3.1.2 第一课时 函数的单调性导学-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

学案导学 编号：qyj-bx1-3-6 3.1.2　函数的单调性 第一课时　函数单调性的定义与证明、函数的最值 课堂讲练 学习目标 1. 理解函数的单调性的定义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性。 2. 会用函定义判断（或证明）函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间。 3. 理解函数最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性函数最值。 新知探究 一、函数单调性的定义与证明 探究1 观察下列三个函数的图象，他们有什么变化规律? 1. 增函数与减函数的定义 增函数 减函数 条件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且I⊆D:如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减) 图象 2、注意点： 定义中的x1，x2有下列要求: ①同一性（同属一个区间I）. ②任意性（是区间I中的任意两个值）③有大小一般令x1<x2. 3. 学以致用：如何用定义判断或证明函数在某个区间上的单调性？ 例1 若f(x)= x + ，试判断f(x)在(0，1)上的单调性. 1-1 求证:函数f(x)= - -1在区间(-∞，0)上单调递增. 1-2判断函数在区间[0，+∞)上的单调性，并证明你的结论。 归纳证明单调性的步骤： 1、取值、作差、定号、判定 2、定号前要对差式进行充分的变形分解因式，以便于定号。 二、求函数的单调区间 探究2 对于函数y=， 能不能由于x=1时，y=3；x=2时，y=5， 就说函数是增函数？ 能不能由于x=1时，y=9；x=2时，y=5， 就说函数是减函数？ 1、函数的单调性、单调区间的定义： 如果函数y=f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就称函数y=f(x)在I上具有单调性 ； 区间I称为函数的单调区间，可细分为单调递增区间或单调递减区间。 2、、如果函数y=f(x)存在多个单调区间，各区间之间应当用“，”或“和”连接. 3、学以致用（利用图象找单调区间） 例2 如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一 单调区间上，它是增函数还是减函数? 2-1 函数 y= 的单调递减区间是 　.  2-2 作出函数f(x)=的图象，并指出函数f(x)的单调区间. 三、已知函数单调性求参数的范围 探究3 “函数y=f(x)在I上单调递增”与“函数y=f(x)的单调递增区间为I”含义相同吗? 例3. 函数在区间（－∞，4］上是减函数，求实数的取值范围． 3-1若函数的递减区间是（－∞，4］，求实数的取值范围． 3-2定义在(0,+)上的增函数满足，则实数的取值范围是 . 3-3、在定义域上是减函数，且求的取值范围。 课后练 1.(多选)如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[-5，5]上没有单调性 2.(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是(　　) A.y=- B.y=2x-1 C.y=1-2x D.y=(2x-1)2 3.已知f(x)在(-∞，+∞)内是减函数，a，b∈R，且a+b≤0，则有(　　) A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 4.已知函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(-m+9)，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-3) B.(0，+∞) C.(3，+∞) D.(-∞，-3)∪(3，+∞) 5.设函数f(x)=x2+bx+c满足f(0)=f(2)，则(　　) A.f (-2)<c<f B.f<c<f (-2) C.f <f(-2)<c D.c<f <f(-2) 6.用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值.设f(x)=min{x+2，10-x}(x≥0)， 则f(x)的最大值为　　　　.  7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是　　 　，单调递增区间是　　 　.  8、知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　 　  9.画出函数y=-x(|x-2|-2)，x∈[-1，5]的图象，根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值. 10、证明函数f(x)= 在区间(2，+∞)上单调递减. 11.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是单调函数，求实数a的取值范围。  12（思考题） 已知函数对任意的实数都有，当时. (1) 求证：在R上是增函数. (2) 若，解不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：qyj-bx1-3-6 3.1.2　函数的单调性（解析） 第一课时　函数单调性的定义与证明、函数的最值 课堂讲练 新知探究 一、函数单调性的定义与证明 探究1 观察下列三个函数的图象，他们有什么变化规律? 提示　从正比例函数y=2x的图象可以看出，y随着x的增大而增大; 从反比例函数y=的图象可以看出，在(-∞，0)和(0，+∞)内，函数值y随着x的增大而减小; 从二次函数y=x2的图象可以看出，在(0，+∞)内y随x的增大而增大，在(-∞，0)内，y随x的增大而减小. 3. 学以致用：如何用定义判断或证明函数在某个区间上的单调性？ 例1 若f(x)= x + ，试判断f(x)在(0，1)上的单调性. 解　函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减. 理由如下:任取x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=. 因为0<x1<x2<1，所以x1-x2<0，0<x1x2<1，x1x2-1<0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减. 1-1 求证:函数f(x)= - -1在区间(-∞，0)上单调递增. 证明　∀x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2<0， 因为f(x1)-f(x2)=--1-=-=， 由题设可得，x1-x2<0，x1x2>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)=--1在区间(-∞，0)上单调递增. 1-2、判断函数在区间[0，+∞)上的单调性，并证明你的结论。 【答案】y=√x 在 [0，＋∞) 上单调递增。 证明：(1) 取值：任取 x₁、x₂∈[0，＋∞)，且 x₁<x₂。 (2) 作差：f(x₂)－f(x₁)=√x₂－√x₁。 (3) 变形（分子有理化）：√x₂－√x₁=(x₂－x₁)/(√x₂＋√x₁)。 (4) 定号：因为 x₁<x₂，所以 x₂－x₁>0；又 x₁、x₂≥0，所以 √x₂＋√x₁>0。故 f(x₂)－f(x₁)>0，即 f(x₂)>f(x₁)。 (5) 结论：对任意 0≤x₁<x₂ 都有 f(x₁)<f(x₂)，所以 y=√x 在 [0，＋∞) 上单调递增。 二、求函数的单调区间 3、学以致用（利用图象找单调区间） 例2 如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一 单调区间上，它是增函数还是减函数? 解　y=f(x)的单调区间有[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数. 2-1 函数 y= 的单调递减区间是 　.  答案　(-∞，1)，(1，+∞) 解析　y=的图象可由y=的图象向右平移一个单位得到，如图， 所以单调递减区间是(-∞，1)，(1，+∞). 2-2 作出函数f(x)=的图象，并指出函数f(x)的单调区间. 解　f(x)=的图象如图所示，由图可知，函数f(x)=的单调递减区间为(-∞，1]和(1，2]， 单调递增区间为[2，+∞). 三、已知函数单调性求参数的范围 探究3 “函数y=f(x)在I上单调递增”与“函数y=f(x)的单调递增区间为I”含义相同吗? 例3. 函数在区间（－∞，4］上是减函数，求实数的取值范围． 【答案】a≤－8 【解析】 (1) 开口方向与对称轴：f(x)=x²+ax+1 是开口向上的二次函数，其对称轴为直线 x=－a/2。 (2)函数在对称轴左侧单调递减、右侧单调递增，即减区间为 (－∞，－a/2]。 (3) 要求 f(x) 在 (－∞，4] 上是减函数，即区间 (－∞，4] 应包含在减区间 (－∞，－a/2] 之内，故端点 4 应在对称轴的左侧，得 4≤－a/2，即 －a/2≥4。 (4) 解得 a≤－8。 3-1若函数的递减区间是（－∞，4］，求实数的取值范围． 【答案】a=－8 【解析】 (1) 与例3 同理，f(x)=x²+ax+1 的减区间为 (－∞，－a/2]。 (2) 题设要求“递减区间是 (－∞，4]”，即函数完整的递减区间恰好到 4 为止， 因此对称轴恰好为直线 x=4，即 －a/2=4。(3) 解得 a=－8。 3-2定义在(0,+)上的增函数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】x>5 【解析】 (1) 先看定义域：f(x) 定义在 (0，＋∞) 上，故自变量 2x－4 必须为正，即 2x－4>0，解得 x>2。 (2) 脱去“f”：因 f(x) 为增函数，f(2x－4)>f(6) 等价于 2x－4>6（增函数脱 f 后不等号方向不变），解得 x>5。 (3) 与定义域取交集：x>2 且 x>5，故 x>5。 3-3、在定义域上是减函数，且求的取值范围。 【答案】0<a<1/2 【解析】 (1) 定义域约束：f(x) 定义在 (－1，1) 上，所以括号内的 1－a 与 3a－1 都必须在 (－1，1) 内： 　　－1<1－a<1 ⟹ 0<a<2；　－1<3a－1<1 ⟹ 0<a<2/3。将两部分取交集，得 0<a<2/3。 (2) 脱去“f”：因 f(x) 为减函数，f(1－a)<f(3a－1) 等价于 1－a>3a－1（减函数脱 f 后不等号方向反向），解得 a<1/2。 (3) 与定义域取交集：0<a<2/3 且 a<1/2，故 0<a<1/2。 课后练 1.(多选)如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[-5，5]上没有单调性 答案　ABD 解析　由图可知f(x)在区间[-3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故C错误，其余选项均正确.故选ABD. 2.(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是(　　) A.y=- B.y=2x-1 C.y=1-2x D.y=(2x-1)2 答案　AB 解析　对于A，y=-在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增;对于B，y=2x-1在R上单调递增; 对于C，y=1-2x在R上单调递减; 对于D，y=(2x-1)2在上单调递减，在上单调递增.故选AB. 3.已知f(x)在(-∞，+∞)内是减函数，a，b∈R，且a+b≤0，则有(　　) A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 答案　D 解析　由题意知a+b≤0，得a≤-b，b≤-a. ∵f(x)在(-∞，+∞)内是减函数，∴f(a)≥f(-b)，f(b)≥f(-a)，∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).故选D. 4.已知函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(-m+9)，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-3) B.(0，+∞) C.(3，+∞) D.(-∞，-3)∪(3，+∞) 答案　C 解析　∵f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(-m+9)，∴2m>-m+9，即m>3，故选C. 5.设函数f(x)=x2+bx+c满足f(0)=f(2)，则(　　) A.f (-2)<c<f B.f<c<f (-2) C.f <f(-2)<c D.c<f <f(-2) 答案　B 解析　∵f(0)=f(2)，∴f(x)的对称轴为x=1，∵f(x)的图象开口向上， ∴f(x)在(-∞，1)上单调递减，∵-2<0<，∴f(-2)>f(0)>f=f，f(0)=c，故选B. 6.用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值.设f(x)=min{x+2，10-x}(x≥0)， 则f(x)的最大值为　　　　.  答案　6 解析　在同一个平面直角坐标系内画出函数y=x+2 和y=10-x的图象，如图所示.根据min{x+2，10-x}(x≥0) 的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分. 解方程x+2=10-x，得x=4，此时y=6，故两图象的交点为(4，6).所以f(x)的最大值为6. 7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是　　 　，单调递增区间是　　 　.  答案　(-∞，1)　[1，+∞) 解析　因为当x≥1时，f(x)是增函数;当x<1时，f(x)是减函数， 所以f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是[1，+∞). 8、已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　　.  【答案】a≤2 【解析】(1) 确定开口方向与对称轴：f(x)=－x²－ax＋3 开口向下， 对称轴 x=－b/(2a)=－(－a)/(－2)=－a/2。 (2) 开口向下时，函数在对称轴左侧单调递增、右侧单调递减，增区间为 (－∞，－a/2]。 (3) 题设要求 f(x) 在 (－∞，－1] 上是增函数，即 (－∞，－1]⊆(－∞，－a/2]，故 －a/2≥－1。 (4) 解得 a≤2。 9.画出函数y=-x(|x-2|-2)，x∈[-1，5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值. 解　原函数化为y=在平面直 角坐标系内作出其图象，如图所示.观察图象得， 函数y=-x(|x-2|-2)的单调递减区间是[-1，0]，(2，5]， 单调递增区间是(0，2]，当x=2时，ymax=4，当x=5时，ymin=-5， 所以原函数的最大值为4，最小值为-5. 10、证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 证明　∀x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2， f(x1)-f(x2)=-==. 因为2<x1<x2，所以x2-x1>0，>4，>4，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 11.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是单调函数，求的取值范围。 答案 (-∞，2]∪[3,+∞). 解析　因为二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5的图象的对称轴为直线x=， 当函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2. 当函数f(x)在区间上是减函数，所以≥，解得a≥3. 所以的取值范围是(-∞，2]∪[3,+∞). 12（思考题） 已知函数对任意的实数都有，当时. (1) 求证：在R上是增函数. (2) 若，解不等式. 【解析】（1） ① 先求 f(0)：令 x=y=0，得 f(0)＋f(0)=f(0)，故 f(0)=0。 ② 任取 x₁、x₂∈R，且 x₁<x₂，令 h=x₂－x₁，则 h>0。 ③ 在 f(x)＋f(y)=f(x＋y) 中取 x=x₁、y=h，得 f(x₁)＋f(h)=f(x₁＋h)=f(x₂)，即 f(x₂)=f(x₁)＋f(h)。 ④ 因为 h>0，由题设“当 x>0 时 f(x)>0”得 f(h)>0。 ⑤ 于是 f(x₂)－f(x₁)=f(h)>0，即 f(x₂)>f(x₁)。 ⑥ 结论：对任意 x₁<x₂ 都有 f(x₁)<f(x₂)，故 f(x) 在 R 上是增函数。 (2) 【答案】 (1，＋∞)。 【解析】 (1) 由 f(1)=3，将不等式 f(2x－1)>3 改写为 f(2x－1)>f(1)。 (2) 由（1）已证 f(x) 在 R 上是增函数，故 f(2x－1)>f(1) 等价于 2x－1>1。 (3) 解得 x>1，即不等式的解集为 (1，＋∞)。 学科网（北京）股份有限公司 $