贵州省凯里市高一年级数学上学期课后作业（人教A版必修第一册2.2基本不等式）

2.2 基本不等式作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 2.2 基本不等式限时作业 学段学科 高中数学 适用年级 高一年级 教材版本 人教A版 对应内容 必修第一册第二章 2.2 基本不等式 作业类型 课后作业 完成时长 总时长40分钟 设计者 【罗康峰】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理与数学运算，需达成《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程学业质量水平一的要求：结合具体情境理解基本不等式的内容及其几何意义，能运用基本不等式解决简单的最值问题，并能说明等号成立的条件. · 教材地位：基本不等式是人教A版必修第一册第二章“一元二次函数、方程和不等式”的核心内容.它既是初中“”等知识的延伸，又是后续研究函数最值、证明不等式、解决优化问题的重要工具，承载着数形结合、从特殊到一般的数学思想方法，是高考中的常考内容. · 教学重难点：重点是基本不等式的内容、几何解释及“一正、二定、三相等”的使用条件；难点是通过配凑、拆项、“1”的代换等变形技巧构造定值结构，并在实际问题中抽象出数量关系、建立模型使用基本不等式求最值. 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习了等式的性质、一元二次函数、方程和不等式，具备一定的代数变形能力和从图形中获取数量信息的能力，在初中接触过“”的结论，对“平均数”有直观认识. 现有困惑 容易忽视基本不等式“一正、二定、三相等”的使用前提，对等号取不到的情形判断不准；缺乏主动拆项、配凑构造定值结构的意识；在多元最值问题中，消元与转化的能力较弱，运算的严谨性有待加强. 差异分析 班级约三分之一的学生基础扎实、思维活跃，能独立完成中档题并尝试一题多解；约半数学生能顺利完成基础题，但在变形技巧上需要教师引导；少数学生对符号判断和运算准确性存在困难，需通过分层布置与个别辅导予以关注. 3. 设计意图 设计意图：本作业以“夯实基础、突出方法、渗透文化、联系实际”为设计思路.基础题（1—4题）帮助学生巩固基本不等式的直接应用，突出“一正、二定、三相等”的完整思维过程；中档题（5—10题）聚焦拆项配凑、“1”的代换等变形技巧，提升运算求解与逻辑推理能力；综合题（11—12题）融入刘徽《九章算术注》的数学文化和宣传画设计的实际情境，引导学生经历“实际问题—数学模型—求解—回归实际”的全过程，发展数学建模素养，感受数学的应用价值与文化魅力. 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确复述基本不等式的内容，能结合“弦图”等图形解释其几何意义，并能辨别“一正、二定、三相等”的使用条件. 数学抽象 正确率、概念复述 能力运用 B 能运用拆项、配凑、“1”的代换等变形策略构造定值结构，使用基本不等式解决求最值问题. 数学运算 过程记录、方法选用 思维发展 C 能在实际情境与数学文化背景中抽象出数量关系，通过比较、推理选择恰当的方法解决问题，并说明等号成立的条件. 逻辑推理、数学建模 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 体会基本不等式中蕴含的数学文化（如刘徽《九章算术注》）与应用价值，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣与信心. 直观想象、数学抽象 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 单选题 利用基本不等式求函数最值（提取负号化为正数后使用） B 让学生体会使用基本不等式的前提“一正、二定、三相等” A 2 单选题 “积为定值”结构通过拆项配凑求最小值 B 培养观察式子结构、主动进行代数变形的意识 A 3 单选题 基本不等式常见结论及取等条件的辨析 A 辨析各结论成立的条件，关注等号能否取到 C 4 单选题 实际情境中算术平均数与调和平均数的比较 B、C 数学建模，考查作差比较与阅读理解能力 C 5 单选题 “1”的代换求倒数和的最小值 B 考查和定求倒数和的技巧与配凑意识 D 6 单选题 因式分解构造定值求最小值 B、C 考查灵活转化条件、配凑构造定值的能力 B 7 多选题 刘徽“朱黄图”中基本不等式的几何解释 C 数学文化情境，从几何直观抽象出代数关系 ABD 8 多选题 和为定值条件下多元最值的求解策略 C 考查根据目标式结构选择解法、消元转化的能力 ACD 9 填空题 展开后识别“积为定值”结构求最小值 B 先展开再识别结构，关注基本不等式的使用前提 9 10 填空题 配凑线性组合与“1”的代换求最小值 B、C 考查观察条件与目标式结构关系的综合能力 详见解析 11 解答题 宣传画纸张面积最小值的实际问题 B、C 经历“实际问题—函数模型—基本不等式求解”的过程 答案详见解析 12 解答题 基本不等式综合应用（含恒成立与换元） C 层层递进，考查等价转化、恒成立与换元思想 答案详见解析 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情与答案解析 2.2 基本不等式作业 1．当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 1.【答案】A 【解析】，， ，当且仅当时等号成立， 故选：A 【设计意图】本题以“当时求函数的最值”为载体，考查学生能否先将式子提取负号化为，使两个加数均为正，再运用基本不等式求解.意在让学生体会使用基本不等式的前提是“一正、二定、三相等”，突破“看到两项之积为定值就直接套用公式”的思维定势，发展逻辑推理与数学运算素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用，考查了变形能力与计算能力． 2．已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 2.【答案】A 【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解. 【解析】，则，当且仅当，即时等号成立.故选：A 【设计意图】本题在基本不等式的基本形式上作了变化，所求式是标准的“两项之积为定值”结构，需通过拆项，把配凑为，构造出与积为定值的形式，考查学生观察式子结构、主动进行代数变形的意识与能力.解答中还要由求出并回代确认，帮助学生理解“等号成立”既是求最值的必要条件，也是检验结果合理性的手段.本题与第1题形成“负化正—拆项配凑”的连续训练，落实数学运算素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用（拆项配凑法），考查了代数变形能力、运算求解能力与思维的严谨性． 3.若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 3．【答案】C 【解析】利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意等号成立的条件． ．取时，不成立； ．，，当且仅当时取等号，可知正确． ．取时不成立． 故选：． 【设计意图】本题以选择题的形式考查基本不等式及相关结论成立的条件.四个选项分别对应、、、等常见结论，并设置了“取等条件可能无法满足”的陷阱（如时不成立，时不成立，时不成立）.通过逐项判断与举反例，引导学生认识到判断“恒成立”时必须同时检查两项的正负与等号成立的可能性，纠正“只要形式符合就能用基本不等式”的常见错误，发展逻辑推理素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力． 4．小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 4．【答案】C 【解析】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低.故选：C. 【设计意图】本题以两次购买同一种商品的平均价格比较为背景，把“每次购买相同质量”的平均价格表示为算术平均数，把“每次花费相同金额”的平均价格表示为调和平均数，再通过作差作出判断.题目让学生体会基本不等式及其等价变形在实际数量关系中的解释作用，感受“用不等式刻画不等关系”的价值，属于基本不等式在现实情境中的简单应用，发展数学建模与数学运算素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式在现实情境中的比较应用（算术平均数与调和平均数的比较），考查了阅读理解能力、作差比较的能力与数学建模意识． 5．若，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D．1 5．【答案】D 【解析】由题可得，则， ，当且仅当时等号成立， 即，，， 又因，所以， ，当时取等号. 【设计意图】本题在“和为定值”的条件下求含倒数的分式之和的最小值，不能直接使用基本不等式，需要借助“1”的代换，把它写成，展开后配凑为，再对两项之积为定值的部分使用基本不等式，最后由等号成立的条件求出.题目集中体现了“和定求倒数和最小”的模型，训练学生识别式子结构、主动构造定值的能力，是基本不等式在代数式求最值中的典型应用，发展数学运算素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用（“1”的代换、和定求倒数和最小），考查了观察式子结构的意识、变形能力与运算能力． 6．已知，且，则的最小值为（） A． B． C． D． 6．【答案】B 【解析】已知，且， 等式两边同时加得：， 因式分解得： 由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等， 故. 【设计意图】本题的条件中同时含有与，直接使用基本不等式无法“消元”，需要先对已知等式作因式分解，化为，再对新形式使用基本不等式，从而得到.题目考查学生灵活转化条件、通过配凑与因式分解构造定值的能力，突出“变形—构造”在不等式求最值中的作用，让学生体会等价变形对简化问题的价值，发展逻辑推理与数学运算素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用（因式分解与配凑构造定值），考查了等价转化能力、逻辑推理能力与运算能力． 二、多选题 7．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 7．【答案】ABD 【解析】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 【设计意图】本题以魏晋时期刘徽《九章算术注》中利用面积关系证明勾股定理的“朱、黄”图形为情境，把“由图得面积大小关系”与基本不等式的代数形式对应起来，让学生从几何直观中抽象出、、、等不等式.题目渗透数学文化，考查学生读图、用图的能力以及“由图到式”的数学抽象能力，并通过对错误选项举反例，考查逐项判断的严谨性，落实直观想象与逻辑推理素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式及相关不等式的几何解释与数学文化背景（刘徽《九章算术注》），考查了读图能力、数学抽象能力与逐项推理判断的能力． 8．设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 8．【答案】ACD 【解析】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 【设计意图】本题给出“线性式和为定值”的条件，四个选项分别涉及的最小值（“1”的代换）、的最大值（平方后利用基本不等式）、的最小值（消元后转化为二次函数求最值）等不同策略.题目通过多选项的综合设置，考查学生根据目标式的结构选择合适方法的能力，并提示“基本不等式并非万能，需与函数思想配合使用”，综合发展数学运算与逻辑推理素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用（常数代换、平方变形）与消元法求最值，考查了根据目标式结构选择解法的能力、多元最值的处理能力与运算能力． 三、填空题 11．的最小值为__________． 11．【答案】9 【解析】由原式有意义题可得则 当且仅当即时，不等式取等号. 【设计意图】本题所求式为两个因式的乘积，展开后得到，其中与之积为定值，可用基本不等式求得最小值为（在时取到）.题目考查学生先展开、再识别“两项之积为定值”结构的意识，同时提醒学生注意基本不等式成立的前提（这里需），是基本不等式在分式结构中的基础应用，发展数学运算素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用（展开后识别积为定值的结构），考查了运算能力与关注基本不等式使用前提（x≠0）的意识． 10． 已知，，则的最小值为__________． 10．【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【设计意图】本题条件中的分母、与目标式之间存在线性关系，关键是把配凑为2(x+y)+3(x-y)，再利用已知条件作“1”的代换，把化为，展开后用基本不等式求出最小值（等号在时取得）.题目考查学生对目标式与条件之间结构关系的观察能力，以及“配凑＋常数代换”的综合变形能力，是基本不等式在二元条件下的较高层次应用，发展数学运算与逻辑推理素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用（配凑线性组合、“1”的代换），考查了观察目标式与条件结构关系的能力、综合变形能力与运算能力． 四、解答题 11．设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.设画面的高为，宽为，宣传画所用纸张面积为. （1）写出宣传画所用纸张面积关于的表达式，并写出的取值范围； （2）画面的高与宽之比为多少时，宣传画所用纸张面积最小，并求出的最小值. 11．【答案】答案详见解析 【解析】（1）由题意知，则 所用纸张面积关于的表达式为：. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 即画面的高与宽之比为时，宣传画所用纸张面积最小，最小值为. 【设计意图】本题以宣传画设计为实际背景，考查学生从实际问题中提取数量关系、用函数关系式刻画总量之间对应关系的能力.（1）由画面面积得，进而写出纸张总面积，经历“实际问题—函数模型”的抽象过程；（2）把“求的最小值”转化为“一次项＋常数项/变量”的结构，用基本不等式求得的最小值为，并回答“高与宽之比为”这一具有实际意义的设问，使最值的数学结果回归到实际情境之中.题目让学生经历“实际问题—数学模型—数学求解—回到实际”的完整过程，落实数学建模与数学运算素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的实际应用（建立函数模型、求最值并回归实际情境），考查了数学抽象与数学建模素养、建模能力与运算求解能力． 12．设a，b为正实数，且. （1）求ab的最小值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）求的最小值. 12．【答案】答案详见解析 【解析】（1）由a，b为正实数，则，即， 两边同时平方得，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为； （2）由题可知， 又a，b为正实数，由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时取最小值， 又恒成立，所以，解得m的取值范围为； （3）由且为正实数， 可得，故；同理，故.因此. 又，所以，即， 所以，令，则， 又， 所以由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 此时，即当时，取最小值为. 【设计意图】本题三小题由浅入深、层层递进，全面考查基本不等式的使用方法，以及等价转化、恒成立等思想方法.（1）在“倒数和为定值”的条件下求的最小值，需要利用建立关于的不等式，考查学生根据目标式选择恰当形式使用基本不等式的能力；（2）把“不等式恒成立”转化为“的最小值”，需先用“1”的代换求出的最小值为9，再解关于的一元二次不等式，考查等价转化思想与恒成立问题的处理策略；（3）所求式的结构较为复杂，需先由条件判定，把它变形为，再用换元法（令，得）转化为“1”的代换的标准形式，用基本不等式求得最小值为，考查学生综合运用变形、换元逐步逼近目标结构的能力.本题综合发展逻辑推理、数学运算与数学建模素养. 【知识点和考察目标】本题考查了基本不等式的应用（“1”的代换）、不等式恒成立问题与换元法求最值，考查了等价转化能力、逻辑推理能力与综合运算求解能力． 学科网（北京）股份有限公司 $