3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

082 3.1.3函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解奇函数、偶函数的定义.（重点） 1.借助奇（偶）函数的特征，培养直观想象素养 2.了解奇函数、偶函数图像的特征.（一般） 2.借助函数奇偶性的判断方法，培养逻辑推理素养 3.掌握判断函数奇偶性的方法（重点、难点） 必备知识 探新知 思考1：为什么奇、偶 知识点1 奇函数、偶函数的定义 函数的定义域一定要 前提 设函数y=(x)的定义域为D,如果对D内的 ,都有-x∈D 关于原点对称？ 提示：由定义知，若x 条件 f-x)= f八-x)= 是定义域内的一个元 结论 f(x)是奇函数 f代x)是偶函数 素，一x也一定是定义 域内的一个元素，所 ●对应练习 ●[思考1] 以函数具有奇偶性的1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 一个必不可少的条件 (1)奇函数的图像一定过原点。 是定义域关于原点对 (2)如果定义域内存在x,满足八-x)=f(x),函数f(x)是偶函数. ( 称.如果所给函数的 (3)若对于定义域内的任意一个x,都有f(x)+f代-x)=0,则函数f(x)是奇函数.() 定义域不关于原点对 2.下列函数是偶函数的是 （(填序号). 称，则这个函数一定 ①y=,2y=22-33y=④=e0. 不具有奇偶性 知识点2奇函数、偶函数的图像特征 对称. 思考2：若f(x)为奇函 (1)奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 (2)如果一个函数的图像关于原点对称，那么它是 函数；如果一个函数的 数，且点(x,f(x))在 图像关于y轴对称，那么它是 函数 ●[思考2] 其图像上，则哪一个 点一定在其图像上？ ●对应练习 若f(x)为偶函数呢？ 1.下列图像表示的函数是奇函数的是 ,是偶函数的是 (填序号) 提示：若∫(x)为奇函 数，则(-x,-f(x) 在其图像上：若∫(x) 为偶函数，则(-x ② ③ f(x)在其图像上 2.若f(x)是定义在R上的奇函数f(3)=2,则f(-3)= f(0)= 关键能力攻重难 ●题型一函数奇偶性的判断 例1已知)e(-a,).()=)+-,则F0是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 ●083 2)函数)=x-2x的图像关于 A.y轴对称 B.坐标原点对称 C.直线y=-x对称 D.直线y=x对称 (3)判断下列函数的奇偶性： ①f(x）=I2x-11-12x+11; ②x）=22+2x x+1 rl-x2,x>0, ③f(x)=0,x=0, x2-1,x<0. 归纳提升：判断函数 的奇偶性的方法： (1)定义法 既不是奇函最 也不是偶函最 确定 定义城灵于 定义城 原点对称 P[归纳提升] 计算-x) 对点训练 确定x)与-x)的关系☐ 1.下列函数中，是偶函数的有 ·(填序号) 结论 ①)=：2)=1+1：③)=2：④)=x+ (2)图像法 ⑤fx)=x2,x∈[-1,2]. 关于原 fx)为 点对称 奇函数 ●题型二奇偶函数图像的应用 例2已知奇函数)的定义域[-5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示 关于 f代x)为 轴对称 偶函裁 归纳提升：巧用奇、偶 -2 02 5 函数的图像求解问题 (1)依据：奇函裁曰 (1)画出在区间[-5,0]上的图像； 图像关于原点对称， (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 偶函数曰图像关于y 轴对称. (2)求解：根据奇、偶 函裁图像的对称性， 可以解决诸如求函裁 值或画出奇、偶函数 图像的问题 P[归纳提升] 084 对点训练 1 2如图是函数f(x)=+在区间[0， +∞)上的图像，请据此在该坐标系中补 2 全函数f(x)在定义域内的图像，并说明 -1 -}… 你的作图依据。 3223 … ●题型三分段函数奇偶性的判定 例生用院义判政-o0伦音胜 思路探究：判断分段函数的奇偶性，要注意x与-x是在不同的“段”中，则 归纳提升：1.判断分 f(-x)与f(x)是不同的关系式. 段函数的奇偶性，文 须分段考虑 2.若分段函数是奇函数 或偶函数，常用含绝对 值符号的函数表达式来 表示 [归纳提升] 对点训练 r2+2(x>0), 3.判断函数f(x)= 0(x=0), 的奇偶性 -x2-2(x<0) 课堂检测 固双基 1.奇函数y=f(x)(x∈R)的图像必定经过点 )3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时， A.(af(-a)) B.(-a,f(a)） f(x)=x3,则f(2)的值是 () C.(-a,-f(a)） D(a/)) A.8 B.-8 c D.-g 2函数)=B-二的图像关于 )4.函数了(x)=+20为奇函数，则实数a x2+8 A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[22]“九)的最小值是f)=1,又因为2)=子3)=5， 1 则A=专+2+2.为（西+2）-1(5+2) 所以f(x)的最大值是f3)=5, X2-x Γ(x2-x1)(x1+2)(x2+2) 2 即f(x)在区间[2,3]上的最大值是5，最小值是1， =(x+2)(x+2) (2)g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2在[2,4]上是单 由1，x2e(-0,-2)知，x1+2<0,2+2<0, 调函数.m2≤2或m+2≥4，即m≤2或m≥6 所以(x1+2)(:2+2)>0,即A>0, 2 2 △x 故m的取值范围是(-∞，2]U[6,+0). 所以f(x)在(-∞，-2)内单调递增， B组素养提升 (2)任取x1,x2∈(1，+0)，且x1≠x2, 1.C当a>0时，函数y=ax+1在[1,2]上单调递增， X2 X1 .ymin =a+1,ymus =2a+1, 则Ay=女-a-0(-a）-(32-a) △x x2-x1 (x2-1)(x1-a)(x2-a .2a+1-a-1=2,.a=2. -a 当a<0时，函数y=ax+1在[1,2]上单调递减， =(-a)(-a ∴.ymin=2a+1,yx=a+l, 由a>0,1,e(1,+0),且A<0知(x-a)(6-a)>0 a+1-2a-1=2,a=-2. △x 综上可知a=±2. 恒成立，所以a≤1，故0<a≤1， 2.AD当a<0时，函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减，当 所以a的取值范围为(0,1]： x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为C组创新拓展 2a+1.当a>0时，函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增， [0,4]如图所示， 当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值 为2a+1.故选AD =+ -g(x) 3AD因为对任意e(0,+2),都有-人>0， x1-X2 所以代0在0，+0)上单调递增.对于A,易知=2 x 在(0，+∞)上单调递增，故A正确： y=fx) 对于B,f(x)=3x-1在R上单调递增，故B正确； 由图可知，-≤x+b≤文，可得x+c+b≥0对任意的xe 对于C,f(x)=x2-4x-3的图像开口向上，对称轴方程为x= R恒成立， 2,所以f(x)在(-∞，2)上单调递减，在[2，+∞)上单调递： 则41=2-4b≤0，即2≤4b,不等式k2+bx-1≤0对任意的 增，故C错误； x>0恒成立， 对于D)=-因为y=在(0，+0)上单调递增，y ①若k>0,当x→+∞时，(kx2+bx-1)→+∞，不符合题意； -士在(0，+如)上单调递增。 ②若k=0,则x-1≤0对任意的x>0恒成立，则6≤}，可得 b≤0， 所以)=-士在(0，+×)上单调递增，放D正确 又b≥号对任意的xeR恒成立，则b≥0，所以6=0： 4.-4因为y=√6-x在区间[2,4]上是减函数，y=-3x在区 ③若k<0,则△2=b2+4k≤0，所以b≤16k2≤64b, 间[2,4]上是减函数，所以函数f(x)=√6-x-3x在区间[2， 即b4-64b=b(b3-64)=b(b-4)(b2+4b+16)≤0，解得0≤ 4]上是减函数，所以f(x)m=f2)=√6-2-3×2=-4 b≤4. 5.1(-∞，0]当a=-1时，f(x)=x2+2x+1,其图像开口 综上所述，实数b的取值范围是[0,4]. 向上，对称轴为直线x=-1, 3.1.3函数的奇偶性 所以函数f(x)=x2+2x+1在[0,2]上单调递增，所以函数 fx)在[0,2]上的最小值为f(0)=1.若f(0)是f(x)的最小 第1课时 函数的奇偶性 值，说明f(x)图像的对称轴，即直线x=a在y轴左侧或与y 轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(-o,0]. 必备知识探新知 知识点1：任意一个x-f(x)f(x) 6()证明：当a=-2时)=平2 对应练习 设x1,x2e(-0,-2),且x1≠x2, 1.()×(2)×(3)V(1)不一定，如函数x)= —209 (2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立. 例2：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的 (3)若fx)+f代-x)=0,则f代-x)=-f(x). 图像关于原点对称.由y=f代x)在[0,5]上的图像，可知它 2.② 在[-5,0]上的图像，如图所示. 知识点2：(1)原点y轴(2)奇偶 对应练习 1.②④①③①③关于y轴对称，是偶函数，②④关于原点对 称，是奇函数 2.-20因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f代-3)= (2)由图像知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)U -f3)=-2,f0)=0. (2,5) 关键能力攻重难 1 例1：(1)B(2)B(1)F(-x)=f-x)+f代x)=F(x) 对点训练2：因为x)=+所以代x)的定义域为R又对任 又因为xe（-a,a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数. 1 1 意xeR,都有f代-)=（-)++ =f(x),所以f代x) (2)函数的定义域A=xlx≠0}， 为偶函数，所以(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示. 所以xeA时，-x∈A,且f(-x)=-3元+2x= -(-2-0, .-1--1---7--1-- 所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称 -L …… …--- (3)①因为xeR,f(-x)=1-2x-1「-1-2x+1「= 1 -(12x-11-12x+11)=-f(x),所以f(x)是奇函数 ②函数f(x)的定义域是(-0，-1)U(-1,+∞)，不关 23 ………}…………… 于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ③方法一：作出函数图像如图： -2 例3：方法一：任取x>0,则-x<0. f-x)=(-x)2-1=x2-1=-(-x2+1)=-fx). 又任取x<0,则-x>0. f-x)=-(-x)2+1=-x2+1=-(x2-1)=-fx. 综上，对xe(-∞，0)U(0,+∞)都有f(-x)=-f(x)成立， ·函数f代x)为奇函数 关于原点对称，所以函数是奇函数 方法二：当x>0时，x)=1-x2,此时-x<0, 「-x2+1,xe(0,+0) 方法二：f代x)= 所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x): 1x2-1,xe(-0,0) 当x<0时，fx)=x2-1, 即=1(-x+水≠0. 此时-x>0,f-x)=1-(-x)2=1-x2, 所以f(-x)=-f(x); 则-)=1(-）=-(-+)= 当x=0时f-0)=-f0)=0. ∴f(x)为奇函数 综上，对x∈R,总有f-x)=-f(x),所以f(x)为R上的对点训练3：函数f(x)的定义域为R,关于原点对称， 奇函数. 当x>0时，-x<0f-x)=-（-x)2-2=-x2-2=-(x2 对点训练1：②③对于①，x∈R,f(-x)=-x3=-f(x),则 +2)=-f代x), f(x)为奇函数： 当x<0时，-x>0,f-x)=(-x)2+2=x2+2=-(-x2 对于②，xeRf代-x)=1-xl+1=Ixl+1=f(x),则fx)为 2)=-fx). 偶函数； 当x=0时f(0)=0,即x=0时，f(-x)=-f(x) 综上所述，x∈R,有f-x)=-f(x),故该函数为奇函数 对杆③，定义域为xx≠0，关于原点对称-x)=(-京课堂检测固双基 =fx),则f(x)为偶函数； 1.C:y=f(x)是奇函数，f(-a)=-fa).故选C 对于④，定义域为{xlx≠0}，关于原点对称，代-x)=-x 1 =2.B由3-≥0， 得f(x)的定义域为[-5,0)U(0,3],关 ”x≠0 -f代x),则f代x)为奇函数； 于原点对称 对于⑤，定义域为[-1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性， 则(x)为非奇非偶函数 又K-0=B=B=E=B区.-. -x -x -210 fx)是奇函数， <0的不等式的解集为(0,3).又f代x)为奇函数，图像关于原点对 代)=B-的图像关于原点对称 称，所以在[-6,0)上，不等式f代x)<0的解集为[-6，-3).综上 可知，不等式f代x)<0的解集为[-6，-3)U(0,3). 3.B因为函数f孔x)是定义在R上的偶函数，所以f2)=f(-2)=7.0,0由已知得f(0)=0,故m=0. (-2)3=-8,故选B 由fx)是奇函数，知f八-x)=-f孔x), 4-子由题得)为奇函数，则/0)=0，即0+2a+3=0, 即9” a=号此时儿x)=子g为奇函数 .x2-nx+1=x2+nx+1, ∴.n=0. 练案[22] 8.-21设g(x)=x3+ar3+bx,则g(x)为奇函数.由题设可得 -3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13. A组基础巩固 又g(x)为奇函数， 1.B由图像可知，f(2)<f(6),又.f(x)为偶函数， 所以g(3)=-g(-3)=-13, ∴.f-2)=f2),∴.f-2)-f6)<0. 于是f3)=g(3)-8=-13-8=-21. 2.Bf(x)为奇函数， 9.(1)因为f(x)是奇函数，所以其图像关于原点对称，如图 f-x)=-fx),又fx)≠0， 所示 f代x)f-x)=-[fx)]2<0.故选B. 41 3.A因为f(x)为奇函数， 所以f代-x)=-f代x), 一花 即-2x+1)(-x-a）-(2x+1)(x-@' -3-2-1 01233 化简得2x2(2a-1)=0, 解得a=2 1 -x,x<-1, (2)观察图像，知f(3)<f1). 4.B由题意，函数f代x)= 1,-1≤x≤1， 10.(1)令x=y=0,则x+y=0,有f0)=f0)+f(0), 所以f(0)=0. x,x>1, 根据一次函数的图像与性质，作出函数f(x)的图像，如图 令x=2,y=1,则f2+1)=f3)=f2)+f1), 所示， 因为f3)=6,f2)=f1+1)=2f1), 所以3f1)=6f代1)=2. (2)函数f(x)是奇函数. 证明：由(1)，得f(0)=0, ∴.f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-fx), .f代x)为奇函数 B组素养提升 结合函数的图像，可得函数f代x)的图像关于y轴对称，所以函 数f代x)为偶函数. .c==1+ x2+1 5.AD对于Af(x)的定义域为[-1,1)，定义域不关于原点对 称，所以f(x)不是偶函数，所以该结论错误： 令g)=+则g)的定义域为R, 对于B,设x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x 又8(-)子8()所以)是奇函数 =-(-x2+x)=-f(x),同理x<0,也有f-x)=-f(x)成 立，所以f代x)是奇函数，所以该结论正确： 又o)=1+g(o)=子，所以ga)=-子 1 对于C,易知f(x)的定义域{-5,5}关于原点对称， 且f代-x)=f(x）=0,所以f代(x)是偶函数，所以该结论正确； 所以-a)=1+g(-）=1-(a)=号 1-x≥0， 2.AC由题意可知f代-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项 对于D,解 得-1≤x<0或0<x≤1， 1x+31-3≠0， A,f代-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以fx)g(x)是奇函 所以利=之=里 数，故A项正确；对于选项B,f代-x)1·g(-x)=1-f(x)川 x+3-3= ·g(x)=f代x)I·g(x),所以f(x)g(x)是偶函数，故B项 因为f代-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数，所以该结论错误. 错误；对于选项C,f(-x)Ig(-x)I=-f(x)Ig(x)I,所以 6.[-6,-3)U(0,3)由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x)fx)1g(x)川是奇函数，故C项正确；对于选项D,f-x)· 211