精品解析：辽宁抚顺市部分学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

2026－2027（上）九年级阶段学习达标检测数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程二次项系数不为0，同时方程需先化简再判断次数． 【详解】解：A选项：未明确，不符合题意； B选项：展开得，化简后为，是一元一次方程，不符合题意； C选项：符合一元二次方程要求，符合题意； D选项：含有、两个未知数，不符合题意． 2. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入，得，即， 解得． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线为顶点式， ∴顶点坐标为． 4. 若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时考虑一元二次方程的定义和根的判别式两个限制条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 5. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据左加右减，上加下减的规律求解即可． 【详解】解：平移后抛物线的函数表达式为． 6. 抚顺市组织八年级篮球邀请赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，问一共邀请几支参赛球队？设邀请支参赛球队，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设支球队进行单循环比赛，根据每队与其余队各赛1场，每场比赛重复计算1次，总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设支球队进行单循环比赛，每队与其余队各赛1场，每场比赛重复计算1次，总场数为，则 列方程得：． 7. 某钢铁厂一月份生产钢铁60吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁260吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】第一季度总产量为一月、二月、三月产量之和，需结合月平均增长率表示各月产量列等式． 【详解】解：设月平均增长率为x， ∵一月份产量为60吨，月平均增长率为x， ∴二月份产量为吨，三月份产量为吨， ∵第一季度共生产钢铁260吨， ∴． 8. 已知线段的长为2，点在线段上，若满足，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的比例关系，结合线段和差列一元二次方程求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴ 解得，， ∵线段长度为正数， ∴，即线段的长是． 9. 若是三个不为零的实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件替换，将所求式转化为关于的二次式，用配方法求最小值． 【详解】解：∵，且都不为0， ∴，即， 将代入，得， 设，且，则原式化为， 配方得， ∵， ∴， 当时等号成立，即最小值为． 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作轴的垂线，构造全等三角形，利用线段和差关系建立的等式． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点在抛物线上，横坐标分别为， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是__________． 【答案】，， 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 【详解】解：一元二次方程为的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12. 抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握一般式化顶点式的过程是解题关键． 通过配方法将一般式转化为顶点式来求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 13. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据开口向上的二次函数的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：由二次函数解析式可得，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由开口向上的二次函数，点离对称轴越远，对应的函数值越大， ∵， ∴． 14. 某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 【答案】 【解析】 【分析】设涨价元，表示出每件商品的利润和每星期的销售量，根据总利润列出方程求解，结合顾客得实惠的要求选取符合条件的解，得到销售单价． 【详解】解：设涨价元，则销售单价为元，每星期销售量为件， 每件商品的利润为元， 总利润等于每件利润乘以销售量， 列方程得，整理方程得， 因式分解得， 解得，， 要让顾客得实惠，需选择更低的销售单价，应取较小的， 取，此时销售单价为元． 15. 如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 【答案】（1）（3） 【解析】 【分析】（1）通过函数图象，利用特殊值法求解； （2）利用对称轴得出系数之间的关系； （3）利用系数之间的关系以及顶点坐标确定，然后利用抛物线与轴的交点坐标列出不等式求解； （4）利用抛物线的顶点坐标求解； （5）利用函数的增减性进行判断． 【详解】解：（1）当时，函数值为负数， ∴， 该选项正确； （2）由抛物线的对称轴为直线得， ， ∴， ∴， 该选项错误； （3）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，抛物线与轴交于和之间， ∴， 解得， 该选项正确； （4）∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，为， ∴对任意实数总成立， 该选项错误； （5）若点在抛物线上，无法确定的大小， 综上，正确的选项为（1）（3）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用指定方法解方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）采用配方法解方程，先移项，将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，然后开方求出方程的根． （2）采用公式法解方程，先确定一元二次方程中，，的值，计算判别式，判断根的情况，再代入求根公式计算得到方程的根． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 17. 用适当方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）方程左右两边都是平方的形式，利用平方差公式移项因式分解，令每个因式等于0，求出方程的根． （2）先移项整理，逆用平方差公式对左侧因式分解，再提取公因式，令每个因式等于0，求出方程的根． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ，． 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当时，的取值范围为_____； （3）若将该二次函数图象向左平移个单位长度后，恰好过点，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式； （2）求出当，时的函数值，结合图象得到因变量的取值范围． （3）设二次函数向左平移个单位长度后，根据二次函数的平移方法写成新的解析式，代入点坐标即可求解． 【小问1详解】 解：根据函数图象知顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则二次函数的解析式为：， 【小问2详解】 解：当时，； 当时，， ∴当时，， 则当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：设二次函数向左平移个单位长度，则新的解析式为：， ∵恰好过点， 则， 解得：或． 19. 如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度运动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度运动，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）在运动过程中，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当为时，的长度等于 （2）存在，当时，的面积等于 【解析】 【分析】（1）根据题意得：，，且，，利用勾股定理得出，求出的值即可． （2）根据代入，得出关于t的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：，，且， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， 即， 解得：（舍去），， 即当为时，的长度等于． 【小问2详解】 解：存在，当时，的面积等于． ∵ ∴ 整理得：， 解得，或（不合题意，舍去） 故存在，当时，的面积等于．l 20. 如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． （1）求水管的长度； （2）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可设抛物线的顶点式，再根据水柱落地处离池中心，求出抛物线的表达式，再令，即可求解； （2）设水管要升高米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为：， ∵水柱落地处离池中心， ∴当时，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴． 【小问2详解】 解：设水管要升高米，则扩建后抛物线的表达式为， 当时，， ∴，解得， ∴水管要升高． 21. 对于一元二次方程，如果方程的两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540－1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：一元二次方程的两个实数根分别为， _____，_____，∴_____； （2）类比应用：一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根_____； （3）思维拓展：关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 【答案】（1）3，， （2）， （3）2 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系可得，，再把分解因式，再代入求值即可； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系可得，，即可求解； （3）由方程有两个实数根，可得，可得的取值范围，设方程两个实数根为，，利用根与系数的关系可得，，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的一个根为，设方程的另一个根为， ∴，， ∴，， ∴，方程的另一个根为． 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， 设关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴． 22. 王师傅用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的菜园，设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙，另外三边由篱笆围成，当菜园面积为时，求的长： （2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜园面积是时，求的长． 【答案】（1）当菜园面积为时，长． （2）当菜园面积是时，求的长为． 【解析】 【分析】（1）设平行于墙的一边的长为．表示出，根据矩形的面积以及已知条件得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出答案． （2）设，则矩形边，表示出，根据矩形的面积以及已知条件得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设平行于墙的一边的长为． 则， 根据题意可知：，即， 整理得：， 解得，或（不合题意，舍去） 答：当菜园面积为时，长． 【小问2详解】 解：设，则矩形边， 则，， 根据题意可知：， 整理得：， 解得，（舍去） 答：当菜园面积是时，的长为． 23. 综合与探究 已知，二次函数的与的几组对应值如表： … 0 1 … … 0 … （1）选取部分数据求二次函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，点是抛物线与抛物线的一个交点，抛物线的顶点为点． ①过点作垂直于轴的直线，直线与、分别交于点、，当时，求的值； ②过点作垂直于轴的直线，直线与、分别交于点、，若点在点的上方，连接线段、、、，求四边形面积最大值，并确定此时四边形的形状，并说明理由； ③过点作垂直于轴的直线，直线与分别交于点、两点（点在点的左侧），与分别交于点、（点在点的左侧），探究是否是定值，若是请求出值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①的值为1或2； ②∵抛物线的顶点为点， ∴， ∵点在点的上方， ∴， 如图，设与交于点， 由①得：，， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积最大，为， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴点是、的中点， ∴四边形是平行四边形． ③是定值，为6 【解析】 【分析】（1）任选两组数据代入表达式中即可求解； （2）①先根据平移规律求出抛物线的表达式，根据点在抛物线上求出点的坐标，即可求出抛物线的表达式，再将点、的坐标表示出来，由，列方程即可求出的值；②将点、的坐标表示出来，根据题意画出图形，可得，得出关于的表达式，根据二次函数的性质即可求出四边形面积最大值，设与交于点，易得点是、的中点，则四边形是平行四边形；③将点、、、表示出来，再将表示出来即可求解． 【小问1详解】 解：由表格得：当时，，当时，， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：①， 根据平移得：， 当时，， ∴， 将点代入，得 ，解得， ∴， ∴，， 画图得： 由图可得：当时，， ∴点在点上方， ∴，解得或2． ②略； ③如图， 在中， 当时，，， ∴，， 在中， 当时，，， ∴，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027（上）九年级阶段学习达标检测数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或3 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 抚顺市组织八年级篮球邀请赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，问一共邀请几支参赛球队？设邀请支参赛球队，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某钢铁厂一月份生产钢铁60吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁260吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知线段的长为2，点在线段上，若满足，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 9. 若是三个不为零的实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是__________． 12. 抛物线的顶点坐标是___________． 13. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 14. 某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 15. 如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用指定方法解方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） 17. 用适当方法解方程： （1） （2） 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当时，的取值范围为_____； （3）若将该二次函数图象向左平移个单位长度后，恰好过点，求的值． 19. 如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度运动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度运动，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）在运动过程中，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 20. 如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． （1）求水管的长度； （2）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 21. 对于一元二次方程，如果方程的两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540－1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：一元二次方程的两个实数根分别为， _____，_____，∴_____； （2）类比应用：一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根_____； （3）思维拓展：关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 22. 王师傅用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的菜园，设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙，另外三边由篱笆围成，当菜园面积为时，求的长： （2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜园面积是时，求的长． 23. 综合与探究 已知，二次函数的与的几组对应值如表： … 0 1 … … 0 … （1）选取部分数据求二次函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，点是抛物线与抛物线的一个交点，抛物线的顶点为点． ①过点作垂直于轴的直线，直线与、分别交于点、，当时，求的值； ②过点作垂直于轴的直线，直线与、分别交于点、，若点在点的上方，连接线段、、、，求四边形面积最大值，并确定此时四边形的形状，并说明理由； ③过点作垂直于轴的直线，直线与分别交于点、两点（点在点的左侧），与分别交于点、（点在点的左侧），探究是否是定值，若是请求出值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $