精品解析：江西九江市第三中学2026-2027学年高二上学期阶段性测试数学试卷(10.8)

九江三中2026—2027学年上学期高二阶段性测试（10.8） 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过两直线互相垂直斜率之积等于求解. 【详解】当即时，：，：，两直线不垂直； 当，时，若，则，解得. 2. 已知直线的方向向量，且过点，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线的方向向量为，所以该直线的斜率为，且过点， 从而该直线的方程为. 3. 已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简得到斜率，得到斜率范围，再反求倾斜角范围. 【详解】由，得存在，所以,即， 若，则，原方程变成，不成立，所以，所以， 所以，则， 直线方程化为，即， 所以 ， 倾斜角，, 当 ，即 ， 当 ，即 ， 所以. 5. 过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 7. 已知：，：，则直线关于直线的对称直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出与对称轴的交点，再取上一点求其关于的对称点，两点式求出对称直线方程. 【详解】联立，解得，，设与的交点为， 在上取一点，设关于对称轴的对称点为， 则的中点在上，即， 且，斜率，所以，即， 联立方程组，解得，，得到对称点 则对称直线一定经过， 所以直线的斜率为，直线过，得斜截式为， 整理得. 8. 已知函数，若为定值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用可得，设，那么点在半圆上运动，相当于点到两条平行线与距离之差的倍，作出图象，结合图形即可求解. 【详解】由可得即， 设，那么点在半圆上运动， 相当于点到两条平行线与距离之差的倍， 作出图象如下： 由图象可知当直线与半圆相切时，取最小值， 那么,解得 （舍去）， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：（，），若与之间的距离为2，则的值可以取（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意得与平行，则，从而：， 故与之间的距离为或. 10. 已知圆：和：，直线：与两圆相切，则（ ） A. 的取值有2个 B. 两圆的公共弦方程为 C. 存在直线与圆和圆都有交点 D. 若圆与圆和相切，且，，三点共线，则圆周长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：利用圆心到切线距离等于半径列等式，解绝对值方程求斜率的个数，注意不含竖直线；B：公共弦仅两圆相交时存在，先判断两圆位置；C：取满足相切条件的，验证直线到两圆心距离是否小于半径；D：共线，设动圆半径，利用线段长度关系求最大值，再算周长. 【详解】圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径. 圆心距，，，两圆外离. 直线与两圆都相切，则圆心到直线距离等于半径： ，，可得. A：由，分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得. 将代入得，两边平方化简得. 直线形式代表直线斜率存在；竖直公切线没有斜率，不属于该形式. 因此满足条件的共有2个，A正确； B：两圆公共弦存在的前提是两圆相交. 本题两圆外离，不存在公共弦，B错误； C：当时，代入距离公式，解得或. 取，，则直线. 到直线的距离为，直线与有交点； 到直线的距离为，直线与有交点. 故存在满足条件的直线，C正确； D：圆与圆和相切，且，，三点共线. 设圆半径为，圆周长最大等价于半径最大. 当圆同时内切包含圆和，圆心在线段上，取得最大值； ，，，. 解得.圆周长，D 正确. 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线围成的图形的面积为 B. 曲线有且仅有2条对称轴 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线Ω的方程，分类讨论去绝对值可画出曲线Ω围成的图形，再数形结合一一判断即可. 【详解】因为曲线Ω：， 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为. 所以曲线Ω的图象如图所示：由图可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线Ω围成的图形的面积为，故选项A正确； 由曲线Ω的图像可知，曲线Ω围成的图形有4条对称轴， 分别是x轴，y轴，第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故选项B错误； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故选项C正确； 表示点与点的连线的斜率，由图可知当（且）与直线相切时取得最小值，设切线为，则， 解得或（舍去），所以的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：与圆：交于，两点，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】由圆方程得到圆圆心为，半径为.根据点到直线的距离公式求得，然后利用勾股定理求解可得. 【详解】由可得， 所以圆圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以 13. 已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理直线方程，分离参数，求出直线恒过的定点；点到直线的距离最大值即为，依据几何性质：距离不超过两点之间线段长，当直线时取到最大值． 【详解】直线：， 整理得：． 联立，解得， 所以直线恒过定点，由几何性质，点到直线的距离， 当时等号成立，， 所以点到直线的距离的最大值为． 14. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是__________；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式即可求出点的轨迹方程；根据三角函数得到临界值时点的横坐标，即可得到的取值范围. 【详解】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ， 设成功点，则，即， 化简得，因为点在矩形场地内，所以， 所以点的轨迹方程是. 当与圆相切时，则有， 所以，所以，又， 若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. （1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； （2）求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1） （2）24， 【解析】 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：，：，，为直线上的动点. （1）过点的直线与，分别交于点，，且点平分，求直线的方程； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的点斜式方程，求出点，的坐标，再结合中点坐标公式即可求出直线方程. （2）利用将军饮马问题即可求出的最小值. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点，的坐标分别为，，此时点不平分，不满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的方程为. 联立方程组点的坐标为（，当时，直线与平行，两直线无交点.）； 联立方程组点的坐标为（，当时，直线与平行，两直线无交点.）. 点平分，结合中点坐标公式得,或. 当时，，的坐标分别为，，此时点不平分，不满足条件. 直线的方程为，整理得. 【小问2详解】 由（1）知点的坐标为，如图所示； 设直线与轴相交于点，点的坐标为，设点，使得与关于直线对称， 直线的倾斜角为，为等腰直角三角形，点的坐标为. ，. 当，，三点共线时，， 又，，即的最小值为. 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，动点满足，直线：． （1）求证：直线恒过定点； （2）求的轨迹曲线的方程； （3）若曲线上有且只有3点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】（1）整理为关于的一元一次方程， 对任意的恒成立， 所以，解得，所以直线恒过定点. （2）的轨迹曲线的方程为. （3）直线方程为或. 【解析】 【分析】(1)将过定点问题转化为等式恒成立问题，进而求解； （2）设，根据建立方程即得到的轨迹曲线的方程； （3）曲线上有且只有3点到直线的距离为，得到，即，再结合点到直线距离公式建立方程求得或，将的值代入原直线方程即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设，则， ，因为，即， 所以，即， 所以的轨迹曲线的方程为 【小问3详解】 由（2）知，曲线为圆心为，半径为的圆. 设圆心到直线的距离为， 因为曲线上有且只有3点到直线的距离为， 所以,即, 解得. 同时根据点到直线距离公式， . 当时，， 解得或. 所以直线方程为或. 18. 已知直线与相交于点，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到和，再结合，即可求解； （2）（i）当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，通过消得到，从而得到，结合条件得到，再利用直线与圆的位置关系，即可求解；（ii）利用弦长公式，结合（i）中结果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的（i）问，利用韦达定理，结合条件得到，再利用间的关系，结合条件，即可求解. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆过点和，且圆心在直线上，过原点且斜率不为0的直线与圆交于，两点． （1）求圆的标准方程； （2）若存在点使得为定值，求点的坐标和定值； （3）把圆沿轴折起，使二面角大小为，求折起后的取值范围． 【答案】（1） （2）点,为定值 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出线段中垂线方程，再结合圆心在直线上，求出圆心坐标，再求出半径，即是求得圆的标准方程； （2）假设直线方程为，，，，与圆方程联立，应用韦达定理求得的表达式，求出点的坐标和定值； （3）作于点，于点，那么，，从而，求出的代数式，再求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，线段中垂线方程为， 又圆经过两点且圆心在直线上，则 即,半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线方程为，，，， 那么， 由韦达定理可知， 得到 ， 又， 那么， 若为定值，与无关，则，此时. 即点,为定值. 【小问3详解】 如图所示，作于点，于点， 那么由（2）可知， 因为二面角大小为，所以， 折起后由图象可知, ， 由（2）可知， 那么 ， 由于斜率不为0，那么, 即，所以折起后的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江三中2026—2027学年上学期高二阶段性测试（10.8） 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：（），若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量，且过点，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相交或相切 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 7. 已知：，：，则直线关于直线的对称直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若为定值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：（，），若与之间的距离为2，则的值可以取（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：和：，直线：与两圆相切，则（ ） A. 的取值有2个 B. 两圆的公共弦方程为 C. 存在直线与圆和圆都有交点 D. 若圆与圆和相切，且，，三点共线，则圆周长的最大值为 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线围成的图形的面积为 B. 曲线有且仅有2条对称轴 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：与圆：交于，两点，则________． 13. 已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 14. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是__________；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. （1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； （2）求面积的最小值及此时直线的方程. 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：，：，，为直线上的动点. （1）过点的直线与，分别交于点，，且点平分，求直线的方程； （2）求的最小值． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，动点满足，直线：． （1）求证：直线恒过定点； （2）求的轨迹曲线的方程； （3）若曲线上有且只有3点到直线的距离为，求直线的方程． 18. 已知直线与相交于点，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆过点和，且圆心在直线上，过原点且斜率不为0的直线与圆交于，两点． （1）求圆的标准方程； （2）若存在点使得为定值，求点的坐标和定值； （3）把圆沿轴折起，使二面角大小为，求折起后的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $