精品解析：江西省樟树中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断作业数学试题

樟树中学2028届高二上学期第一次诊断作业 (数学作业） 作业范围：选择性必修一第一章及第二章第一节 作业时间：2026.10.12 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 与m的值有关 2. 已知直线过、两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 焦点坐标为： D. 离心率为 10. 垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 11. 如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，下列四个说法正确的为（ ） A. 到四点的距离之和为定值 B. 曲线关于直线均对称 C. 曲线所围区域面积必小于36 D. 曲线总长度不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______. 13. 阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 14. 已知椭圆的右焦点为为椭圆上的动点，点在以为直径的圆上，若的最大值为3（为坐标原点），则椭圆的短轴长___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2），． （3）经过点，两点； 16. 平行四边形的四边所在的直线分别是：，， （1）求直线交点的坐标； （2）求平行四边形的面积． 17. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 樟树中学2028届高二上学期第一次诊断作业 (数学作业） 作业范围：选择性必修一第一章及第二章第一节 作业时间：2026.10.12 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 与m的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：A. 2. 已知直线过、两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故. 由斜率公式可得，解得. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得不等式组，解出即可. 【详解】由题意有：. 故选：A. 4. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线的位置关系求解. 【详解】因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选：D 5. 求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程． 【详解】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|， 即，解得， 可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为． 故选：D． 6. 若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先联立方程求得交点坐标，再结合题意解即可得答案. 【详解】因为直线与的交点在第四象限， 所以两直线相交，，即， 联立方程解得, 由两直线与的交点在第四象限可得 解此不等式组可得，即的取值范围为. 7. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 8. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在半圆上，可求，再根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程 【详解】由点在半圆上，所以， 由椭圆可知图中， 要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时， M到直线AG的距离最大， 此时，即， 又 ， 所以半椭圆的方程为 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 焦点坐标为： D. 离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】 先化简椭圆方程为标准方程，再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解. 【详解】由椭圆方程化为标准方程可得， 所以 ， 所以长轴长为，焦距，焦点坐标为， 短轴长为，离心率. 故选：CD 10. 垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先设出垂直直线，再根据和坐标轴围成的面积求出参数，最后求出截距. 【详解】因为直线垂直于直线，可令直线， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为， 所以，所以在轴上的截距为， 故选：CD 11. 如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，下列四个说法正确的为（ ） A. 到四点的距离之和为定值 B. 曲线关于直线均对称 C. 曲线所围区域面积必小于36 D. 曲线总长度不大于 【答案】BC 【解析】 【分析】由点在两个椭圆内部重叠区域的边界上可知，当点在上下边界上时，到的距离之和为定值，当点在左右边界上时，到的距离之和为定值，可判断A错误；利用椭圆的对称性可得B正确；曲线所围区域在边长为6的正方形内部，在半径为3的圆外部，可判断出，得出答案． 【详解】易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点.若点仅在椭圆上，则到、两点的距离之和为定值，到两点的距离之和不为定值，故A错误； 两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故B正确； 曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长，故D错误. 故选：BC 【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆中的范围问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】 由椭圆的定义可得，， 且，， 所以的周长为. 故答案为： 13. 阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 14. 已知椭圆的右焦点为为椭圆上的动点，点在以为直径的圆上，若的最大值为3（为坐标原点），则椭圆的短轴长___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，椭圆的左焦点为，连接，利用的最大值建立等式，而分别为和的中点，得到，从而得到的等式计算得解. 【详解】设的中点为，椭圆的左焦点为，连接，则的最大值为， 而分别为和的中点，所以， 从而，故， 故椭圆的短轴长为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2），． （3）经过点，两点； 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类讨论，求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； 【小问3详解】 由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点， 因为，所以椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为． 16. 平行四边形的四边所在的直线分别是：，， （1）求直线交点的坐标； （2）求平行四边形的面积． 【答案】（1）； （2）9. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程求出交点的坐标; （2）由顶点坐标求出一条边的长度，再根据两平行直线之间的距离公式可求平行四边形的高，从而求得平行四边形的面积． 【小问1详解】 设和的交点为A， 由，解得； 【小问2详解】 如图， 易知∥，∥，设和的交点为B， 由，解得， 由（1）知， ∴． 与的距离， ∴平行四边形的面积为． 17. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【小问1详解】 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. 【小问2详解】 设因为为的中点, 所以, 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分析可得必在椭圆上，不在椭圆上，代入即得解； （2）设，则，根据两点求距离公式可得，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为关于坐标轴对称，所以必在椭圆上， 有，将点代入椭圆方程得， ∴不在椭圆上 ∴，， 即椭圆的方程为：； 【小问2详解】 点是椭圆的下顶点，设椭圆上的点， 则，即， 所以 ， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为， 故的最大值为. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $