精品解析：山东省日照市东港实验中学2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试题

2025--2026学年度上学期12月单元测试 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 图象关于原点对称 B. 经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的关系式为：，即，点坐标满足关系式，因此B选项不符合题意， 由于，因此图象位于第一、三象限，且图象关于原点对称，因此A，C不符合题意， 根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y随x的增大而减小，因此D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 2. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，求出长，然后利用线段的和差即可解题． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 3. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 4. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 5. 若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．由反比例函数，得到，反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上，， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到再结合得到，即；再由线段的和差可得；然后根据可得，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 设，则，， 在中，， ， ， 灯塔的高度AD大约是． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数． 8. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据 可得到和，再根据相似三角形的性质即可得出，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】 ， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，过点作半圆的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理以及三角形的相似，求角的三角函数值的问题转化为求线段的比例问题．取的中点，则为圆心，连接与的交点是，则易证，，求得的长即可求解． 【详解】解：取的中点，则为圆心， 连接，与的交点是, ∵都为圆的切线， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, 在中，, ∴， ∴, 易证明， ∴, ∴， ∴, ． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结，，与相交于点．给出下列结论：①，②，③，④其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到，于是得到，证得，于是得到，故①正确；由于，，推出，得到故②错误；由于，，推出，得到，，等量代换得到，故③正确；过作，，求得，根据三角函数的定义得到，，由平行线的性质得到，等量代换得到，于是求得，故④正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， 在正方形中， ∵， ， ， ， ∵， ， ∵， ；故①正确； ∵， ∵ ∵ ，故②错误； ∵，， ∴， ， ， ∵， ，故③正确； 如图，过作，， 设正方形的边长是4，为正三角形， ，， ，， ∵， ， ， ，故④正确； 故选：． 【点睛】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将所求分式拆分为已知分式与常数的和． 将拆分为，结合已知代入计算即可． 【详解】解：， 因为，所以原式． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中系数的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：4． 14. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 15. 如图，已知矩形，将沿翻折得，将沿翻折得，点F正好落在所在直线上，问当时， _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质得出相等的边和直角，假设，则，证明，利用对应边成比例列出方程求解，然后分情况进行讨论求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 假设，则， 由翻折的性质得， ，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或， 当时，， ∴， 由勾股定理得，； 当时，， ∴， 由勾股定理得，； 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，且的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题．连接，，过点A作于N，过点F作于M，证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于N，过点F作于M， ∵，， ∴， ∴， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 可得， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了特殊角三角函数和实数的混合运算，熟练运用运算法则是解本题的关键． （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式，二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 近期，流感进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示，已知药物燃烧时，满足；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物分钟燃毕，此时室内每立方米空气中的含药量为．请根据图中所提供的信息，解决下列问题： （1）求的值，并求当时，与的函数表达式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明． 【答案】（1） （2）有效， 把代入得： ； 把代入得： ， 解得， ∵， ∴此次消毒有效． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把时分别代入两个解析式，求出自变量的值，再判断即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入解析式，得， 解得； 设当时，与的函数表达式为， 把代入解析式，得， ∴当时，与的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 19. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用 测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，R均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解直角三角形的应用，理解题意，弄清线段间的数量关系，直角三角形中的边角关系是解题的关键． 方案一：可利用，利用相似三角形的性质求出，进而求出； 方案二：在中求出，在中求出，进而求出． 【详解】解：方案一：由题意，， ， ， 解得 ， 答：教学楼的高约为； 方案二：由题意，可知， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 答：教学楼的高约为； 20. 如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）x （2）或 x= 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据题意得到，，则，然后根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分和两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即y 与 x 的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵和相似，， ∴或， ∴或． ∵，，，，． ∴或， 解得或， 当或时，和 相似． 21. 已知：如图，AB是的直径，点为上一点，点D是上一点，连接并延长至点C，使与AE交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若平分，求证：． 【答案】 （1）证明：为直径， ， 在中，， 又， ， ，即, ， 又为的直径， 是的切线； （2）证明：平分， ， 又， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用为直径，得出，利用得出，从而得出，进而得出结论； （2）证出即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明切线有两种情况（1）有交点，作半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，其中点的坐标为，点的横坐标为． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接，点在直线上，，请直接写出满足题意的点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，得到点的坐标，将点，点坐标代入一次函数解析式即可解答； （2）利用函数图象可直接解答； （3）根据，即可点的坐标，再根据一次函数的解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于． ∴，①， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点， ∴②， ①-②得：， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得： 当或时，， 此时一次函数图象在反比例函数图象的上方； 【小问3详解】 解：设直线与轴交于点，当时，，即， ∴，， 分两种情况： ①如图1，当点在线段上时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象交点问题，熟练运用图象上点的坐标满足的图象是解题的关键． 23. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2． 【解析】 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长． 【详解】（1）问题发现： ①如图1， ∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°， （2）类比探究： 如图2，，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴， 同理得：， ∴， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°； （3）拓展延伸： ①点C与点M重合时，如图3， 同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x-2， Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=， ∴AB=2OB=2， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+(x−2)2＝(2)2， x2-x-6=0， （x-3）（x+2）=0， x1=3，x2=-2， ∴AC=3； ②点C与点M重合时，如图4， 同理得：∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+（x+2）2=(2)2. x2+x-6=0， （x+3）（x-2）=0， x1=-3，x2=2， ∴AC=2；. 综上所述，AC的长为3或2． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年度上学期12月单元测试 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 图象关于原点对称 B. 经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 当时，y随x的增大而增大 2. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. C. 20 D. 15 3. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，） A. B. C. D. 8. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，过点作半圆的切线，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结，，与相交于点．给出下列结论：①，②，③，④其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值是_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_________． 14. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 15. 如图，已知矩形，将沿翻折得，将沿翻折得，点F正好落在所在直线上，问当时， _____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，且的面积为，则的值为___________． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 近期，流感进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示，已知药物燃烧时，满足；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物分钟燃毕，此时室内每立方米空气中的含药量为．请根据图中所提供的信息，解决下列问题： （1）求的值，并求当时，与的函数表达式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明． 19. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用 测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，R均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果精确到．参考数据：） 20. 如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 21. 已知：如图，AB是的直径，点为上一点，点D是上一点，连接并延长至点C，使与AE交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若平分，求证：． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，其中点的坐标为，点的横坐标为． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接，点在直线上，，请直接写出满足题意的点坐标． 23. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $