第1章 三角形 单元复习（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上学期培优讲义

该初中数学三角形单元复习讲义通过表格对比、思维导图梳理构建知识体系，系统呈现三角形线段与角、全等判定、垂直平分线与角平分线、等腰三角形等核心知识点，突出三边关系、全等判定定理等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型巩固三边关系计算，培优题型如工程测量情境的全等证明培养数学眼光，压轴题型如动点探究题提升数学思维与语言表达能力。每个题型配解题技巧与易错点提醒，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第1章 三角形 知识点1：三角形中的线段和角 1.三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 快速判定：若两条较短线段的长度之和大于最长线段，则三条线段能构成三角形。 2.三角形的三条重要线段 线段类型 定义 交点性质 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段 三条高所在直线交于一点（垂心） 中线 连接顶点与对边中点的线段 三条中线交于一点（重心），重心分中线为$2:1$两段 角平分线 内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 3.内角与外角 内角和定理：三角形三个内角的和等于。 外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角和等于。 知识点2：全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 对应边相等，对应角相等； 对应线段（高、中线、角平分线）相等，周长、面积分别相等。 2.全等三角形的判定定理 判定方法 适用范围 内容说明 SSS 所有三角形 三边对应相等的两个三角形全等 SAS 所有三角形 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA 所有三角形 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 AAS 所有三角形 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 HL 直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 >注意：SSA、AAA不能判定两个三角形全等。 知识点3：线段垂直平分线与角平分线 1.线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形外心：三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 2.角的平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形内心：三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等。 知识点4：等腰三角形与等边三角形 1.等腰三角形 性质：等边对等角；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 2.等边三角形 性质：三边都相等，三个内角都等于；具有等腰三角形的所有性质。 判定：三个角都相等的三角形；有一个角是的等腰三角形。 【基础必考题型】 【题型1】三角形三边关系与角度计算 1.核心知识点: 三角形三边关系定理 三角形内角和定理 2.解题方法技巧: 判断三边能否构成三角形，只需验证两短边之和大于最长边 角度计算优先利用内角和建立方程，外角性质可实现快速转化 【例题1】.（25-26六年级下·山东济南·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南郑州·期末）若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型2】三角形重要线段的识别与应用 1.核心知识点: 三角形高、中线、角平分线的定义 中线等分三角形面积的性质 2.解题方法技巧: 中线分对边为相等的两段，对应两个三角形周长差等于两邻边差 角平分线分角为相等的两部分，结合内角和可快速推导角度 【例题2】.（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．中线、高线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-2】.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【题型3】全等三角形的性质与判定辨析 1.核心知识点: 全等三角形的对应边、对应角性质 全等判定定理的适用条件 2.解题方法技巧: 找对应元素：公共边、公共角、对顶角通常是对应边/对应角 判定辨析：牢记“SAS必须是夹角”“HL仅适用于直角三角形”，排除SSA、AAA的干扰 【例题3】.（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，点是的中点，连接并延长，连接并延长，与的延长线交于点，且．试说明：． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【题型4】等腰三角形的性质与基础计算 1.核心知识点: 等边对等角 三角形内角和定理 2.解题方法技巧: 已知等腰三角形一个角，先判断是顶角还是底角，不确定时需分类讨论 求角度时可设底角为，利用内角和列方程求解 【例题4】.（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【变式题4-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【题型5】线段垂直平分线与角平分线的性质应用 1.核心知识点: 垂直平分线的性质 角平分线的性质 2.解题方法技巧: 出现垂直平分线，直接连接线段端点，得到相等线段 出现角平分线，过线上点向两边作垂线段，得到相等的距离 【例题5】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，周长为，为的中点，且，连接．已知周长为13，求的长． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，交于点A，交于点D． (1)在BC上求作一点Q，使线段最短；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【培优高频题型】 【题型6】全等三角形的综合证明（跨学科·工程测量情境） 1.核心知识点: 全等三角形的判定定理 全等三角形对应边相等的性质 2.解题方法技巧: 证明全等三步走：找已知条件、推隐含条件（公共边/角、对顶角）、选判定定理 测量不可达距离的问题，核心是构造全等三角形，将未知边转化为可测量的边 【例题6】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，小嘉想测量一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），于是找到一根足够长的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，测得底端B到墙根O的距离为，直杆与地面的夹角，将直杆顶端竖直缓慢下滑至点C处，使直杆与墙面的夹角，此时直杆的底端点D到点B的距离为．求点A距地面的高度． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在秋千距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【变式题6-3】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）学习利用三角形全等测距离后，实践小组同学就“测量河两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B和C在同一条直线上，且； ②测得，； ③延长至点E，使得； ④测得米． (1)请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． (2)创新小组了解了他们的方案后，觉得有点麻烦，给出了新的方案及示意图，如下： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点O和点D，使得，点B，O，D在同一条直线上，且； ②…… 请帮他们补全方案及示意图． 【题型7】角平分线与全等三角形综合计算与证明 1.核心知识点: 角平分线的性质 全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧: 角平分线+双垂线模型：直接得到相等的垂线段，构造全等直角三角形 角平分线+截长补短：可证明线段的和差关系 【例题7】.（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系． 【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F． 请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整： 和之间的数量关系为________________．理由如下： 【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【题型8】等腰三角形的分类讨论问题 1.核心知识点: 等腰三角形的定义 三角形三边关系 2.解题方法技巧: 边长问题：分已知边为腰、为底两种情况，最后必须用三边关系验证 角度问题：分已知角为顶角、为底角两种情况，钝角只能作顶角 【例题8】.（25-26七年级下·辽宁·期中）若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的腰长是（     ） A．3 B．3或3.5 C．3.5 D．3或4 【变式题8-1】.（25-26七年级下·上海宝山·期末）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南开封·期末）小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【压轴素养题型】 【题型9】全等三角形动点与存在性探究题 1.核心知识点: 全等三角形的判定 动点问题的坐标/线段表示 分类讨论思想 2.解题方法技巧: 先用含时间的代数式表示动线段长度 按对应顶点的不同情况分类，根据全等条件列方程求解，最后检验取值范围 【例题9】.（25-26七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 【变式题9-2】.（25-26八年级上·重庆万州·阶段检测）在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒． (1)求的面积（用含的代数式表示）； (2)如图②，当点从点开始运动的同时，点从点出发， ①若以的速度沿向点运动（到达点即停），当时，求的值； ②若以的速度沿向点运动（到达点即停），是否存在这样的，使与P、Q、C三点围成的三角形全等?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【题型10】三角形全等新定义素养题 1.核心知识点: 全等三角形的核心性质 阅读理解与知识迁移能力 2.解题方法技巧: 先精读新定义，明确判定标准和限制条件 将新定义问题拆解为熟悉的全等判定、角度计算、边长关系问题，分步求解 【例题10】.（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【变式题10-1】.（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，与为偏等积三角形，如图，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点． (1)求证： (2)求的长度． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，点C为射线上一个定点． (1)①请过点C作直线，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请写出的依据：______；（用文字表达） (2)新定义：在一个三角形中，等角所对的边也相等，如图（2）．如图（3），，平分且交直线于点E，请证明：； (3)在（2）的条件下，点F为线段的中点，点P在直线上运动，连接并延长交直线于点Q，当点Q不与点C重合时，请在备用图中画出相应的图形，并直接写出与之对应的三条线段、、之间的数量关系． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川乐山·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 易错点 1.全等判定条件混淆：误用SSA、AAA判定三角形全等；使用SAS时忽略“夹角”条件，用边边角证明全等。 2.等腰三角形漏解：已知边长或角度时，忽略分类讨论，只考虑一种情况，且忘记用三边关系验证能否构成三角形。 3.性质与判定混淆：将角平分线、垂直平分线的性质和判定记反，证明时逻辑颠倒。 4.三线合一误用：将“三线合一”应用于任意三角形，忽略其仅适用于等腰三角形，且必须是顶角平分线、底边上的中线和高。 5.高的位置漏讨论：涉及三角形的高时，默认高在三角形内部，忽略钝角三角形高在外部的情况，造成漏解。 重点 1.三角形三边关系、内角和与外角性质，这是所有三角形角度、边长计算的基础。 2.全等三角形的五种判定方法，以及利用全等证明线段相等、角相等的基本思路。 3.角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，以及在证明和计算中的应用。 4.等腰三角形、等边三角形的性质与判定，尤其是“等边对等角”和“三线合一”的应用。 难点 1.全等三角形的辅助线构造（截长补短、倍长中线等），以及复杂图形中全等三角形的识别与证明。 2.等腰三角形、全等三角形结合的分类讨论问题，需做到分类不重不漏。 3.利用角平分线、垂直平分线的对称性解决最短路径、周长最值等问题。 4.动点、新定义、规律探究类创新题型，需要较强的逻辑推理和知识迁移能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 2．如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 3．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在中，，，请写出一个第三边的整数值：_________． 5．如图，中，D、E、F分别为、、的中点，若，则的值为______． 6．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 三、解答题 7．如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且，，相交于点，过点作，垂足为，若，求的长度． 8．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 9．综合与实践 学习了尺规作图后，小达进行了拓展性探究．成功找到了用尺规作出线段三等分点的方案． 【问题提出】 如图，中，，，他要作出线段的三等分点，并给出几何证明． 【动手操作】 作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（只保留作图痕迹）； (2)请你帮助小达完成以上猜想的证明． 10．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 知识点1：三角形中的线段和角 1.三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 快速判定：若两条较短线段的长度之和大于最长线段，则三条线段能构成三角形。 2.三角形的三条重要线段 线段类型 定义 交点性质 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段 三条高所在直线交于一点（垂心） 中线 连接顶点与对边中点的线段 三条中线交于一点（重心），重心分中线为$2:1$两段 角平分线 内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 3.内角与外角 内角和定理：三角形三个内角的和等于。 外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角和等于。 知识点2：全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 对应边相等，对应角相等； 对应线段（高、中线、角平分线）相等，周长、面积分别相等。 2.全等三角形的判定定理 判定方法 适用范围 内容说明 SSS 所有三角形 三边对应相等的两个三角形全等 SAS 所有三角形 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA 所有三角形 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 AAS 所有三角形 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 HL 直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 >注意：SSA、AAA不能判定两个三角形全等。 知识点3：线段垂直平分线与角平分线 1.线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形外心：三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 2.角的平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形内心：三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等。 知识点4：等腰三角形与等边三角形 1.等腰三角形 性质：等边对等角；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 2.等边三角形 性质：三边都相等，三个内角都等于；具有等腰三角形的所有性质。 判定：三个角都相等的三角形；有一个角是的等腰三角形。 【基础必考题型】 【题型1】三角形三边关系与角度计算 1.核心知识点: 三角形三边关系定理 三角形内角和定理 2.解题方法技巧: 判断三边能否构成三角形，只需验证两短边之和大于最长边 角度计算优先利用内角和建立方程，外角性质可实现快速转化 【例题1】.（25-26六年级下·山东济南·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合题意； 选项B：，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合题意； 选项D：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合题意. 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南郑州·期末）若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合三边长均为奇数的条件确定第三边的最大值，即可计算得到周长的最大值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：第三边，即第三边， 三边长均为奇数， 第三边的最大值为， 三角形周长的最大值为． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，再根据是的角平分线求出．再利用直角三角形两锐角互余，求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 【题型2】三角形重要线段的识别与应用 1.核心知识点: 三角形高、中线、角平分线的定义 中线等分三角形面积的性质 2.解题方法技巧: 中线分对边为相等的两段，对应两个三角形周长差等于两邻边差 角平分线分角为相等的两部分，结合内角和可快速推导角度 【例题2】.（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．中线、高线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【答案】A 【分析】本题考查了折叠，三角形的角平分线、高线、中线，根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线， 故选：． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个，选B． 【变式题2-2】.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 【题型3】全等三角形的性质与判定辨析 1.核心知识点: 全等三角形的对应边、对应角性质 全等判定定理的适用条件 2.解题方法技巧: 找对应元素：公共边、公共角、对顶角通常是对应边/对应角 判定辨析：牢记“SAS必须是夹角”“HL仅适用于直角三角形”，排除SSA、AAA的干扰 【例题3】.（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，即，再结合图形中线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合已知条件推出及公共边，逐项判断即可． 【详解】解：， ， 在和中，已知，， A，添加，符合，能判定，不符合题意； B，添加，符合，能判定，不符合题意； C，添加，符合，能判定，不符合题意； D，添加，无法判定，符合题意． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，点是的中点，连接并延长，连接并延长，与的延长线交于点，且．试说明：． 【答案】证明：∵点是的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据中点的定义得到，根据平行线的性质得到，证明，得到，证明，可知． 【详解】略． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． 【题型4】等腰三角形的性质与基础计算 1.核心知识点: 等边对等角 三角形内角和定理 2.解题方法技巧: 已知等腰三角形一个角，先判断是顶角还是底角，不确定时需分类讨论 求角度时可设底角为，利用内角和列方程求解 【例题4】.（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据轴对称的性质得到，所以，然后结合三角形外角性质求得，再根据等腰三角形的性质求得，即可求得答案． 【详解】解：沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【答案】(1)与平行，理由如下： ∵是的一条角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）利用角平分线的定义结合等边对等角求得，即可判断； （2）利用证明，即可得到，，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【变式题4-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴． (2)证明：由（1）知， 在和中，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直的定义得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，可得，进而得出，即可得出； （2）利用证明，得出，根据是边上的中线，即可得出结论． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 【题型5】线段垂直平分线与角平分线的性质应用 1.核心知识点: 垂直平分线的性质 角平分线的性质 2.解题方法技巧: 出现垂直平分线，直接连接线段端点，得到相等线段 出现角平分线，过线上点向两边作垂线段，得到相等的距离 【例题5】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，周长为，为的中点，且，连接．已知周长为13，求的长． 【答案】 【分析】根据题意得到垂直平分，由周长的计算得到，根据线段中点即可求解． 【详解】解：∵为的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为21，即， ∵的周长为13， ∴，则， ∴， ∵为的中点， ． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，交于点A，交于点D． (1)在BC上求作一点Q，使线段最短；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)如图所示，点Q即为所求． (2)4 【分析】（1）先根据“垂线段最短”得出时，线段最短，再根据直线外一点作已知直线的垂线作法进行作图即可； （2）先推出，再根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】（1）解：若线段最短，则，即以为圆心，长为半径，作弧交于点，分别以、为圆心，长为半径，作弧交于点，连接交于点，如图所示，点Q即为所求． （2）解：由（1）知，线段最短，即， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 【变式题5-3】.（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型6】全等三角形的综合证明（跨学科·工程测量情境） 1.核心知识点: 全等三角形的判定定理 全等三角形对应边相等的性质 2.解题方法技巧: 证明全等三步走：找已知条件、推隐含条件（公共边/角、对顶角）、选判定定理 测量不可达距离的问题，核心是构造全等三角形，将未知边转化为可测量的边 【例题6】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 【答案】3米 【分析】证明即可解答． 【详解】解：根据题意可得，， ， ，       ， ，             ，，米， ，                              米， 该条幅最低点到地面的距离为3米． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，小嘉想测量一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），于是找到一根足够长的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，测得底端B到墙根O的距离为，直杆与地面的夹角，将直杆顶端竖直缓慢下滑至点C处，使直杆与墙面的夹角，此时直杆的底端点D到点B的距离为．求点A距地面的高度． 【答案】点A距地面的高度为． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 答：点A距地面的高度为． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在秋千距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】(1)全等，理由： 据题意可知，， ， ，， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）先由，推出，再根据证明两个三角形全等； （2）根据全等三角形的性质求出，再结合求出，即为小丽距离地面的高度． 【详解】（1）略 （2）解：据（1）可知，， 则，， ，， ，， ， ， ， 故在处接住小丽时，小丽距离地面． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）学习利用三角形全等测距离后，实践小组同学就“测量河两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B和C在同一条直线上，且； ②测得，； ③延长至点E，使得； ④测得米． (1)请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． (2)创新小组了解了他们的方案后，觉得有点麻烦，给出了新的方案及示意图，如下： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点O和点D，使得，点B，O，D在同一条直线上，且； ②…… 请帮他们补全方案及示意图． 【答案】(1)解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即 米， 米． (2)方案：在点B所在河岸同侧取点C，使得A，O，C在同一条直线上，且，测出的距离． 示意图： 【分析】（1）根据三角形内角和求出，可知，证明，得到，进而可知； （2）设计方案构造全等三角形即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【题型7】角平分线与全等三角形综合计算与证明 1.核心知识点: 角平分线的性质 全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧: 角平分线+双垂线模型：直接得到相等的垂线段，构造全等直角三角形 角平分线+截长补短：可证明线段的和差关系 【例题7】.（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴, ∴, 即平分； (2) 如图，是的平分线． 【分析】（1）根据证明可得，从而可得平分;; （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，作射线，则平分． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形两种不同判定方式，都实现了角的平分. 【详解】如图①所示，由角尺两边相同刻度分别与，重合，可知， 故在和中， 由 ，得； 如图②所示，由所作垂线可知， 故在和中， 由 ，得. 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 【答案】 【分析】连接，证明，，得到，进而可得，则可求. 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 即：. 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系． 【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F． 请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整： 和之间的数量关系为________________．理由如下： 【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】问题解决∶，理由见解析；拓展延伸∶，见解析 【分析】本题主要考出了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 问题解决∶如图：延长交的延长线于点， 再证明可得、．然后证明可得，然后根据线段的和差即可解答； 拓展延伸∶如图，延长到，使得，连接，则，易证可得、．再证明可得，进而完成解答． 【详解】解：问题解决：，理由如下： 如图：延长交的延长线于点， ， ，． 点是的中点， ， 在和中， ， ． ，． ， ． 平分，平分， ，． ．． 在和中， ， ． ． ，即． 拓展延伸： 解：．证明如下： 如图，延长到，使得，连接，则， 可得：． ，． ． ． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ， ． 【题型8】等腰三角形的分类讨论问题 1.核心知识点: 等腰三角形的定义 三角形三边关系 2.解题方法技巧: 边长问题：分已知边为腰、为底两种情况，最后必须用三边关系验证 角度问题：分已知角为顶角、为底角两种情况，钝角只能作顶角 【例题8】.（25-26七年级下·辽宁·期中）若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的腰长是（     ） A．3 B．3或3.5 C．3.5 D．3或4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形定义分类讨论已知边长为腰长或底边长两种情况，结合三角形三边关系验证，即可得到符合条件的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若边长为腰长，则底边长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴此时腰长为符合要求； 情况2：若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴此时腰长为符合要求； 因此等腰三角形的腰长为或． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·上海宝山·期末）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______． 【答案】 【分析】由于条件未明确该边是腰还是底边，因此需要分情况讨论，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况： 当边长为腰长时，底边长为， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； 当边长为底边长时，腰长为， 此时满足三角形三边关系，能构成三角形， 因此腰长为． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】(1) (2) (3)1或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过1或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南开封·期末）小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再取奇数即可； （2）根据等腰三角形的定义得到x的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵x为奇数， ∴x的值为5或7或9或11． （2）解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴或， 当时，三边长为4，8，4， 由于，不满足三角形的三边关系，故舍去； 当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系， ∴这个等腰三角形的周长为． 【压轴素养题型】 【题型9】全等三角形动点与存在性探究题 1.核心知识点: 全等三角形的判定 动点问题的坐标/线段表示 分类讨论思想 2.解题方法技巧: 先用含时间的代数式表示动线段长度 按对应顶点的不同情况分类，根据全等条件列方程求解，最后检验取值范围 【例题9】.（25-26七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在或，使得与全等 【分析】（1）由题意得，则； （2）证明，，，证明，推出，据此可得结论； （3）分两种情况讨论：①若，则，②若，则，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，，，， ∴，当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①若，则， 即，解得； ②若，则， 即，解得； 综上所述，存在或，使得与全等． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 【答案】(1) (2) (3)当的值为4或20时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由路程=速度×时间，可得的长度； （2）过点作于点．由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． （2）解：如图1，过点作于点． ， ． 的面积为， ， ， ， ． （3）解：根据题意，分两种情况： ①如图2，当点向上运动时， ， 点在线段上， 当时，， ， ； ②如图3，当点向下运动时， ，， 点在线段的延长线上， 当时，， ， ． 综上所述，当的值为4或20时，与全等． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·重庆万州·阶段检测）在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒． (1)求的面积（用含的代数式表示）； (2)如图②，当点从点开始运动的同时，点从点出发， ①若以的速度沿向点运动（到达点即停），当时，求的值； ②若以的速度沿向点运动（到达点即停），是否存在这样的，使与P、Q、C三点围成的三角形全等?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，的值为；②当或时，与全等 【分析】（1）由题意可得，，求出，再由三角形的面积公式计算即可得出结果； （2）①由题意可得，，，，，则，，由勾股定理可得，，连接，则，再结合，得出，计算即可得出结果；②由题意可得，，则，，分两种情况：当，时，；当，时，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒， ∴，， ∴， ∴的面积； （2）解：①∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动（到达点即停），设点的运动时间为秒， ∴，，，，， ∴，， 由勾股定理可得：，， 如图，连接，则， ， ∵， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴当时，的值为； ②∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动（到达点即停），设点的运动时间为秒， ∴，， ∴，， 当，时，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∴， 解得：； 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、列代数式、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)当运动时间为秒时直线平分四边形的面积 (4)或 【分析】本题考查了旋转、轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的定义等知识． （1）根据旋转、轴对称的性质求解即可； （2）已知，，要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，只需，列出方程求解即可； （3）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论，用含的方程表示出左侧梯形的面积，解方程即可； （4）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论：当点在上运动时，是以为底的等腰三角形；当点在边上运动时，只可能是以为底的等腰三角形，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵绕斜边的中点旋转得到， ∴， ∴，，． 又∵沿翻折得到， ∴，且共线， ∴． 当点在边上运动时， ∵，，∴. 当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒， ∴． 故答案为：，，； （2）解：当在边上运动时，，，. ∵，， ∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 只需，即，解得； （3）解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易得四边形的面积为， ∴当直线平分四边形的面积时， 四边形的面积为，即，解得=； 如图，当点在边上运动时，，，， ∴， 四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)． 综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积； （4）解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形； 当点在边上运动时，∵，， ∴△只可能是以为底的等腰三角形，． 如图，连接，过点作，则，， 在和中，， ∴， ∴，即，解得． 综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形． 故答案为：或． 【题型10】三角形全等新定义素养题 1.核心知识点: 全等三角形的核心性质 阅读理解与知识迁移能力 2.解题方法技巧: 先精读新定义，明确判定标准和限制条件 将新定义问题拆解为熟悉的全等判定、角度计算、边长关系问题，分步求解 【例题10】.（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【答案】(1) 如图，四边形即为所作的对等垂美四边形； (2) 解：是，理由如下： 连接，交于点，设与交于点， 由题意知，，，， ∴， 即 在和中， ∴ ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在四边形中，，， ∴四边形是对等垂美四边形 (3)3或 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键． （1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可； （2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论； （3）分是直角和为直角两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当是直角时，点与点重合，如图， ∴点到的距离即为， ∵， ∴点到的距离为3； 当为直角时，如图， ∵，， ∴， 设点到的距离为， ∴，即， ∴， 综上，点到的距离为3或． 【变式题10-1】.（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，与为偏等积三角形，如图，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点． (1)求证： (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据与为偏等积三角形，得到，由得，又，证得，所以； （2）由（1）知，得，，根据三角形三边关系可得，所以，再根据线段的长度为正整数，即可得的长度． 【详解】（1）解：与为偏等积三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ， ， ， 的长度为正整数， ， ． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，点C为射线上一个定点． (1)①请过点C作直线，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请写出的依据：______；（用文字表达） (2)新定义：在一个三角形中，等角所对的边也相等，如图（2）．如图（3），，平分且交直线于点E，请证明：； (3)在（2）的条件下，点F为线段的中点，点P在直线上运动，连接并延长交直线于点Q，当点Q不与点C重合时，请在备用图中画出相应的图形，并直接写出与之对应的三条线段、、之间的数量关系． 【答案】(1) ①如图所示为所求： ， ②同位角相等，两直线平行 (2) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) ①点Q在点C右侧，如图， ； ②点Q在之间，如图， ； ③点Q在点E左侧，如图， 【分析】（1）①作即可，②由作图结合同位角相等，两直线平行即可解答； （2）根据平分，可得，由，可得，即可证明； （3）证明，得到，分点Q在点C右侧；②点Q在之间；③点Q在点E左侧，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①略 ②∵， ∴，依据为同位角相等，两直线平行； （2）略 （3）解：①点Q在点C右侧， ∵， ∴ ， ∵点F为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ； ②点Q在之间， 同理，得； ③点Q在点E左侧， 同理，得． 综上，点Q在点C右侧时，；点Q在之间时，；点Q在点E左侧时，． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川乐山·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）；（），见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线性质，同角的补角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“偏等积三角形”定义可得； （）根据“偏等积三角形”定义可得，然后证明，所以，，又，通过的长度为正整数，求得，从而求得；    （）作，交的延长线于， 证明，则，，又，所以，因为，，所以，证明，所以，因为，从而可得． 【详解】解：（）∵与为偏等积三角形， ∴当为中点时，， ∴， 故答案为：；     （）∵与为偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的长度为正整数， ∴， ∴； （）， 理由如下： 如图，作，交的延长线于，   ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 易错点 1.全等判定条件混淆：误用SSA、AAA判定三角形全等；使用SAS时忽略“夹角”条件，用边边角证明全等。 2.等腰三角形漏解：已知边长或角度时，忽略分类讨论，只考虑一种情况，且忘记用三边关系验证能否构成三角形。 3.性质与判定混淆：将角平分线、垂直平分线的性质和判定记反，证明时逻辑颠倒。 4.三线合一误用：将“三线合一”应用于任意三角形，忽略其仅适用于等腰三角形，且必须是顶角平分线、底边上的中线和高。 5.高的位置漏讨论：涉及三角形的高时，默认高在三角形内部，忽略钝角三角形高在外部的情况，造成漏解。 重点 1.三角形三边关系、内角和与外角性质，这是所有三角形角度、边长计算的基础。 2.全等三角形的五种判定方法，以及利用全等证明线段相等、角相等的基本思路。 3.角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，以及在证明和计算中的应用。 4.等腰三角形、等边三角形的性质与判定，尤其是“等边对等角”和“三线合一”的应用。 难点 1.全等三角形的辅助线构造（截长补短、倍长中线等），以及复杂图形中全等三角形的识别与证明。 2.等腰三角形、全等三角形结合的分类讨论问题，需做到分类不重不漏。 3.利用角平分线、垂直平分线的对称性解决最短路径、周长最值等问题。 4.动点、新定义、规律探究类创新题型，需要较强的逻辑推理和知识迁移能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长． 2．如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：，， A、添加，可利用“角边角”证明，故本选项不符合题意； B、添加，可得可利用“边角边”证明，故本选项不符合题意； C、添加，满足“边边角”，无法证明，故本选项符合题意； D、添加，可利用“角角边”证明，故本选项不符合题意； 3．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 二、填空题 4．在中，，，请写出一个第三边的整数值：_________． 【答案】 （答案不唯一，，，，均可） 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再在取值范围内找出符合条件的整数值即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 ， 将，代入，得 ， 即， 为整数， 的整数值为，，，，（任写一个即可）． 5．如图，中，D、E、F分别为、、的中点，若，则的值为______． 【答案】16 【分析】根据中点的定义和“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 三、解答题 7．如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且，，相交于点，过点作，垂足为，若，求的长度． 【答案】 【分析】证明即可得到，得出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴． 8．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查垂线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，再利用等腰三角形的性质得到，利用“”的判定方法进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，进而求出长，利用四边形的面积等于进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，， ， ， 四边形的面积为： ． 9．综合与实践 学习了尺规作图后，小达进行了拓展性探究．成功找到了用尺规作出线段三等分点的方案． 【问题提出】 如图，中，，，他要作出线段的三等分点，并给出几何证明． 【动手操作】 作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（只保留作图痕迹）； (2)请你帮助小达完成以上猜想的证明． 【答案】(1) (2)证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， 中，， ， ， ； 【分析】（1）分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，连接这两点分别交于点，交于点，连接； （2）利用等边对等角，垂直平分线的性质以及直角三角形中所对的边是斜边的一半证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ． (2)证明：如图，作于，作于． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴平分． (3)，证明如下： 如图，设与交于点， 设， ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可； （2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明； （3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $