四川省眉山市高一数学上学期课时作业设计（人教A版必修第一册第二章第三节一元二次不等式）

一元二次不等式 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 一元二次不等式课后作业设计 学段学科 高中数学 适用年级 高一年级 教材版本 人教A版（2019）普通高中教科书必修第一册 对应内容 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次不等式 作业类型 课后作业 完成时长 30 设计者 马文俊 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象等核心素养，需达成"能从函数观点认识一元二次不等式，运用图象法熟练求解一元二次不等式，并能借助函数观点处理恒成立问题"的学业质量标准。 · 教材地位：本节是连接一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的枢纽内容，借助二次函数图象求解一元二次不等式是“三个二次”关系的核心体现，是后续研究分式不等式、指数对数不等式及恒成立、存在性问题的通性通法，起着承上启下的关键作用。 · 教学重难点：重点是一元二次不等式的解法及"以二次函数图象为工具、以方程的根为分界点"的求解流程；难点是判别式Δ=0、Δ<0等特殊情形的解集判断，以及恒成立问题的函数观点转化。 二次函数的图象是求解一元二次不等式的基本工具：当 a>0 且 Δ>0 时，抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于两点 x₁、x₂，对应 ax²+bx+c<0 的解集取两根之间、ax²+bx+c>0 的解集取两根之外，如图1所示。 图1 a>0，Δ>0 时二次函数图象与一元二次不等式解集的关系 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已学习一元二次函数的图象与性质、一元二次方程的求解以及不等式的基本性质，掌握用数轴表示解集，具备“三个二次”之间相互转化的初步认识，为一元二次不等式的求解奠定基础。 现有困惑 易将一元二次不等式的解集与对应方程的根混淆；忽视二次项系数a的正负对开口方向及解集形态的影响，解题前忘记化二次项系数为正；对Δ=0与Δ<0情形的解集判断不清，缺乏“图象—方程—不等式”一体化的数形结合意识。 差异分析 基础层学生能借助图象求Δ>0的常规不等式解集；中等层学生需在引导下处理二次项系数为负、完全平方式等特殊结构及Δ=0、Δ<0等特殊情形；能力较强者可挑战恒成立证明与实际建模问题，需通过分层任务满足不同发展需求。 3. 设计意图 本作业以"图象识解—规范求解—特殊情形—图象与解集—恒成立证明—建模应用"为主线设计7道分层题（均不含参数，整体降低综合难度）：先由Δ>0的标准不等式（小于0取两根之间、大于0取两根之外）夯实图象法基本功，再经二次项系数为负、完全平方式（Δ=0）等特殊结构巩固通法并深化"三个二次"联系，继而通过函数图象交点与解集的对应、恒成立证明突破数形结合与转化难点，最后以商品利润建模问题发展数学建模素养，使不同层次学生均能巩固一元二次不等式的图象解法并获得提升。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 理解一元二次不等式的概念，掌握“二次函数图象—方程的根—不等式解集”三者关系，能按Δ>0、Δ=0、Δ<0写出ax²+bx+c>0(a>0)的解集。 数学抽象 正确率、概念复述 能力运用 B 熟练运用图象法求解一元二次不等式，掌握先将二次项系数化为正、再求根、后取解集的规范流程，能处理系数为负及完全平方式结构。 数学运算 过程记录、方法选用 思维发展 C 能针对判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0等不同情形准确判断解集形态，经历恒成立问题的配方转化与证明，发展数形结合与逻辑推理能力。 逻辑推理 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 在商品利润等实际问题中建立一元二次不等式模型求解，形成数学建模意识与规范表达、检验解集的习惯。 数学建模 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 不等式 x²-3x+2<0 的解集是（　） A、B 巩固Δ>0标准情形（小于0取两根之间）的图象法。 选B，解集为 {x|1<x<2}。 2 填空题 求不等式 x²-5x+6>0 的解集。 A、B 巩固Δ>0标准情形（大于0取两根之外）的图象法。 解集为 {x|x<2或x>3}。 3 填空题 求不等式 -x²+4x-3≥0 的解集。 B 强化先将二次项系数化为正、再求根取解集的规范流程。 解集为 {x|1≤x≤3}。 4 填空题 求不等式 x²-4x+4≥0 的解集。 A、B 认识Δ=0（完全平方式）的特殊情形，完善解集形态辨识。 解集为 R（(x-2)²≥0 恒成立）。 5 解答题 已知二次函数 y=x²-2x-3。(1)求图象与x轴交点坐标；(2)求y<0时x的取值范围。 A、B、C 落实"方程的根—不等式解集"的对应，渗透数形结合。 交点(-1,0)、(3,0)；{x|-1<x<3}。 6 解答题 求证：对任意实数x，不等式 x²-2x+3>0 恒成立。 C 用配方法与函数观点处理恒成立问题（不含参数）。 配方(x-1)²+2≥2>0，恒成立。 7 应用题 商品进价40元/件，售价x元时月销量为(200-2x)件(40<x<100)，月利润W=(x-40)(200-2x)，求使W>0的售价范围。 B、D 建立一元二次不等式模型解决实际问题，体会建模价值。 40<x<100。 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 1．不等式 x²-3x+2<0 的解集是（　）　A．{x|x<1或x>2}　B．{x|1<x<2}　C．{x|x<-2或x>-1}　D．{x|-2<x<-1} 2．求不等式 x²-5x+6>0 的解集。 3．求不等式 -x²+4x-3≥0 的解集。 4．求不等式 x²-4x+4≥0 的解集。 5．已知二次函数 y=x²-2x-3。(1)求函数图象与 x 轴的交点坐标；(2)求 y<0 时 x 的取值范围。 6．求证：对任意实数 x，不等式 x²-2x+3>0 恒成立。 7．某商店销售一种商品，每件进价为40元。经市场调查，当售价定为每件 x 元时，月销售量约为 (200-2x) 件（40<x<100）。设月利润为 W 元，且 W=(x-40)(200-2x)，求使 W>0 的售价 x 的取值范围。 7、 答案与解析 1．【答案】B　【解析】x²-3x+2<0 即 (x-1)(x-2)<0，对应方程 x²-3x+2=0 的两根为 x₁=1、x₂=2，二次项系数为正，图象开口向上，故小于0的解集取两根之间，即 {x|1<x<2}，选B。 2．【答案】{x|x<2或x>3}　【解析】x²-5x+6>0 即 (x-2)(x-3)>0，对应方程 x²-5x+6=0 的两根为 x₁=2、x₂=3，二次项系数为正，图象开口向上，故大于0的解集取两根之外，即 {x|x<2或x>3}。 3．【答案】{x|1≤x≤3}　【解析】二次项系数为负，两边同乘-1化为 x²-4x+3≤0，即 (x-1)(x-3)≤0。方程 x²-4x+3=0 的两根为 x₁=1、x₂=3，开口向上，小于等于0取两根之间，故解集为 {x|1≤x≤3}。 4．【答案】R　【解析】因为 x²-4x+4=(x-2)²，判别式 Δ=(-4)²-4×1×4=0，抛物线开口向上且与 x 轴仅有一个交点，故对任意实数 x 恒有 x²-4x+4≥0，解集为全体实数 R。 5．【答案】(1)(-1,0)、(3,0)；(2){x|-1<x<3}　【解析】(1)令 x²-2x-3=0，即 (x-3)(x+1)=0，得 x₁=-1、x₂=3，故图象与 x 轴交于 (-1,0)、(3,0)。(2)二次项系数为正，图象开口向上，y<0 取两根之间，即 {x|-1<x<3}。 6．【答案】见解析　【解析】对 x²-2x+3 配方，得 x²-2x+3=(x-1)²+2。因为对任意实数 x 都有 (x-1)²≥0，所以 (x-1)²+2≥2>0，即 x²-2x+3>0 对任意实数 x 恒成立，命题得证。 7．【答案】40<x<100　【解析】每件利润为 (x-40) 元，月销量为 (200-2x) 件，故 W=(x-40)(200-2x)。由 W>0 得 (x-40)(200-2x)>0，即 (x-40)(x-100)<0，解得 40<x<100，与 40<x<100 一致，故使 W>0 的售价 x 的取值范围为 40<x<100。 学科网（北京）股份有限公司 $