2.5 二次函数的应用（第2课时最大利润问题）（教学课件）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

2.5 二次函数的应用 第2课时 最大利润问题 第二章 二次函数 导入新课 每逢换季，衣服促销活动迎面而来，如果你是商场经理，该如何制定促销方案呢？ 制定促销方案时，需要考虑销售问题中的哪些因素？ 标价、折扣、售价、进价、 单利润、销售量、总利润 这些因素之间有哪些等量关系？ 新知探究 今天，我们利用二次函数来解决销售中的最大利润问题。 标价折扣=售价 单售价-单进价=单利润 单利润销售量=总利润 学 习 目 标 1 2 3 经历探索销售中最大利润问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。（重点） 掌握利用“总利润=单利润×销售量”建立二次函数关系式，并能求出实际问题的最大值（重点） 能结合自变量的取值范围，确定实际问题的最大利润 （难点） 新知探究 服装厂生产某品牌的短袖上衣，成本是每件20元。根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5000 件，并且表示批发单价每降0.5元，愿意多购进500件。为了获得最大利润，该服装厂应将批发单价定为多少？ 尝试 · 思考 单利润 销售量 总利润 变化前 变化后 总利润=单利润销售量 单价每降0.5元，愿意多购进500件 设批发单价定为x元,总利润为w元 26-20=6 5000 60 x-20 5000+ w w=(x-20)(5000+) 用函数来刻画 销售量 设变量 单成本 单售价 新知探究 解:设批发单价定为x元，获利为w元,则总销售量为(5000+件.可得: w = (x - 20)(5000+)展开得 w= -1000x2 +51000x -620000 这是一个二次函数，其中a= -1000<0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。 当时 所以厂家将批发单价定为25.5元时可以获利最大。 例2 某旅馆有客房120间，当每间客房的日租金为160元时，每天都客满。经市场调查发现，每间客房的日租金每增加10元，每天客房出租数会减少6间。如果不考虑其他因素，那么该旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 典例分析 日租金(元) 出租数(间) 总收入(元) 正常销售 涨价销售 160 120 160 + 10x 120 - 6x y=(160+10x)(120-6x) 19200 设每间客房的日租金提高 10x 元，客房日租金总收入为 y 元。 日租金每增加10元，每天客房出租数会减少6间 总利润=单利润销售量 典例分析 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，客房日租金总收入为 y 元，则每天客房出租数会减少 6x 间. 则 ∵ x≥0，且120－6x＞0，∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时， y最大=19440. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元) 因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高, 最高收入为 19440 元. y = (160 + 10x)(120 - 6x) = -60(x - 2)2 + 19440 怎样确定x的取值范围？ 新知探究 利用二次函数求最大利润问题的一般步骤 总结归纳 1.设变量：设涨价（或降价）为 x 元 2.表数量：用含 x 的代数式表示单件利润和销售量； 3.建函数：根据“总利润=单件利润×销售量”列出二次函数关系式； 4.定范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； 5.求最值：配方或利用公式求最值，注意检验最值是否在取值范围内; 6.作答：写出实际问题的答案. 不要盲目认为顶点的纵坐标就是最值！ 新知探究 尝试 · 思考 还记得本章前面研究过的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x（单位：棵）与橙子总产量y（单位：个）的二次函数表达式: y =(600 -5x)(100 +x)= -5x2+100x+60000。 （1）在图2-25中画出这个函数的图象，并描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. （2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 学生独立完成 时间：4分钟 新知探究 尝试 · 思考 （1）在图2-25中画出这个函数的图象。 x 0 5 6 10 14 15 20 y 60000 60375 60420 60500 60420 60375 60000 列表 描点 连线 y=-5x²+100x+60000 请描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. ①当0≤x<10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加 ③当10<x≤20时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少 ②当x=10时，橙子的总产量最大 新知探究 尝试 · 思考 （2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、 11棵、12棵、13棵或14棵橙子树时，可以使橙子的总产量在60400个以上。 注意：自变量x的取值范围，为正整数！ y=-5x²+100x+60000 基础巩固题 新知应用 1. 某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22， 那么一周可获得最大利润是(　A　) A. 1558元 B. 1550元 C. 1508元 D. 20元 A 当x=20时，y有最大值1558 注意x 的取值范围 基础巩固题 新知应用 2.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为______元，每日的销售量为_______件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y=___________ (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价___元时，每日获得的最大利润为____元． (30-x) (20+x) -x2+10x+600 5 625 总利润=单利润销售量 基础巩固题 新知应用 3.某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(　　) A．y＝(200－5x)(40－20＋x) B．y＝(200＋5x)(40－20－x) C．y＝200(40－20－x) D．y＝200－5x A 总利润=单利润销售量 4.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　) A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 B 基础巩固题 新知应用 总利润=单利润销售量 y＝(x－20)(30-x) y＝-x2+50x-600 基础巩固题 新知应用 5. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式 y＝－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w(元)，则w与x之间化简后的函数关系式为 ⁠ ， w的最大值为 ⁠. w＝－5x2＋800x－27500 4500　 总利润=单利润销售量 w＝(x－50)(-5x+550) w＝－5x2＋800x－27500 基础巩固题 新知应用 6.某商店购进一批单价为20 元的日用商品，如果以单价30 元销售，那么半个月内可售出400 件。根据销售经验，该商店将这种日用商品的销售单价每提高1 元，销售量相应减少20 件。销售单价定为多少元时，半个月内获得的利润最大？最大利润是多少？ 解:设销售单价定为x元，获利为w元,则总销售量为[400]件.可得: w = (x - 20)[400]展开得w= -20x2 +1400x -20000 这是一个二次函数，其中a= -20<0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。 当时,w 最大为 所以销售单价定为35元时，半个月内获得的利润最大,最大利润是4500元。 能力提升题 新知应用 7.一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. 总利润=单利润销售量 能力提升题 新知应用 解：(1) 由题意可得， (2) 由题意可得， w = y(x − 8) = (−4x + 108)(x − 8) = −4x2 + 140x − 864= ∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361. 答：当 时，利润最大. 能力提升题 新知应用 8.嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看成一次函数 y＝－10x＋400，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的50%. (1)设嘉嘉每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 总利润=单利润销售量 解：(1)根据题意，得w＝(x－30)(－10x＋400) ＝－10x2＋400x＋300x－12 000 ＝－10x2＋700x－12 000. ∵销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于成本价的50%， 即30×(1＋50%)＝45(元)，∴30≤x≤45. 能力提升题 新知应用 (2)在w＝－10x2＋700x－12 000中， a＝－10，b＝700，c＝－12 000， ∴ ∵30≤x≤45，－10<0，∴当x＝35时，w取最大值， 即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本. 确定自变量的取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 感谢聆听! $