3.5 确定二次函数的表达式（第1课时）课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第3章　二次函数 3.5 确定二次函数的表达式（第1课时） 顶点或对称轴条件确定表达式 数学新教材鲁教版　九年级上册 情境引入 用已知点还原曲线 观察与理解 已知表达式可以画出图象；现在反过来，题目给出图象的某些信息，要确定唯一的函数表达式。每个信息都能化成代数条件。 推理与运用 本课把未知的系数先写进表达式，再利用点坐标或对称轴建立方程，最后检查所有条件是否同时满足。 情境引入 探究 二次函数经过点。写出三个系数满足的一个方程。 答：。 点在图象上，横坐标代入后应得到纵坐标。 一个方程通常不能唯一确定三个未知系数。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 情境引入 待定系数的基本思路 观察与理解 先根据条件选择包含未知系数的表达式，把图象信息翻译成方程，然后求系数并写回完整函数关系。 推理与运用 表达式形式选择得合适，可以减少未知数。完成后将原来的点坐标逐一代入，这是检查计算和模型的直接方法。 新知讲授 知道顶点先选顶点式 观察与理解 若顶点为，可设。此时已经固定，只需要求一个非零系数。 推理与运用 再给一个不在对称轴上的点，就能代入求。若给出的只是顶点本身，不会增加新的系数限制。 新知讲授 知道对称轴仍可用顶点式 观察与理解 若只知对称轴，可设，其中都未知。再给两个有效点，通常可以建立两个方程。 推理与运用 两点如果关于对称轴对称且纵坐标相等，它们可能提供相同条件，不能误以为任何两个点都能唯一确定。 新知讲授 纵轴交点直接给常数项 观察与理解 在一般式中，令，得到。图象与纵轴交点的纵坐标就是常数项。 推理与运用 这项信息能直接减少一个未知数。还应把对称轴条件写成，而不是把直接等同于轴的位置。 新知讲授 表达式形式可以转换 观察与理解 顶点式便于读取位置和最值；一般式便于利用任意点列方程。两种形式表示同一函数，可以通过展开或配方相互转换。 推理与运用 解题时可以使用方便的形式，最后按题目要求写出表达式。检验时选择较容易计算的那一种形式。 新知讲授 代入时保留负号 观察与理解 点表示横坐标为、纵坐标为。代入平方时用，代入一次项时仍保留负号。 推理与运用 不要把点坐标顺序交换。若使用顶点式，先算再平方，顶点横坐标为负数时尤其需要括号。 新知讲授 足够的条件与重复条件 观察与理解 不同写法的信息未必相互独立。例如“顶点在原点”和“经过原点”存在重合，不能当作两个独立点条件来使用。 推理与运用 建立方程后应确认未知系数能够确定。如果出现，说明这些数据不对应题目要求的二次函数。 例题讲解 探究 某屋顶横截面为一段抛物线，拱宽6 m，拱高0.9 m。以最高点为原点、水平向右为x轴正向，求函数表达式。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -0.5 0.5 x y O 答：，。 顶点在原点，设。 端点代入，。 选合适的函数形式，把已知坐标逐一代入。 例题讲解 例 1 已知一个二次函数图象的对称轴为，与轴交点的纵坐标为2，且经过点，求这个二次函数的表达式。 答：。 设；得。 代入，，得。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 例题讲解 例 1 已知一个二次函数图象的对称轴为，与轴交点的纵坐标为2，且经过点，求这个二次函数的表达式。 答：。 设，代入两点得，。 两式相减得，从而；展开与另一方法一致。 选合适的函数形式，把已知坐标逐一代入。 例题讲解 例 2 已知二次函数图象的顶点坐标是，并且该图象经过点，求这个二次函数的表达式。 -4 -2 2 -6 -4 -2 2 4 x y O P 答：。 设，代入得。 解得，展开并验证。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 课堂练习 随堂练习 根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式。 （1） 顶点在坐标原点，图象经过点。 （2） 顶点为，图象经过点。 （1） 答：。 设，得。 （2） 答：。 设，得。 已知顶点时先用顶点式，再代入另一个点确定系数。 课堂练习 变式 二次函数顶点在原点，经过，求表达式。 答：。 得。 代回原点和都成立。 顶点在原点可设，用已知点确定唯一的系数。 课堂练习 变式 顶点，经过，求表达式。 答：。 设，。 二次项系数非零，满足二次函数条件。 顶点纵坐标为0，先设再代入已知点。 课堂练习 变式 顶点，经过，求表达式。 答：。 ，得。 展开为。 横坐标−2对应括号，注意顶点式的符号。 课堂练习 变式 顶点，经过，求表达式。 答：。 得。 负系数与顶点是最高点一致。 已知点低于顶点，求出的系数应为负数，可作检验。 课堂练习 变式 对称轴，经过，求表达式。 答：。 ，。 相减得。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 对称轴，只知经过，能唯一确定二次函数吗？ 答：不能。 两点都只给出，条件重复。 与均满足。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 对称轴，经过，求表达式。 答：。 ，。 。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 顶点，经过，求表达式并判断是否在图象上。 答：；该点在图象上。 得。 时。 先求表达式，再代入待检验点的横坐标。 课堂练习 变式 顶点，经过，求时的函数值。 答：表达式；函数值20。 得。 。 先用顶点和另一点定式，再代入目标横坐标求值。 课堂练习 变式 顶点为且经过，这样的二次函数存在吗？ 答：不存在。 同一个输入0不能同时对应1和3。 顶点已规定在处函数值为1。 在同一个横坐标0处，函数不能同时给出两个值。 课堂练习 变式 二次函数顶点且经过，这样的二次函数存在吗？ 答：不存在。 推出。 这与二次函数二次项系数非零矛盾。 选合适的函数形式，把已知坐标逐一代入。 课堂练习 变式 写出顶点为、经过的抛物线，并比较它与的开口。 答：，开口向上且较小。 得。 相同尺度下，系数绝对值2大于1。 先求系数，再用系数的符号与绝对值分别比较方向和宽窄。 课堂练习 变式 某函数顶点，经过。小明写，请纠正。 答：。 顶点横坐标为−2，平方中应为。 代入检验系数2正确。 选合适的函数形式，把已知坐标逐一代入。 课堂练习 变式 顶点在原点且经过的抛物线，向右移2、向下移1，求新表达式。 答：。 先得原式。 平移只改变顶点位置，系数3保持不变。 跟踪顶点的新坐标，比只背符号更容易判断方向。 课堂练习 变式 抛物线拱顶设在原点，两拱脚为，求拱段表达式与范围。 答：，。 得。 只取两拱脚之间的曲线段。 表达式有意义与实际条件要同时满足，最后检查端点。 课堂总结 顶点或对称轴条件确定表达式 选择 顶点条件选顶点式，任意三点选一般式。 列式 每个有效点转化为一个方程。 求解 消元求系数，检查二次项非零。 检验 代回全部条件，保留实际范围。 针对训练 原创训练 已知顶点为，最方便的设式是：A.；B.；C.；D.。 答：A 顶点横坐标决定平方中的，纵坐标决定外部−3。 B、C、D分别改错了顶点横坐标或纵坐标。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 以下哪一项能唯一确定？A.经过原点；B.对称轴是y轴；C.经过；D.开口向上。 答：C A、B对全部此类函数都成立，D只确定a的正号。 能唯一求出。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 顶点在原点，经过，表达式为____。 答：。 代入得。 非零，满足二次函数定义。 选合适的函数形式，把已知坐标逐一代入。 针对训练 原创训练 判断并说明理由。 （1） 知道顶点即可唯一确定二次函数。 错误 还缺少开口大小的系数。 （2） 纵轴交点纵坐标等于一般式常数项。 正确 令即可。 （3） 求得系数后应代回原条件检查。 正确 核查每个条件是否都满足。 逐条区分顶点条件、点的代入条件与两交点条件。 针对训练 原创训练 顶点，经过，求表达式。 答：。 代入，得。 展开得，可再次检查顶点。 把顶点代入顶点式的两个位置，再用另一点求比例系数。 针对训练 原创训练 对称轴，经过，求表达式。 答：。 ，。 解得、。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 顶点，经过，求时的函数值。 答：；函数值3。 ，得到。 把3代入所求表达式得−2+5=3。 选合适的函数形式，把已知坐标逐一代入。 针对训练 原创训练 模型是否经过？ 答：前两点经过，第三点不经过。 代入0、1、2，输出依次为1、2、7。 第三点的纵坐标是8，与模型值7不符。 分别代入三个横坐标，逐一核对对应的纵坐标。 针对训练 原创训练 桥拱跨度8 m，拱高4 m，以水面中点为原点，求表达式及离中心2 m处的高度。 -4 -2 2 4 -1 1 2 3 4 5 x y O 答：，；高度3 m。 顶点，拱脚给出。 代入，。 把跨度的一半作为拱脚横坐标，再由顶点高度确定顶点式。 针对训练 原创训练 某示例代价曲线的最低点为，且经过。求代价表达式，并求调节量为5时的代价。 答：；代价28。 ，得。 与关于3对称，函数值相同。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 方法归纳 待定系数的两条路径 利用特殊位置 ① 顶点已知，设顶点式减少未知数。 ② 纵轴点直接确定一般式常数项。 利用一般数据 ① 三点分别代入，选择方便的顺序消元。 ② 检查系数非零与每个点是否符合。 ③ 预测只作为给定模型下的估计。 $