精品解析：河南商丘市第二高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考（9月）数学试卷

2026~2027学年商丘市第二高级中学高一（上）第一次月考 数学试卷（9月份） 本试题满分：150分；考试时间：120分钟；　命题人：高健　审题人：李永霞 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题：，，命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题的否定为，. 2. 已知，则 =（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用交集运算即可. 【详解】因为，所以. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 4. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 5. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 【答案】D 【解析】 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以. 7. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，， 所以，，，． 10. 下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A. ， B. 所有的正方形都是矩形 C. ， D. 至少有一个实数，使 【答案】AC 【解析】 【分析】利用命题的否定知识，对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，其命题的否定为，， 因为显然成立，故A正确； 对于选项B，命题的否定为存在一个正方形，它不是矩形. 该命题含有存在性量词，不符合题意，所以不正确. 对于选项C，命题的否定为，， 因为，故该命题正确； 对于选项D，命题的否定为，，显然当时，， 故该命题是假命题，所以D不正确. 11. 下列各结论中正确的是（　　）． A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为 C. “”是“”的必要不充分条件 D. ，是假命题，则实数的取值范围是或 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式性质，结合充分条件、必要条件的判断，基本不等式，数集之间的关系，以及全称量词命题的真假求参数的取值范围逐项分析即可. 【详解】对于A,,故“”是“”的充要条件，故A正确， 对于B, ,当且仅当时取等号， 但无实数根，故等号取不到，因此2不是的最小值，故B错误， 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，故C错误， 对于D, 由于是假命题，故，则或，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和． 【详解】因为，故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍）或，故，故， 所以中所有元素之和为3， 故答案为：3. 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，分类讨论集合中元素可得解. 【详解】由已知，且， 由， （1）当，即时，由解得，不满足； （2）当时，①由，即时，则，满足； ②当，则，此时，不满足； ③当时，由知，则，解得， 综上，的取值范围是. 14. 对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次不等式恒成立问题可得结果. 【详解】①当时，原不等式可化为，显然恒成立 ②当时，一元二次不等式恒成立， 所以且， 即，解得. 综上可知，. 故实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由交集的定义即可得解； （2）由补集的定义即可得解； （3）由补集与并集的定义即可得解. 【小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 ，. 又因为，所以. 16. 集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合B，即可得，然后由集合子集个数相关结论可得答案； （2）由题可得，然后分，为单元素集，为双元素集三种情况讨论可得答案. 【小问1详解】 当时， ，， 其子集个数为个； 【小问2详解】 由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 17. 设，是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得到两根之和与两根之积代入已知条件中求解即可. （2）由方程有两个不相等的正数根可得两根之和、两根之积及根的判别式均大于零，联立即可求出范围. 【小问1详解】 因为，是关于的方程的两个实数根， 所以，，解得 由韦达定理知，，. 所以，即， 解得或，均满足. 所以或. 【小问2详解】 由题意知，，即，解得， 所以或. 故实数的取值范围为或. 18. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【解析】 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 19. 某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）50 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； 【小问2详解】 假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年商丘市第二高级中学高一（上）第一次月考 数学试卷（9月份） 本试题满分：150分；考试时间：120分钟；　命题人：高健　审题人：李永霞 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题：，，命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则 =（　　）． A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A. ， B. 所有的正方形都是矩形 C. ， D. 至少有一个实数，使 11. 下列各结论中正确的是（　　）． A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为 C. “”是“”的必要不充分条件 D. ，是假命题，则实数的取值范围是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 14. 对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 16. 集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 设，是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 18. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 19. 某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $