精品解析：山东日照市高新区中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试卷

山东省日照市高新区中学2026—2027年九年级10月月考 数学试卷 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 3. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 6. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 8. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数图象大致（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； B、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者一致，符合题意； C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； D、当时，一次函数与二次函数的函数值，即一次函数与二次函数与y轴交于同一点，该选项的一次函数与二次函数与y轴不交于同一点，两者相矛盾，不符合题意． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，都有．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象得：该函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线，再根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：观察图象得：该函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①错误；③正确； ∵该函数图象与x轴有2个交点， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴当和时，它们所对应的函数值相等， 观察图象得：当时，， ∴当时，，即，故④正确； ∵该函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值，最大值为， ∴m为任意实数，都有，即， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有②③④ 二、填空题：每小题3分，共15分． 11. 若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 12. 一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【答案】31 【解析】 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 13. 在二次函数中，当时，y的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向和对称轴位置，对称轴在给定的范围内，因此顶点处取得最大值，再计算区间端点的函数值，比较得到最小值，即可确定的取值范围． 【详解】解：，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，对称轴在给定的范围内， 当时，取得最大值，最大值为， 计算区间端点的函数值：当时，， 当时，， ， 的最小值为， 的取值范围是． 14. 某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，从图中读取信息，则，设点是原点，得到点，的坐标；设二次函数的解析式为：，求出解析式；再根据水面上升米，则，代入函数解析式，求出，即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， 由题意得，，， ∵抛物线关于轴对称， ∴， 设点是原点， ∴点，， 设二次函数的解析式为：， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当水面上升米交抛物线，交于点， ∴， ∴， 解得：， ∴点，， ∴， ∴水面宽度为米． 15. 抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形．先由顶点C的坐标为求得抛物线的解析式，再求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点C的坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， ∵点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上， ∴，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 开方得， 解得； 【小问2详解】 解：因式分解得， 则或， 解得； 【小问3详解】 解：， ，，，， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：整理得， 因式分解得，即， 则或， 解得． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求k的取值范围； （2）设该方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，得到，进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 由（1）得：， ∴． 18. 某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． （1）设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 【答案】（1），自变量的取值范围是． （2）当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． （3）每本降价元的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式，从而得到二次函数的关系式，再根据题目要求得到自变量的取值范围； （2）根据二次函数的图象和性质及自变量的取值范围解答即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 售价不低于元， ， ， 自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解： ， 当时，有最大值， 此时售价为：， 答：当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 整理得：， ， 或， 或无解， 每本降价元的取值范围是． 19. 如图，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标； （2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为；顶点的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】（1）将三点坐标代入抛物线，解方程组即可得到抛物线的解析式，再将解析式表示成顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先表示出平移后的抛物线解析式，再代入点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度， ∴平移后的抛物线为． ∵平移后的抛物线经过点， ∴， ∴． 20. 打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； （2）若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【答案】（1） （2）水漂能不能飞过8米宽的河面 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；利用顶点式得到所求抛物线解析式是解决本题的突破点；得到水漂第二次飞越时的函数解析式是解决本题的难点． （1）设水漂第一次飞越时的函数解析式为，由经过点，求出，再设水漂第二次飞越时的函数解析式为，求解即可得相应抛物线； （2）由飞越距离，可得 ，从而求出，再求出总共飞越距离为，最后再比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，水漂第一次飞越时，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起． 设水漂第一次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得， 水漂第一次飞越时的函数解析式为 水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． 设水漂第二次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得或（舍去）， 水漂第二次飞越时的函数解析式为； 【小问2详解】 解：飞越两次，飞越距离， ， ， 总共飞越距离为， ， 水漂能不能飞过8米宽的河面． 21. 已知二次函数的图象过点，，． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）当时，求函数的最大值； 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3）当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出二次函数的顶点坐标，看横坐标是否在取值范围内，求出两端点处的代数式的值，再取舍得到最小值； （3）对不同的取值范围进行讨论，得到最大值． 【小问1详解】 解：点，，代入得：， 解得：， 二次函数的解析式． 【小问2详解】 解： ， 顶点坐标为，对称轴为直线， ，直线落在该区间内， 函数在顶点处取最大值，最大值是， 当时，； 当时，， 函数的最小值为． 【小问3详解】 解：， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论：当，即时，都在对称轴的左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为； 当，即时，对称轴在范围内，当时，取得最大值，最大值为； 当，即时，都在对称轴的右侧，随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值是． 综上所述，当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为． 22. 如图，抛物线与轴交于两点，且过点． （1）求的值； （2）设抛物线交轴于点，抛物线的顶点是点，求四边形的面积． （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为，的值为 （2） （3）存在满足条件的点；周长的最小值为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将三个点的坐标代入二次函数一般式，得到三元一次方程组，直接求解方程组即可得到三个参数的取值； （2）首先根据抛物线解析式求出y轴交点C和顶点D的坐标，利用A、B两点都在x轴上的特点，将四边形沿x轴方向分割为两个三角形和一个梯形，分别计算各部分面积后求和，即可得到四边形的面积； （3）周长由三部分组成，是固定长度，因此只需让的和最小即可．再利用抛物线的对称性，将转化为，根据两点之间线段最短，的最小值就是线段的长度，此时Q点就是直线和对称轴的交点，代入计算即可得到Q点坐标和周长最小值． 【小问1详解】 解：已知抛物线与轴交于两点，且过点， 则， 解得， 所以的值为，的值为． 【小问2详解】 解：当时，，即， 因为， 所以顶点． 过点作轴于， 则，， 因为， 所以，，， 则 ， 所以四边形的面积为． 【小问3详解】 解：由题意，的周长为，其中， 因为点A和点B关于抛物线对称轴对称， 所以， 因此， 当B、Q、C三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， ， 因此周长的最小值为， 设直线的解析式为，代入，得： ， 解得， 即直线的解析式为． 将代入，可得， 即． 所以存在满足条件的点，周长的最小值为，点的坐标为． 23. 如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； （3）当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+4x （2） （3）存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0） 【解析】 【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案； （2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值； （3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案． 【小问1详解】 解∶∵二次函数的图像经过点和原点O． ∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4）， 把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4）， 解得：a=-1， ∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x； 【小问2详解】 解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD， 设直线OA的解析式为， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x， ∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m， ∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当时，线段PC最大，最大；值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ，， 当0<m<3时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m， ∴，解得：或0（舍去）， ∴此时； 当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC时，， 解得：或0（舍去）， ∴此时点； 当OC=OP时，有OC2=OP2， ∴， 解得：m=5或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5）， 当PC=OP时， ， 解得：m=4或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市高新区中学2026—2027年九年级10月月考 数学试卷 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 6. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数图象大致（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，都有．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②③⑤ 二、填空题：每小题3分，共15分． 11. 若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 12. 一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 13. 在二次函数中，当时，y的取值范围是______． 14. 某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 15. 抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求k的取值范围； （2）设该方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 18. 某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． （1）设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 19. 如图，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标； （2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 20. 打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； （2）若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 21. 已知二次函数的图象过点，，． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）当时，求函数的最大值； 22. 如图，抛物线与轴交于两点，且过点． （1）求的值； （2）设抛物线交轴于点，抛物线的顶点是点，求四边形的面积． （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； （3）当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $