2.4 确定二次函数的表达式 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

第二章 二次函数 2026.10.14 2.4 确定二次函数的表达式 −2k+b=−12 k+b=3 ∴一次函数的解析式为_________ 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有____个待定系数，通常需要已知____个点的坐标求出它的表达式． 2 2 反比例函数 (k≠0)需要已知 ____个点的坐标求出它的表达式． 1 已知一次函数经过两点(1，3)和(-2，-12)， 求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为_______ ∴ ∵该函数图象经过点(1，3)和(−2，−12)， 解得_________ y=5x−2. 待定系数法步骤 (4)写:(写表达式) (1)设:(表达式) (2)代:(坐标代入) (3)解:方程(组) y=kx+b, k=5，b=−2 知识回顾一 二次函数的常见形式有几种？ 顶点式y=a(x-h)2+k 一般式y=ax2+bx+c 上述形式都有几个待定系数？ 一般需要几个条件？ 顶点法求二次函数的表达式 二 例1.已知二次函数的顶点（-2，1），且经过点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 解：因为这个二次函数顶点是（-2， 1）， 所以可设二次函数的表达式是 y=a(x+2)2+1, 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+2)2+1即y=-x2-4x-3. 讲授新课 思考： 1.本题应该设成什么形式？为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个？ 还需要带入几个点？ (4)写:(写表达式) (1)设:(表达式) (2)代:(坐标代入) (3)解:方程(组) 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一设 二代 三解 四写 一设 二代 三解 四写 思考： 1.本题能否设成顶点式？为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 思考： 1.本题能否设成顶点式？为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 思考： 1.本题能设成一般式求解吗？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 除了已知点外还已知几个条件？ 这些条件能写成有哪些字母的式子？ 还需要代入几个点？ 一般式法求二次函数的表达式 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）待定系数法步骤： 1.设：（表达式） 2.代：（坐标代入） 3.解：方程（组） 4.写：（写表达式） 已知二次函数 y=ax²+bx+c 中的一项系数时，再知道两个点的坐标，就可以确定二次函数的表达式。 ∴所求二次函数表达式为 探索新知 y= 2x2 -5 . ∴ 　　已知二次函数图象顶点在y轴上，且经过点(2，3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2，3）和(－1，－3)， 4a+c a+c a= , c= . 解得 { { 例1 y=ax2+c 两个已知点 2 －5 = = 3 －3 用一般式确定二次函数表达式 思考： 1.本题可以设成什么形式？为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 探索新知 　 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为 1，且 经过点(2，5)和(−2，13)，求这个二次函数的表达式． ∴这个二次函数的表达式为_______________ 解：设这个二次函数的表达式为_________________ y＝2x2－2x+1. 4a－2b+c＝13， c＝1, 4a+2b+c＝5， 解得 b＝－2， c＝1， a＝2， 方法一： 用一般式确定二次函数表达式 依题意得 例2 思考： 1.本题可以设成什么形式？为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 探索新知 ∴ 　 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为 ，且 经过点(2，5)和(−2，13)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象与y轴交点的纵坐标为1 4a+2b+1=5， 4a－2b+1=13， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－2x+1. a=2， b=－2. 解得 { { 例2 又∵该图象经过点（2，3）和(－2，13)， ∴设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋ 1 1 方法二： 用一般式确定二次函数表达式 思考： 1.本题可以设成什么形式？ 为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 例3.已知二次函数经过（-3，0），（-1，0），（0，-3）， 试求出这个二次函数的表达式. 思考： 1.本题可以设成什么形式？ 为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 例3 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此可设二次函数表达式为 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 例3.已知二次函数经过（-3，0），（-1，0），（0，-3）， 试求出这个二次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式 三 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 讲授新课 例3 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 归纳总结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y = a(x-h)2+k 用交点法：y = a(x-x1)(x-x2) (x1，x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点．求写出点A，B的坐标，并求出抛物线的解析式． 例4 思考： 1.本题可以设成什么形式？为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 变式 思考： 1.根据题意，如何确定y轴和x轴的位置？为什么？ 2.建立坐标系的方法如何去写？要体现哪些关键要素？ 思考： 1.本题可以设成什么形式？为什么？ 2.上述形式共有几个待定系数？ 已知几个？ 还有几个未知系数？ 还需要代入几个点？ 顶点式y=a(x-h)2+k 一般式y=ax2+bx+c 交点式y=a(x-x1)(x-x2) 例4 复习回顾 知识回顾二 表 达 式 顶 点 对 称 轴 y＝ax2 (a≠0) (0，0) y 轴(直线 x=0) y＝ax2+c (a≠0) (0，c) y 轴(直线 x=0) y＝a(x−h)2 (a≠0) (h，0) 直线 x=h y＝a(x−h)2+k (a≠0) (h，k) 直线 x=h 　　　　　　　　　　　　　　　则可设该抛物线的解析式为_____________, 如果点(0，12)在该抛物线上，那么该抛物线的表达式是____________. y＝2(x−3)2−6 练习二 y＝a(x−3)2−6 4.抛物线的顶点是(3，−6)， 当x＝3时，二次函数的最大值是−6， 抛物线的对称轴是直线x=3，抛物线与对称轴交点纵坐标是−6， 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 顶点坐标 向上 向下 y 左 右 正 负 72页 做好 笔记 1.已知抛物线的顶点坐标为(2，−1)，与y轴交于点(0，−3)，求这条抛物线的表达式. 解：设抛物线的表达式为__________________ ∵抛物线与y轴交于点(0，3) y＝a(x−2)2−1， ∴__________________ (0−2)2•a−1＝−3， 解得，___________ ∴这条抛物线的表达式为：____________________. 巩固训练 2：如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出y与x之间的关系式吗？ 解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3）， 因此设它的关系式为 又∵图象过点（10，0） ∴ 解得： ∴图象的表达式为 巩固训练 3.已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ 巩固训练 4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象过点（0,0）、（12,0），最低点的纵坐标为-3,求该抛物线的解析式 巩固训练 5．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是( -1 ，3)，则该抛物线的表达式为(　　) A．y＝－2(x－1)2＋3 　B．y＝－2(x＋1)2＋3 C．y＝2(x＋1)2＋3　 D．y＝－(2x－1)2＋3 B 巩固训练 6.如图，二次函数 y=x2+bx+c的图象经过A、B两点，求该抛物线的表达式.  解：根据图象可得c=3,Ｂ点坐为（－3，0） 解得：b=4 9－3b+3=0， ∴该抛物线的表达式为 . y=x2+4x+3 当堂检测 8．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状相同、开口方向相反，顶点坐标是(3,－4)，求该抛物线的表达式. 7．已知抛物线y＝－2x2＋mx+1经过(2，5)， 求这个二次函数的表达式 当堂检测 巩固练习 9. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)两点，求这个二次函数的表达式； 巩固练习 10.已知二次函数图象过点（1,0）,（3,0），与y轴于（0,3），求这个二次函数的表达式。 巩固练习 11.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知,求y与x之间的函数表达式 x -1 0 1 ax2 1 ax2+bx+c 8 3 y=x2-4x+3, 巩固练习 12. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M(0，－1)，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)判断△MAB的形状，并说明理由． $