专题01 二次函数的图象和意义 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题01二次函数的图象和意义期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解二次函数的定义，能识别二次函数，确定二次函数中字母参数的取值范围。 2.掌握二次函数一般式、顶点式，会把一般式化为顶点式，能求抛物线顶点、对称轴。 3.掌握二次函数的图象与性质，理解a,b,c对抛物线图象的影响。 4.掌握抛物线的平移规律，能根据平移前后解析式互相转化。 5.会判断二次函数增减性、求函数最值；【拓展，期中常考】能根据图象判断(a+b+c)、(a-b+c)等式子的符号。 6.能结合简单图象解决基础数形结合问题。 ✵高频题型梳理 题型1.二次函数识别与根据定义求参数 题型2.列二次函数关系式 题型3.y=ax2与y=ax2+k的图象和性质 题型4.y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型5.二次函数图象的平移 题型6.一般式化为顶点式 题型7.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型8.二次函数图象与各项系数符号 题型9.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数的意义 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 关键点：①自变量最高次数为2；②二次项系数(a≠0)；③等式右边是关于自变量的整式。 2.解析式形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），已知抛物线上三个普通点坐标时选用。 （2）顶点式：{y=a(x-h)2+k}（a≠0），顶点为(h,k)；已知顶点或对称轴时选用。 知识点二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴（直线x=0）。 a的作用： a>0：开口向上，顶点是最低点；当x=0时，=0。 x<0，y随x增大而减小；x>0，y随x增大而增大。 a<0：开口向下，顶点是最高点；当x=0时，=0。 x<0，y随x增大而增大；x>0，y随x增大而减小。 |a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 知识点三、二次函数图象的平移 y=ax2 上下平移：y=ax2+k k>0，向上平移k个单位；k<0，向下平移|k|个单位。 左右平移：y=a(x-h)2 h>0，向右平移h个单位；h<0，向左平移|h|个单位。 综合平移：y=a(x-h)2+k 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 易错提醒：左右平移只改变括号里的x。 知识点四、y=ax2+bx+c(a≠0)图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=﹣,顶点坐标是（﹣）.当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 ✵典例精讲 题型1. 二次函数识别与根据定义求参数 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数需满足三个条件：解析式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，据此逐一判断选项. 【详解】解：A选项，未说明，当时函数不是二次函数，不符合要求； B选项，的右边为分式，不是整式，不符合二次函数定义； C选项，满足二次函数的所有条件，符合要求； D选项，化简得，是一次函数，不符合要求. 2．二次函数的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 【答案】 3 0 【分析】将给定二次函数整理为标准一般形式，对应即可得到各系数． 【详解】解： 将原二次函数整理为一般形式：， 对比二次函数一般式， 可得二次项系数为，一次项系数为3，常数项为0． 3．已知是二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：由题意，，， 解得， 所以当时，是二次函数． 题型2. 列二次函数关系式 1．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 2．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 3．如图，矩形绿地的两边长各增加，扩充后的绿地面积为，写出y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． 题型3. y=ax2与y=ax2+k的图象和性质 1．抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像性质，分别分析开口方向、对称轴、顶点、增减性，筛选出三个抛物线都具备的性质． 【详解】解：与的二次项系数为正，开口向上，有最低点；的二次项系数为负，开口向下，有最高点； 三个抛物线解析式均不含一次项，即，对称轴均为轴，增减性要分对称轴左右两侧讨论． 三个抛物线开口方向不都向上， 选项A不符合题意． 三个抛物线对称轴均为轴， 选项B符合题意． 不是所有抛物线都有最高点， 选项C不符合题意． 不存在随增大而一直增大的情况， 选项D不符合题意． 2．已知点在抛物线上，且，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴． 3．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】列表： x … 0 1 2 … … 8 2 0 2 8 … … 9 3 1 3 9 … … 7 1 -1 1 7 … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 y轴 向上 y轴 向上 y轴 【分析】将x的值代入函数中，即可求出y的值；二次函数中，当，开口向上，当，开口向下；二次函数的对称轴为y轴，顶点为． 【详解】解： 列表：当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时， ， ，； 当时，， ，； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ． 描点连线：略； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标． 题型4. y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标特征对各选项的图象分析即可． 【详解】解： 函数解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点一定在 轴上 观察图象，A、B、D选项的顶点均在轴上，C选项图象的顶点在轴正半轴上，不在轴上， 该图象不可能是函数的图象． 2．已知，是抛物线上两点，则正数__________． 【答案】 【分析】已知两点纵坐标相等，都在抛物线上，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的等式，分类讨论舍去不符合题意的，即可得到正数的值． 【详解】解：∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． ∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． 当时，若，得，不符合两点是不同点的条件，舍去； 若，得，不是正数，舍去． 当时，若，得，不符合条件，舍去； 若，得，符合正数要求． 综上，正数． 3．已知函数，当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解y值判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 题型5. 二次函数图象的平移 1．二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：可将二次函数转化为， 需将向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选：D． 2．抛物线是由抛物线向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度得到的． 【答案】 右（或上） 上（或右） 【分析】根据二次函数图象平移规律，对比两个抛物线的顶点式即可得出平移方式． 【详解】解：二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对比原抛物线与目标抛物线， ∴平移过程为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度或者向上平移个单位长度，向右平移个单位长度． 3．把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 【答案】(1)，， (2)，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3)向下平移个单位． 【分析】由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，的值； 根据二次函数的性质即可得到答案； 设平移后二次函数为，把代入得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，； （2）解：二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：设平移后二次函数为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的图象向下平移个单位会经过点． 题型6. 一般式化为顶点式 1．抛物线（c为常数）的顶点在x轴上，则c的值为（     ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线顶点在x轴上可知顶点纵坐标为0，将解析式配方为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点的纵坐标为0， 即，解得． 2．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为． 3．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) 顶点坐标为. (2) 当时，随的增大而减小. 【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可知抛物线开口向上，对称轴为直线，再结合二次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）得，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 题型7. y=ax2+bx+c的图象与性质 1．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定抛物线的开口方向与对称轴，通过比较三点到对称轴的距离，结合增减性判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的值越大． ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 且， ∴． 2．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 【答案】或 【分析】对于抛物线，可先将其化为顶点式来确定对称轴，根据二次函数的单调性，结合来确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 3．已知二次函数． (1)用配方法将其化成顶点式_______，顶点坐标是_______； (2)选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； x … … y … … (3)若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为_______． 【答案】(1)， (2) x … … y … … (3) 【分析】（1）将解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得出结果； （2）由（1）可得对称轴为直线，故选取，，，，这五个关于对称轴对称的整点，先求出当，，，，时对应的的值，再填入表格，最后描点、连线即可； （3）根据二次函数的图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， 故用配方法将其化成顶点式，顶点坐标是； （2）解：由（1）可得对称轴为直线， 故选取，，，，这五个关于对称轴对称的整点， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， x … … y … … 图略； （3）解：∵该抛物线上两点、的横坐标满足， ∴由该抛物线的图象可得． 题型8. 二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据图象如何判断a、b、c的符号． 通过图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点，可推导a、b、c的符号，进而判断选项的正确性． 【详解】解：由函数图象，可得： ∵函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴负半轴， ∴， 故正确的结论是C． 故选：C． 2．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】四 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据其对称轴，判断出，根据二次函数当时与轴的交点在轴的负半轴，判断出，再分析，的符号，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的对称轴， ， 当时，二次函数与轴的交点在轴的负半轴， ， ，， 点在第四象限． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． ✵分层专项训练 一、单选题 1．对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是判断各选项中的系数对任意实数是否恒不为0． 【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0． 选项A：当时，二次项系数为0，不是二次函数． 选项B：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项C：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项D：∵，∴，即对任意实数，二次项系数恒不为0，一定是二次函数． 2．若关于x的函数是二次函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数是否为二次函数，必须满足二次项的系数不为这一核心条件，本题结合二次函数的定义即可完成判断． 【详解】解：选项，当时，二次项系数，函数的最高次项为二次项，符合二次函数的定义要求，故符合题意； 选项，仅限制，无法排除的情况，若，二次项系数为，函数就不再是二次函数，故不符合题意； 选项，若，代入后二次项系数为，原函数化为，属于一次函数，故不符合题意； 选项，若，当时，会让二次项系数消失，函数化为一次函数，故不符合题意． 3．将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数利用配方化为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律获得新抛物线解析式． 【详解】解：， 将原图象向右平移个单位得到新图象的解析式为， 化简得． 4．已知点，，在二次函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求抛物线对称轴，，抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，算出三点到对称轴的距离，比较大小． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 因为，所以抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， 因为，所以． 【点睛】二次函数比较函数值，利用点到对称轴距离判断，是常用简便方法． 二、填空题 5．抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线方程即可求得的值． 【详解】解：对抛物线配方得：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴将代入直线方程得：， 解得：． 6．若二次函数的二次项系数为，则它可表示为（，为常数），我们称为该二次函数的特征数，如二次函数的特征数是． （1）若一个二次函数的特征数为，则它的顶点坐标为_____； （2）若一个二次函数的特征数为，将该二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的二次函数的特征数为______． 【答案】 【分析】根据特征数定义写出函数解析式，第一问配方求顶点坐标，第二问利用函数平移规律得到平移后解析式，整理后得到对应特征数． 【详解】解：（1）已知特征数为，根据定义得函数解析式为， 配方得，因此顶点坐标为． （2）已知原函数特征数为，根据定义得原函数解析式为， 配方得．将图象先向右平移个单位，再向上平移个单位， 根据平移规律得平移后解析式为， 整理得，因此平移后函数的特征数为． 三、解答题 7．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 【答案】(1)； (2)所作函数图象如图所示． 【分析】（1）将原式化为顶点式即可求解． （2）分别将，，，代入解析式，求得相应函数值，画图即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴该函数的顶点坐标为； （2）解：将代入中， 即； 将代入中， 即； 将代入中，即， 解得：，； 将代入中， 即； ∴函数在时的图象经过，，，，但不包含． 作图略 8．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)顶点，当时，y随x增大而减小 【分析】（1）根据二次函数的定义求解即可； （2）将函数变为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∴顶点为,开口向下， ∵， ∴当时，y随x增大而减小． 9．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若时，y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)①证明：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， ∴； m的值为1或5 【分析】（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则；当时，求解即可． 【详解】（1） 解：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， 解得； （2） ①略； ②的对称轴为直线， 当时，，y有最小值， 解得（舍）或； 当时，，y有最小值， 解得； 综上所述：m的值为1或5． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数的图象和意义期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解二次函数的定义，能识别二次函数，确定二次函数中字母参数的取值范围。 2.掌握二次函数一般式、顶点式，会把一般式化为顶点式，能求抛物线顶点、对称轴。 3.掌握二次函数的图象与性质，理解a,b,c对抛物线图象的影响。 4.掌握抛物线的平移规律，能根据平移前后解析式互相转化。 5.会判断二次函数增减性、求函数最值；【拓展，期中常考】能根据图象判断(a+b+c)、(a-b+c)等式子的符号。 6.能结合简单图象解决基础数形结合问题。 ✵高频题型梳理 题型1.二次函数识别与根据定义求参数 题型2.列二次函数关系式 题型3.y=ax2与y=ax2+k的图象和性质 题型4.y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型5.二次函数图象的平移 题型6.一般式化为顶点式 题型7.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型8.二次函数图象与各项系数符号 题型9.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数的意义 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 关键点：①自变量最高次数为2；②二次项系数(a≠0)；③等式右边是关于自变量的整式。 2.解析式形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），已知抛物线上三个普通点坐标时选用。 （2）顶点式：{y=a(x-h)2+k}（a≠0），顶点为(h,k)；已知顶点或对称轴时选用。 知识点二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴（直线x=0）。 a的作用： a>0：开口向上，顶点是最低点；当x=0时，=0。 x<0，y随x增大而减小；x>0，y随x增大而增大。 a<0：开口向下，顶点是最高点；当x=0时，=0。 x<0，y随x增大而增大；x>0，y随x增大而减小。 |a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 知识点三、二次函数图象的平移 y=ax2 上下平移：y=ax2+k k>0，向上平移k个单位；k<0，向下平移|k|个单位。 左右平移：y=a(x-h)2 h>0，向右平移h个单位；h<0，向左平移|h|个单位。 综合平移：y=a(x-h)2+k 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 易错提醒：左右平移只改变括号里的x。 知识点四、y=ax2+bx+c(a≠0)图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=﹣,顶点坐标是（﹣）.当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 ✵典例精讲 题型1. 二次函数识别与根据定义求参数 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 3．已知是二次函数，求m的值． 题型2. 列二次函数关系式 1．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 3．如图，矩形绿地的两边长各增加，扩充后的绿地面积为，写出y关于x的函数解析式． 题型3. y=ax2与y=ax2+k的图象和性质 1．抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．函数值y随x的增大而增大 2．已知点在抛物线上，且，则______． 3．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 题型4. y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．函数的图象不可能是（     ） A．B． C． D． 2．已知，是抛物线上两点，则正数__________． 3．已知函数，当时，求的取值范围． 题型5. 二次函数图象的平移 1．二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 2．抛物线是由抛物线向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度得到的． 3．把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 题型6. 一般式化为顶点式 1．抛物线（c为常数）的顶点在x轴上，则c的值为（     ） A．9 B． C． D． 2．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 3．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 题型7. y=ax2+bx+c的图象与性质 1．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 3．已知二次函数． (1)用配方法将其化成顶点式_______，顶点坐标是_______； (2)选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； x … … y … … (3)若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为_______． 题型8. 二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． ✵分层专项训练 一、单选题 1．对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的函数是二次函数，则（     ） A． B． C． D． 3．将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．已知点，，在二次函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 6．若二次函数的二次项系数为，则它可表示为（，为常数），我们称为该二次函数的特征数，如二次函数的特征数是． （1）若一个二次函数的特征数为，则它的顶点坐标为_____； （2）若一个二次函数的特征数为，将该二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的二次函数的特征数为______． 三、解答题 7．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 8．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 9．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若时，y的最小值为，求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $