【详解】解：设大于且小于的整数为， ∵，即， ∴， ∵， 整数n满足且 ， ∴且 ， ∴， 共5个整数． 【变式题7-1】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）比较大小：_________；_________． 【答案】 【分析】比较含无理数的数的大小，可通过平方法比较无理数的大小；两个负数比较，绝对值大的数更小；分母相同的正数比较，分子大的数更大． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵，，，， ∴，即， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干所给方法比较大小即可； （2）根据题干所给方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． 【题型8】程序设计与实数运算 1.核心知识点 　运算程序的理解；平方根立方根的运算；循环与分支的判断 2.解题方法技巧 　① 读懂程序流程，按运算顺序逐步计算 　② 注意平方根与立方根的不同，如输入负数时开平方无意义但开立方有意义 　③ 循环程序找周期，分支程序注意判断条件的边界 【例题8】.（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 【题型9】实数与数轴的综合运用 1.核心知识点 　实数与数轴一一对应；数轴上表示无理数；利用数轴化简 2.解题方法技巧 　① 实数与数轴上的点一一对应，可在数轴上表示、等无理数 　② 借助数轴判断字母的大小和符号，从而化简含绝对值的式子 　③ 注意，化简时要结合数轴上字母的位置判断符号 【例题9】.（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴点A处所表示的数为． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图三阶魔方是由27个同样大小的小立方体组成的，这个三阶魔方的体积是27 (1)求这个魔方的棱长 (2)求这个魔方的表面积，阴影部分的面积 (3)若把图1中的阴影部分正方形放到数轴上，使点与重合，那么点所表示的数是________ 【答案】(1)3 (2)54；5 (3) 【分析】（1）正方体的体积等于棱长的立方，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出魔方的棱长，进而求出每个小立方体的边长，求出表面积，利用割补法求出对应的面积即可； （3）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到的长，用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：魔方的棱长为． （2）解：棱长为3， ∴魔方表面积：。 ∵每个小立方体的边长都是， ； （3）解：设正方形的边长为 ， 则 解得，即， ∵点与重合， 点在数轴上表示的数为：． 【变式题9-2】.（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动3个单位长度 ∴； （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 【变式题9-3】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题， (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________． (4) 【答案】(1)3，； (2) (3) 【分析】（1）利用无理数的估算得出，即可求解； （2）利用无理数的估算得出，，再代入计算求解即可； （3）根据正方形的边长和顶点的位置，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）解：，， ，， 的小数部分为的整数部分为， ，， ， 的平方根为； （3）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， ， 顶点在数轴上，且表示的数为， 点所表示的数是． 【压轴素养题型】 【题型10】求整数部分和小数部分 1.核心知识点 　无理数的整数部分；小数部分；夹逼估算 2.解题方法技巧 　① 先估算无理数的范围，确定整数部分，再求小数部分 　② 若（为整数），则的整数部分为，小数部分为 　③ 小数部分常表示为含根号的式子，再进行代数运算 【例题10】.（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 【变式题10-1】.（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知． (1)求和的值； (2)在（1）的基础上，是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先估算出的范围，从而估算出的范围，然后求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴解得； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是1，小数部分， ∴，， ∴． 【变式题10-2】.（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 【变式题10-3】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)②③④ (3) 【分析】（1）估算的范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出点表示的数的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算的范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分是． （2）解：设点表示的数为，由图可知，， 则，， 是无理数， 为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， ， 故②正确； ，， ， ，即， 故③正确； ，， ， 故④正确． 综上，正确的说法有②③④． （3）解： ，即， 则， ， 则，， ． 【题型11】实数运算的实际应用 1.核心知识点 　平方根立方根的实际应用；体积与棱长；数学建模 2.解题方法技巧 　① 由体积求正方体棱长用开立方，由面积求边长用开平方 　② 分析实际问题中的数量关系，建立数学模型，用开方运算求解 　③ 结果要注意实际意义，棱长、边长取正值 【例题11】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华…处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某中学课外活动小组制作了精美的少林寺、龙门石窟、清明上河园等景点卡片，并为每张卡片制作特色封皮，并提供如下信息． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． (1)正方形卡片的边长为 ； (2)通过计算判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】(1)12 (2)能 【分析】（1）根据正方形的面积公式，利用算术平方根进行计算求解； （2）假设出长方形的长和宽，根据面积列出方程，利用算术平方根进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴正方形卡片的边长为； （2）解：正方形卡片能直接装进长方形封皮中，理由如下， 假设长方形的长为，则宽为，根据题意得， ， ∴， ∵，， ∴或（舍去） ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴正方形卡片能直接装进长方形封皮中． 【变式题11-1】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 理由：由（1）可知，这块圆柱形蛋糕的半径为， 这块圆柱形蛋糕的直径为， ， ， ， 正方体礼品盒的棱长为， 这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 【分析】（1）设这块圆柱形蛋糕的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）设这个正方体礼品盒的棱长为，根据正方体的体积公式列方程求解即可； （3）根据（1）得到圆柱形蛋糕的直径，再利用无理数的估算比较大小，即可得解． 【详解】（1）解：设这块圆柱形蛋糕的半径为， 这块蛋糕的底面积为， ， 解得：（负值舍去）， 即这块圆柱形蛋糕的半径为； （2）解：设这个正方体礼品盒的棱长为， 正方体礼品盒的体积为， ， 解得：， 即这个正方体礼品盒的棱长为； （3）略 【变式题11-2】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）略． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·广东广州·期末）广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【答案】(1)长方形彩纸的长为，宽为； (2)解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为，由题意得：，解得：， ∵圆形纸胚的直径为，长方形彩纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来. 【分析】（1）设长方形彩纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设长方形彩纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴长方形彩纸的长为，宽为； （2）略 【题型12】新定义运算与探究 1.核心知识点 　新定义运算；符号的理解；知识迁移能力；探究规律 2.解题方法技巧 　① 读懂新定义，圈出限定条件，理解新运算规则和运算顺序 　② 将新定义转化为已学的平方根、立方根等运算求解 　③ 对符号类新定义（如取整、小数部分）先明确其数学含义，再按规则计算 【例题12】.（26-27七年级上·重庆渝中·阶段检测）定义一种新运算：，其中表示不超过的最大整数．例如： ，． (1)求的值． (2)若，是最大的负整数，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）比较与的大小，按时的对应关系代入计算； （2）由与可确定的值，最大的负整数为，再分两步按新运算的对应关系依次计算． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 是最大的负整数， ． 又， ． ， ． ， ， 即 的值为． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·广西玉林·期末）新定义：二元一次方程（其中，是常数，，是未知数），若，则称这个方程为“完美”方程，规定，此时称为“完美值”．例如：是“完美”方程，，是“完美”方程，，此时“完美值”．若，则称这个方程为“团结”方程，规定，此时称为“团结值”．例如：是“团结”方程，，即，，方程是“团结”方程，，此时“团结值”． 试解决下列问题： (1)判断 是“团结”方程吗？并说明理由； (2)若，满足方程组，判断二元一次方程是“完美”方程还是“团结”方程？求出对应的的平方根； (3)老师让同学们举出“团结”方程的例子，同学在回答的时候，小明没听完整，只记住“团结”方程的相关特征：①，②是负整数．请你帮小明求出符合条件的值． 【答案】(1)方程是“团结”方程，理由： 原方程变形为：， ，，， 是“团结”方程； (2)是“完美”方程，c的平方根是 (3)符合条件的负整数b为 【分析】（1）由题意可得，根据“团结”方程定义即可求解； （2）先求出，得到方程，进而根据定义判断并求出c即可； （3）根据方程若是 “团结”方程，列不等式组解决即可． 【详解】（1）略 （2）解：是“完美”方程 ， 得：， 解得：， 把代入①，得， ∴方程组的解是， 则二元一次方程为， ， ，，， ∴二元一次方程是“完美”方程， ， 则c的平方根是； （3）解：方程若是“团结”方程， 则由题意得：， 解得： 符合条件的负整数b为； 【变式题12-2】.（25-26七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出的“对称方程”_______，以及它们组成的方程组的解为_______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据方程组解的定义求出m，再求出y，即可求出n，再求出，即可得解； （3）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据a，b，c的关系即可求出y，再把方程组的解代入方程，即可得解． 【详解】（1）解：的“对称方程”， 它们组成的方程组为， 解得； （2）解：关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， ； 将代入①得，， 解得， ． ， 的平方根为． （3）解： 是关于x，y的二元一次方程， ， ， ， 关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ， ， ， ∴方程组的解为， 将代入，得，即，， ． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）定义：若点满足，则称点为关于的二元一次方程的“坐标点” (1)若点为方程的“坐标点”，则_________； (2)点为方程的“坐标点”，为正整数，求的值； (3)是否存在满足的实数，使得点与点都是方程的“坐标点”，若不存在，请说明理由；若存在，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 (3)存在，，，或，， 【分析】（1）根据“坐标点”的定义，进行求解即可； （2）根据“坐标点”的定义，列出二元一次方程，求正整数解即可； （3）根据“坐标点”的定义，得到，，进而推出，结合，得到，则可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点为方程的“坐标点”， ∴， ∴； （2）解：∵点为方程的“坐标点”， ∴， 整理，得：， ∴， ∵为正整数， ∴或； （3）解：存在．∵点与点都是方程的“坐标点”， ∴，即， ∴，得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，，，则，； 当时，，，则，． 综上，存在满足条件的实数：，，或，，． 易错点 1.　混淆平方根和算术平方根，求的平方根误写成2，正确应为。 2.　误认为负数有平方根，或认为带根号的数一定是无理数，如是有理数。 3.　计算时忽略绝对值，误以为等于，正确为。 4.　解形如的方程时漏掉负根，只写出正根；开立方时对负数的符号处理错误。 5.　利用双重非负性求值时，忽略被开方数非负的隐含条件。 重点 1.　平方根、算术平方根、立方根的概念、性质与表示方法。 2.　无理数的概念及常见形式，实数的分类。 3.　算术平方根的双重非负性及其应用。 4.　实数的运算，特别是混合运算及零指数幂、负整数指数幂。 5.　实数的估算与大小比较，实数与数轴的对应关系。 难点 1.　平方根、算术平方根、立方根的综合求值及含参问题的处理。 2.　利用算术平方根的双重非负性列方程求字母的值。 3.　无理数的估算及整数部分、小数部分的求解。 4.　实数与数轴的综合运用，利用数轴化简含绝对值或根号的式子。 5.　新定义运算与跨学科情境问题的数学建模与探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各数没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 负数没有平方根， 又∵， 四个选项中仅是负数， ∴没有平方根. 2．下列说法错误的是（    ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．任何数都有立方根 D．一个正数的两个平方根之和为0 【答案】B 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断，注意需先化简再求算术平方根． 【详解】解：A、是25的平方根，正确； B、，的算术平方根是，选项错误； C、任何数都有立方根，正确； D、一个正数的两个平方根之和为0，正确． 3．下列各数是有理数的是（     ） A． B． C． D．2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【答案】C 【分析】依据有理数包含整数和分数的特点，先筛选分数类选项，再排除无理数选项． 【详解】解：∵ ，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）均为无理数， ∴ 选项A、B、D不符合题意. ∵ 是有理数， ∴选项C符合题意． 二、填空题 4．平方得36的数是______． 【答案】 【详解】解： 平方得的数是． 5．已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】利用平方和算术平方根的非负性，两个非负数和为0时每个非负数均为0，求出，的值后，再计算的平方根． 【详解】解：对根号内的式子因式分解，原式可化为 ， ∵ 任意数的平方都是非负数， ， ∵ 算术平方根本身是非负数， ， ∵ 两个非负数的和等于， ∴ 每个非负数都等于， ， 解得 ， ， 解得 ， 计算得 ， ∴ 的平方根是． 6．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是______________． 【答案】/ 【分析】首先计算出圆的周长，再根据数轴点的表示数的方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆的直径为1个单位长度，向左滚动1周，运动的距离为个单位长度， 根据题意，得圆上的点A 与数轴上表示1的点重合， 故点A到达点的位置时，点表示的数是． 三、解答题 7．把下列各数填在相应的集合里： ，0.25，，0，，2，3.14， (1)整数集合 (2)负数集合 (3)分数集合 (4)非负整数集合 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据实数的分类进行求解各小问即可． 【详解】（1）整数集合； （2）负数集合； （3）分数集合； （4）非负整数集合． 8．若和互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，试化简 【答案】 【分析】利用相反数、倒数、绝对值的性质，分别得到、、的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∵的绝对值是， ∴， ∴原式 ． 9．按要求完成下列小题． (1)已知，求的平方根． (2)已知和是某正数的两个平方根，的立方根是，求的值． 【答案】(1)的平方根为 (2)的值为 【分析】（1）根据二次根式被开方数非负，列出不等式组求出，代入式子算出，求得，再求出的平方根为； （2）利用正数的两个平方根互为相反数列方程求出，再根据立方根定义算出，最后代入代数式求值． 【详解】（1）解：且，即且， ， ， ， 的平方根为； （2）解：和是某正数的两个平方根， ，解得， 的立方根是， ， ． 10．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是_______； (2)求的整数部分； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）得出，据此解答即可； （2）先得出，再得出，据此解答即可； （3）先得出的整数部分、小数部分，进而可得，的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的小数部分是． （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的整数部分为1． （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为24，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 知识点1：平方根与算术平方根 　　1.平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，正数的平方根表示为。 　　2.算术平方根：如果一个正数的平方等于，那么这个正数就叫做的算术平方根，0的算术平方根是0；算术平方根具有双重非负性，即且。 　　3.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方；平方和开平方互为逆运算，可用平方运算检验开平方结果是否正确；平方根是数（开平方的结果），开平方是运算（求平方根的过程）。 　　4.区别与联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个；0的算术平方根和平方根都是0。 知识点2：立方根与开立方 　　1.立方根：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记作。 　　2.性质：每一个数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 　　3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方；开平方的被开方数必须是非负数，而开立方的被开方数可以是任意数，任意数的立方根都只有一个。 知识点3：无理数 　　1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 　　2.常见形式：开方开不尽的数的相应方根，如、等；圆周率及一些含的数，如等；以无限不循环小数形式写出的数，如（两个1之间依次多一个0）等。 　　3.注意：无理数的小数部分位数无限、不循环，不能表示成分数的形式；是无理数而不是分数，带根号的数不一定是无理数，如是有理数。 知识点4：实数的概念及分类 　　1.概念：有理数和无理数统称为实数。 　　2.分类：按定义分类，实数可分为有理数和无理数；按正负性分类，实数可分为正实数、0、负实数。 知识点5：实数与数轴、实数的有关概念 　　1.实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 　　2.相反数：若与互为相反数，则；倒数：若与互为倒数，则。 　　3.绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即；互为相反数的两个数的绝对值相等，即。 知识点6：实数的运算与大小比较 　　1.实数的运算：在实数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，以及开立方运算和非负实数的开平方运算；有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用。 　　2.运算顺序：实数混合运算的顺序与有理数混合运算相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 　　3.大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大，两个负实数，绝对值大的负实数小；也可通过比较两实数的平方的大小来确定大小关系，或用估算的方法求出近似值后再比较。 【基础必考题型】 【题型1】判断无理数 1.核心知识点 　无理数的定义；无理数的常见形式；有理数与无理数的区分 2.解题方法技巧 　① 无理数是无限不循环小数，常见有开方开不尽的方根、含的数、构造的无限不循环小数 　② 判断时先化简，如是有理数，也是有理数 　③ 注意不是分数，带根号的不一定无理数，分数一定是有理数 【例题1】.（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）下列实数中，属于无理数的是（     ）． A．0 B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下列各数，，，（两个6之间依次增加一个“2”），，，，中，无理数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式题1-3】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）在、3.5、、0、、3.010010001…（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【题型2】求平方根与算术平方根 1.核心知识点 　平方根与算术平方根的概念；平方根与算术平方根的表示；符号的运用 2.解题方法技巧 　① 求的平方根写，求算术平方根只写，两者结果不同 　② 被开方数必须非负，负数没有平方根和算术平方根 　③ 先化简再求值，注意 【例题2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）的算术平方根是（     ） A． B． C． D．4 【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）一个数的算术平方根是它本身，那么这个数是（     ） A．0 B．0或1 C．0或 D．或1 【变式题2-2】.（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）的算术平方根是____________，64的平方根是____________． 【题型3】求立方根 1.核心知识点 　立方根的概念；立方根的表示；立方根的唯一性 2.解题方法技巧 　① 任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 　② 求的立方根写，与平方根不同，结果不取正负 　③ 注意负数的立方根为负，如 【例题3】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）的立方根是________． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）__________． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）的立方根是_____________． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）的立方根为（     ） A．2 B． C． D． 【题型4】实数的分类 1.核心知识点 　实数的分类；有理数与无理数的概念；集合的划分 2.解题方法技巧 　① 实数按定义分为有理数和无理数，按正负分为正实数、0、负实数 　② 分类时先将带根号的数化简再判断 　③ 整数、分数、0属于有理数；开方开不尽、含、无限不循环小数属于无理数 【例题4】.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）把下列各数填入相应的括号内（填写数字序号） ①，②，③0，④，⑤，⑥ 负数：（                 ） 无理数：（                ） 分数：（                  ） 【变式题4-1】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，，0，，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． (1)正数集：； (2)整数集：； (3)负分数集：； (4)正有理数集：． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，， 正整数集合：{                                        …}； 无理数集合：{                                        …}； 实数集合：{                                        …}． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）现有以下一组数据：，，，，，0，，（每相邻两个3之间依次多1个0）． (1)把上面的数据分别填入下面的两个圈中； (2)两个圈的重叠部分表示_____________的集合； (3)请任意写出一个所有圈以外的实数：____________． 【题型5】已知平方根或立方根求原数及参数 1.核心知识点 　平方根的性质；立方根的性质；列方程求参数 2.解题方法技巧 　① 正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为0，可列方程求参数 　② 已知某数的平方根或立方根，可通过乘方求原数 　③ 分清"平方根"与"算术平方根"，如"算术平方根是3"表示 【例题5】.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，求的值． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（     ） A．4 B．7 C．18 D．49 【变式题5-2】.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是________ 【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 【培优高频题型】 【题型6】平方根与立方根综合求值 1.核心知识点 　平方根与立方根的运算；代入求值；整体思想 2.解题方法技巧 　① 由已知条件求出参数的值，再代入含参数的代数式求值 　② 求一个数的平方根时，先算出该数再开平方，注意号 　③ 综合运用平方根、立方根的定义和性质，理清运算顺序 【例题6】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西安康·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【题型7】实数的大小比较 1.核心知识点 　实数大小的比较；平方法；数轴法；特殊值法 2.解题方法技巧 　① 正数大于0、0大于负数、正数大于负数；两个正数比较可用平方法 　② 平方法：若且，则 　③ 数轴法：在数轴上右边的数总比左边的大；可先估近似值再比较 【例题7】.（26-27八年级上·四川·期中）大于且小于的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式题7-1】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）比较大小：_________；_________． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【题型8】程序设计与实数运算 1.核心知识点 　运算程序的理解；平方根立方根的运算；循环与分支的判断 2.解题方法技巧 　① 读懂程序流程，按运算顺序逐步计算 　② 注意平方根与立方根的不同，如输入负数时开平方无意义但开立方有意义 　③ 循环程序找周期，分支程序注意判断条件的边界 【例题8】.（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（     ） A． B． C．5 D． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【题型9】实数与数轴的综合运用 1.核心知识点 　实数与数轴一一对应；数轴上表示无理数；利用数轴化简 2.解题方法技巧 　① 实数与数轴上的点一一对应，可在数轴上表示、等无理数 　② 借助数轴判断字母的大小和符号，从而化简含绝对值的式子 　③ 注意，化简时要结合数轴上字母的位置判断符号 【例题9】.（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图三阶魔方是由27个同样大小的小立方体组成的，这个三阶魔方的体积是27 (1)求这个魔方的棱长 (2)求这个魔方的表面积，阴影部分的面积 (3)若把图1中的阴影部分正方形放到数轴上，使点与重合，那么点所表示的数是________ 【变式题9-2】.（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【变式题9-3】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题， (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________． (4) 【压轴素养题型】 【题型10】求整数部分和小数部分 1.核心知识点 　无理数的整数部分；小数部分；夹逼估算 2.解题方法技巧 　① 先估算无理数的范围，确定整数部分，再求小数部分 　② 若（为整数），则的整数部分为，小数部分为 　③ 小数部分常表示为含根号的式子，再进行代数运算 【例题10】.（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【变式题10-1】.（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知． (1)求和的值； (2)在（1）的基础上，是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【变式题10-2】.（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【变式题10-3】.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【题型11】实数运算的实际应用 1.核心知识点 　平方根立方根的实际应用；体积与棱长；数学建模 2.解题方法技巧 　① 由体积求正方体棱长用开立方，由面积求边长用开平方 　② 分析实际问题中的数量关系，建立数学模型，用开方运算求解 　③ 结果要注意实际意义，棱长、边长取正值 【例题11】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华…处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某中学课外活动小组制作了精美的少林寺、龙门石窟、清明上河园等景点卡片，并为每张卡片制作特色封皮，并提供如下信息． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． (1)正方形卡片的边长为 ； (2)通过计算判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【变式题11-1】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【变式题11-2】.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·广东广州·期末）广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【题型12】新定义运算与探究 1.核心知识点 　新定义运算；符号的理解；知识迁移能力；探究规律 2.解题方法技巧 　① 读懂新定义，圈出限定条件，理解新运算规则和运算顺序 　② 将新定义转化为已学的平方根、立方根等运算求解 　③ 对符号类新定义（如取整、小数部分）先明确其数学含义，再按规则计算 【例题12】.（26-27七年级上·重庆渝中·阶段检测）定义一种新运算：，其中表示不超过的最大整数．例如： ，． (1)求的值． (2)若，是最大的负整数，，求的值． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·广西玉林·期末）新定义：二元一次方程（其中，是常数，，是未知数），若，则称这个方程为“完美”方程，规定，此时称为“完美值”．例如：是“完美”方程，，是“完美”方程，，此时“完美值”．若，则称这个方程为“团结”方程，规定，此时称为“团结值”．例如：是“团结”方程，，即，，方程是“团结”方程，，此时“团结值”． 试解决下列问题： (1)判断 是“团结”方程吗？并说明理由； (2)若，满足方程组，判断二元一次方程是“完美”方程还是“团结”方程？求出对应的的平方根； (3)老师让同学们举出“团结”方程的例子，同学在回答的时候，小明没听完整，只记住“团结”方程的相关特征：①，②是负整数．请你帮小明求出符合条件的值． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出的“对称方程”_______，以及它们组成的方程组的解为_______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）定义：若点满足，则称点为关于的二元一次方程的“坐标点” (1)若点为方程的“坐标点”，则_________； (2)点为方程的“坐标点”，为正整数，求的值； (3)是否存在满足的实数，使得点与点都是方程的“坐标点”，若不存在，请说明理由；若存在，求的值． 易错点 1.　混淆平方根和算术平方根，求的平方根误写成2，正确应为。 2.　误认为负数有平方根，或认为带根号的数一定是无理数，如是有理数。 3.　计算时忽略绝对值，误以为等于，正确为。 4.　解形如的方程时漏掉负根，只写出正根；开立方时对负数的符号处理错误。 5.　利用双重非负性求值时，忽略被开方数非负的隐含条件。 重点 1.　平方根、算术平方根、立方根的概念、性质与表示方法。 2.　无理数的概念及常见形式，实数的分类。 3.　算术平方根的双重非负性及其应用。 4.　实数的运算，特别是混合运算及零指数幂、负整数指数幂。 5.　实数的估算与大小比较，实数与数轴的对应关系。 难点 1.　平方根、算术平方根、立方根的综合求值及含参问题的处理。 2.　利用算术平方根的双重非负性列方程求字母的值。 3.　无理数的估算及整数部分、小数部分的求解。 4.　实数与数轴的综合运用，利用数轴化简含绝对值或根号的式子。 5.　新定义运算与跨学科情境问题的数学建模与探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各数没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．任何数都有立方根 D．一个正数的两个平方根之和为0 3．下列各数是有理数的是（     ） A． B． C． D．2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 二、填空题 4．平方得36的数是______． 5．已知，则的平方根是______． 6．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是______________． 三、解答题 7．把下列各数填在相应的集合里： ，0.25，，0，，2，3.14， (1)整数集合 (2)负数集合 (3)分数集合 (4)非负整数集合 8．若和互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，试化简 9．按要求完成下列小题． (1)已知，求的平方根． (2)已知和是某正数的两个平方根，的立方根是，求的值． 10．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是_______； (2)求的整数部分； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $