3.1.2 第1课时 函数的单调性与最值-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性与最值，通过泰山起伏变化的情境导入，类比函数增减特性，衔接气温变化图分析，搭建从直观到抽象的学习支架，系统讲解单调性判断、单调区间及最值应用。 其亮点在于以数学眼光观察气温图提炼单调性定义，用数学思维通过定义法证明（如对勾函数）及母题探究深化推理，结合跟踪训练与课堂小结形成闭环。助力学生发展抽象能力与推理意识，教师可高效开展分层教学。

3．1.2　函数的单调性 第1课时　函数的单调性与最值 新课导入 学习目标 　　泰山作为中国地理文化的象征，以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上，泰山的美在于它的起伏变化．类似地，作为高中数学的核心，函数的魅力也是如此．今天我们一起来探究函数的起伏变化——函数的单调性． 1.理解并会判断函数的单调性． 2．会利用函数的单调性比较大小、解不等式． 3．会利用函数的单调性求函数的最值． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　函数单调性的判断与证明 下图为某地区24小时内的气温变化图． 返回导航 思考1　从左向右看，图象是如何变化的？ 提示：从左向右看，图象先下降，后上升，再下降． 思考2　气温在哪些区间上升？哪些区间下降？ 提示：气温在区间[4，14]内上升，在区间[0，4)和(14，24]内下降． 思考3　该地区24小时内，最高气温是多少？最低气温是多少？ 提示：最高气温是9 ℃，最低气温是－2 ℃. 返回导航 [知识梳理] 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且区间I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有___________________，则称y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上__________)，如图1所示； f(x1)＜f(x2) 单调递增 返回导航 (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有____________________，则称y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上__________)，如图2所示． 两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性． f(x1)＞f(x2) 单调递减 返回导航 返回导航 母题探究　若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，1)上的单调性． 返回导航 返回导航 感悟提升 用定义法证明函数单调性的步骤 注意　判断(证明)函数的单调性的关键是判断差式的正负． 返回导航 返回导航 当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增． 返回导航 知识点二　求函数的单调区间 [知识梳理] 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有________(区间I称为函数的__________，也可分别称为______________或______________). 单调性 单调区间 单调递增区间 单调递减区间 返回导航 [例2] 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3. (1)画出f(x)的图象； 返回导航 (2)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间．(不必证明) 【解】　由图象可知，函数f(x)的单调递增区间是[－2，0]，[2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]，[0，2]. 返回导航 感悟提升 求函数单调区间的2种方法 (1)定义法：先求出定义域，再利用定义进行判断求解． (2)图象法：先画出图象，再根据图象求单调区间． 注意　单调区间必须是函数定义域的子集，当函数在多个单调递增(或递减)区间端点处不满足单调递增(或递减)时，单调区间之间不能用“∪”“或”连接，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接． 返回导航 [跟踪训练2] (1)(2026·德州月考)如图是函数y＝f(x)的图象，其定义域为[－2，＋∞)，则函数f(x)的单调递减区间是(　　) A．[－1，0) B．[1，＋∞) C．[－1，0)，[1，＋∞) D．[－1，0)∪[1，＋∞) C 解析：若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，则由题图知，f(x)的单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞)，故选C. 返回导航 返回导航 因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以 f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减． 同理，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞). 返回导航 知识点三　函数单调性的应用 [知识梳理] 函数的最值 类别 最大值 最小值 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D 都有f(x)____f(x0) 都有f(x)____f(x0) 结论 f(x)的最大值为 f(x0)，而x0称为 f(x)的最大值点 f(x)的最小值为 f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为______ 最大值点和最小值点统称为________ ≤ ≥ 最值 最值点 返回导航 角度1　比较大小或解不等式 [例3] (1)函数f(x)在区间(－1，3]上单调递减，则(　　) A．f(－2)>f(2)　　　 B．f(0)<f(3) C．f(－1)>f(3) D．f(0)>f(3) D 返回导航 【解析】　对于A，因为－2∉(－1，3]，所以不能判断f(－2)，f(2)的大小关系，因此A不正确； 对于B，D，因为0，3∈(－1，3]，且函数f(x)在区间(－1，3]上单调递减，所以f(0)>f(3)，因此B不正确，D正确； 对于C，因为－1∉(－1，3]，所以不能判断f(－1)，f(3)的大小关系，因此C不正确． 返回导航 (2)(2026·日照月考)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，且f(x－1)<f(1－3x)，则x的取值范围是____________． 返回导航 感悟提升 利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小，在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 返回导航 角度2　求参数 [例4] 若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________________． 【解析】　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]. (－∞，－4] 返回导航 母题探究　在本例中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． 解析：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由题意得－a－1＝3，a＝－4. －4 返回导航 感悟提升 已知函数的单调性求参数的方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的值(范围)； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围． 返回导航 返回导航 返回导航 (2)求该函数在区间[1，5]上的最大值和最小值． 返回导航 感悟提升 (1)利用函数的单调性求最值 首先判断函数的单调性，然后利用单调性写出最值． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). 返回导航 [跟踪训练3] (1)函数f(x)＝(m－1)x＋b是R上的增函数，则(　　) A．f(m)>f(1) B．f(m)<f(1) C．f(m)≥f(1) D．f(m)≤f(1) 解析：由题意知m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1). A 返回导航 (2)函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[2，3) D．[0，3) 解析：因为f(2)＝－1，所以由f(2x－4)>－1，得f(2x－4)>f(2)，又f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，所以0≤2x－4<2，解得2≤x＜3，故选C. C 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 39 1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－2x C．y＝1－x D．y＝|x|－1 D 返回导航 解析：对于A，y＝－x2＋1，图象开口向下，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意； 对于B，y＝x2－2x，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，其在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于C，y＝1－x，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意； 对于D，y＝|x|－1，当x＞0时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递增．故选D. 返回导航 B 返回导航 3．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2，4])的单调递增区间为________． 解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，其图象的开口向上，对称轴为直线x＝1， 又x∈[－2，4]，故f(x)的单调递增区间为[1，4]. [1，4] 返回导航 4．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是 ____________． 返回导航 返回导航 (2)求f(x)在区间[3，6]上的最值． 返回导航 课堂小结 1．已学习：函数单调性的判断及应用、单调区间的求解、函数最值的求解． 2．须贯通：明确函数的单调性定义中x1，x2的三个特征以及函数的单调区间为定义域子集的性质，利用函数图象求单调区间体现了数形结合思想． 3．应注意：利用函数的单调性解不等式时不能忽略函数的定义域． 返回导航 2．设a＞0，若函数y＝，当x∈[a，2a]时，y的取值范围为，则a的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 $