专题01二次函数的意义及图象期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题01二次函数的意义及图象期中复习讲义 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如 y=ax2+bx+c(a、b、c\) 是常数，a≠0的函数叫做二次函数。 2.各项名称 ax2：二次项，a 是二次项系数； bx：一次项，b 是一次项系数； c：常数项。 3.关键限制条件：a≠0 若 a=0，式子变为 y=bx+c，是一次函数，不再是二次函数；b、c可以等于 0。 4.三种特殊简化形式 b=0,c=0：y=ax2（最简二次函数，本节课图像研究基础） b=0：y=ax2+c c=0：y=ax2+bx 知识点02：判断一个函数是否为二次函数的步骤 1.整理等式，把所有项移到等号左侧，化为 y= 含 x 代数式的形式； 2.检查自变量 x 的最高次数是否为 2； 3.确认二次项系数 a≠0； 同时满足以上两点才是二次函数。 知识点03：含参数的二次函数求字母取值 题型：已知 y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求 m。 解题两个条件： x 的次数 = 2；。 二次项系数≠0；联立方程求解，舍去使系数为 0 的解。 知识点04：列实际问题中的二次函数解析式 通用步骤 审题，分清自变量 x、因变量 y； 根据几何公式、数量关系找等量关系； 列出等式，整理成 y=ax2+bx+c标准形式； 根据实际场景写出自变量取值范围（长度 > 0、人数为正整数等）。 常见模型：矩形 / 正方形面积、利润问题、动点线段面积问题。 知识点05：函数对比辨析 知识点06:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 知识点07:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点08:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 知识点09:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点10:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 1、判定二次函数忽略二次项系数不为0 易错提醒：形如y=ax2+bx+c的函数，必须满足a≠0，才属于二次函数；当a=0时，函数变为一次函数或常数函数，判定时不可缺少a≠0这个条件。 2、未化简就直接判定函数类型 易错提醒：判断一个关系式是否为二次函数，先要进行去括号、移项、合并同类项的化简；依据化简后的形式做判定，不能只观察原式的表面形式。 3、求解二次函数参数漏掉系数约束 易错提醒：若已知一个函数是二次函数求参数，既要令自变量的最高次数等于2，同时必须保证二次项的系数不等于0。 4、只凭a的正负判断开口宽窄 易错提醒：对于y=ax2，由|a|决定开口的宽窄；|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大；a的正负只决定开口方向，不决定宽窄。 5、找错y=ax2增减性的分界线 易错提醒：抛物线y=ax2增减性的分界线是y轴，即直线x=0；a>0，x<0时，y随x增大而减小，x>0时，y随x增大而增大；a<0，x<0时，y随x增大而增大，x>0时，y随x增大而减小。 6、抛物线平移记错变化位置 易错提醒：对于顶点式y=a(x-h)2+k，左右平移改变h的值，遵循“左加右减（只针对自变量x）”；上下平移改变k的值，遵循“上加下减”；平移的运算对象不可混淆。 7、看错顶点式中h的符号 易错提醒：y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h，不是x=-h；解析式中的负号是固定形式，不要反向改变h的符号。 8、混淆图像平移与点坐标平移的用法 易错提醒：抛物线平移规律是针对解析式中x与常数的变换，和平面内单个点的坐标平移规则一致；切忌记成“左减右加”。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k 的图象和性质 ★ 题型六 y=a(x-h)2 的图象和性质 ★ 题型七 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 列二次函数关系式 1．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为， ∵面积为， ∴与的函数解析式是． 2．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______． 【答案】/ 【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 【详解】解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 题型二 二次函数的识别 4．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除非整式的选项，再根据自变量最高次数判断剩余选项． 【详解】解：A选项自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项符合二次函数定义，符合． C选项与D选项的分母均含自变量，不是整式函数，不符合． 5．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中属于二次函数的是（     ） A．②③④ B．①④ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据二次函数自变量最高次数为且二次项系数不为的特征进行判断． 【详解】解：①自变量最高次数为，不是二次函数； ④自变量最高次数为，不是二次函数； ②，③，⑤的自变量最高次数均为，且二次项系数不为，均为二次函数． 6．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A. 含有分式，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C. 是二次函数，符合题意； D. ，若，原函数为一次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，明确二次函数的定义是解题的关键． 题型三 根据二次函数的定义求参数 7．若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵ 是关于 的二次函数， ∴， ∴． 8．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 9．若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，得到的最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴的最高次数满足，且二次项系数， 整理方程得， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 10．若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键． 由题意知，，令，则，由二次函数的图象与轴有公共点，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 令，则， ∵二次函数的图象与轴有公共点， ∴， 解得，， ∴的取值范围是且， 故选：D． 题型四 y=ax2的图象和性质 11．关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．开口向上 B．图像位于二、四象限 C．有最低点 D．在y轴左侧，图像上升 【答案】D 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，即可判断． 【详解】解：A、∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向下，故选项错误，不符合题意； B、∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及过原点，故选项错误，不符合题意； C、∵抛物线开口向下， ∴有最高点，故选项错误，不符合题意； D、∵该抛物线对称轴为直线（即轴），开口向下， ∴在轴左侧，随的增大而增大，即图像上升，故选项正确，符合题意． 12．若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义得到的次数为，由开口向上得到二次项系数大于，联立方程和不等式解答即可求解． 【详解】解：∵是二次函数，且开口向上， ∴， 解方程，得， ∴或， 解不等式，得， ∴不符合题意，舍去， ∴． 13．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 题型五 y=ax2+k 的图象和性质 14．函数的图象开口方向___________，对称轴为___________，顶点是___________． 【答案】 向上 直线 【分析】根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合二次函数顶点形式确定对称轴和顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数， ∴ 函数图象开口向上， 将函数整理为顶点式得， 根据二次函数顶点式的性质，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴ 可得该函数对称轴为直线，顶点坐标为． 15．已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，分别代入得，，故． 【详解】解：将代入， 得， 将代入，得． ∵， ∴． 16．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，抛物线开口向上，即可得解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大, 抛物线开口向上，即， 解得． 17．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则m的值为___________． 【答案】1 【分析】令求出点A的坐标，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质得出点C的坐标，将点C代入抛物线解析式得到关于m、a、c的关系式，结合即可求出m的值． 【详解】解：如图，连接， 令，则， 点A的坐标为，即． 四边形是正方形，且点A在y轴上， 点B、C关于y轴对称，，且与互相平分， 点C的横坐标为，纵坐标为， 则点C的坐标为． 点C在二次函数的图象上， ，整理得， ， 整理得，即， ， ． 题型六 y=a(x-h)2 的图象和性质 18．二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 19．二次函数在第三象限的图象从左到右（     ） A．逐渐下降 B．逐渐上升 C．先上升再下降 D．先下降再上升 【答案】B 【分析】先结合题意画出图象，再根据二次函数图象的性质可得答案． 【详解】解：如图： 由图可得，二次函数的图象是开口向下对称轴为的抛物线，且当时，函数值随着x的增大而增大， ∴二次函数在第三象限从左到右逐渐上升． 20．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 21．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三个性质确定二次函数的解析式形式和参数取值范围，即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：∵函数图象的顶点在轴上， ∴设二次函数的解析式为， ∵该函数图象的形状与的图象相同， ∴， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴，且对称轴， ∴取，可得满足所有性质的二次函数为． 题型七 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 22．在函数 中，当时， 随的增大而___________________． 【答案】增大 【分析】已知二次函数顶点式，需先确定抛物线的开口方向与对称轴，再判断时的增减性． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数为， ∴抛物线开口向上，该抛物线的对称轴为直线， ∵是对称轴右侧的区间，开口向上的抛物线，对称轴右侧随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大． 23．已知函数使使成立的的值恰好只有2个时，则满足的条件是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数的图象．画出图象，使成立的的值恰好只有2个．即函数图象与这两个条直线有2个交点，据此观察图象求解． 【详解】解：画出函数解析式的图象， 使成立的的值恰好只有2个即函数图象与这两个条直线有2个交点， 由图象及解析式可知，当或时，函数图象与这两个条直线恰好有2个交点． 故答案为：或． 24．已知，则二次函数的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，结合对应字母的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，在轴的左侧，顶点坐标为，位于第二象限， ∴只有C选项的图象符合题意. 题型八 二次函数图象的平移 25．把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律得到平移后的解析式． 【详解】解：把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为． 26．将二次函数的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原二次函数的顶点坐标为，图象向下平移3个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∴平移后所得图象的函数解析式为． 27．将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新解析式． 【详解】解：原二次函数解析式为， 将图象向左平移3个单位长度，根据平移规律对自变量左加，得到， 即再将图象向上平移2个单位长度，根据平移规律对常数项上加，得到， 整理得新二次函数解析式为． 28．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将平移后的抛物线反向平移得到原抛物线，化为一般式即可求得，的值． 【详解】解：， 将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到原抛物线， 原抛物线解析式为， 整理得， ∴，． 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 29．二次函数化为的形式，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 30．已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴将抛物线的一般式转化为顶点式：， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线解析式与二次函数性质的联系，用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式是解题的关键． 31．在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b；是实数，）的最小值分别为m和n，若，则的值为(   ) A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意配出顶点式，可分别写出和，再根据，写出，推出，即可求出和，即可求出． 【详解】解：由题意可知，有最小值， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ； 故选：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值，解题关键是用含有、的式子表示出和． 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 32．抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 33．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 34．如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分类求解确定MN的位置，进而求解． 【详解】解：解 得或， ∴点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（2，0）， 当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， ∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤＜2； 当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 当点M在点B的右侧时，当 ＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 综上，﹣1≤＜2 或＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化﹣平移，分类求解确定MN的位置是解题的关键． 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 35．已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真观察函数图象，得抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，当时，；当时，；当时，；故当时，有最小值，最大值2，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， 在对称轴的左边时，随着的增大而增大， 依题意，当时，；当时，； ∵对称轴为直线， ∴当时，； 当时，有最小值，最大值2， 故选：D． 36．已知二次函数，当时，随x的增大而增大，当时，随的增大而减小，则的值是_________． 【答案】 【分析】由二次函数的增减性可得对称轴为直线，利用二次函数对称轴公式即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为直线， 对于二次函数，对称轴公式为， 将，对称轴代入公式得：， 解得． 37．若二次函数的图象过，，三点，则，，大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的二次项系数，开口向上，对称轴为直线， 当抛物线开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ， ， ． 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 38．已知二次函数（，其中，），则该函数的大致图像是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像，根据与y轴交点在y轴正半轴上，根据开口及判断对称轴即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴与y轴交点在y轴正半轴上，排除A，C， ∵B，D开口向下， ∴， ∵， ∴对称轴在y轴右边， 故选：D． 39．已知二次函数（、为常数，且）的图象如图所示，则点在第________象限． 【答案】 二 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，判断出，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， 即当时，， 点在第二象限． 40．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意； B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意； C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意； D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意． 故选D． 解答题 1．二次函数的图象如图所示． (1)求的取值范围； (2)若抛物线上有，，三个点，则，，的大小关系为（     ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1) (2)A 【分析】（1）根据抛物线的开口向上得到，然后解不等式即可； （2）由抛物线的对称轴为y轴，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数的图象开口向上， ∴，解得； （2）解：由二次函数可知，图象的对称轴为y轴，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 抛物线上的三个点，，中，， ∴． 2．把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)平移前的抛物线的解析式为． (2)当时，函数取得最大值，最大值为2． (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线， ，． ． 平移前的抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，函数取最大值，最大值为2． （3）解：由（1）可知抛物线的解析式为，对称轴为直线，且， 当时，函数的值y随x的增大而减小． 3．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先描点，然后再连线即可解答； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 2 0 2 描点、连线略． （2）解：∵二次函数， ∴该函数的抛物线开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，二次函数有最小值， ∵当时，二次函数的函数值，当时，二次函数的函数值， ∴二次函数有最大值8， ∴当时，的取值范围为． 4．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）把函数解析式化为，可得当，即时，，即可； （3）求出原函数的顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）解：∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 5．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； (3)将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线. (2). (3)或. 【分析】（1）把抛物线化成顶点式，解答即可； （2）根据点，在抛物线上，且，把坐标代入解析式，借助函数值关系建立不等式，解答即可； （3）根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点，继而得到，根据抛物线与线段始终有两个公共点利用分类思想，二次函数的性质，从特殊点入手，解答即可． 【详解】（1）解：由抛物线， 故， 故抛物线的对称轴为直线． （2）解：根据题意，得点，在抛物线上，且， 故， ， ， ， ， ． （3）解：根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点， 故点， 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与的另一个交点为，且， 满足抛物线与线段始终有两个公共点； 根据抛物线的性质，得到的值越大，抛物线的开口越小， 故此时； 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与只有一个公共点， 根据抛物线的性质，得到的值越小，抛物线的开口越小， 且满足抛物线与线段始终有两个公共点； 此时有； 综上所述，符合题意的的取值范围是或． 6．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． (3)结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 【答案】(1) (2) 描点、连线画出函数的图象如图， (3)①或；②2；③或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）①根据图像写出范围即可；②根据图像，结合表格可知有三个解，分别为，再求和即可；③先求出的根，结合图像写出不等式的解即可． 【详解】（1）把代入得，， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）①由图可知，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或； ②根据图像，结合表格可知有三个解， 分别为， 所以所有解的和为， 故答案为：2； ③不等式， 当时， 当时，，即， 解得（舍）， 当当时，，即， 解得， ∴原不等式的解为或． 故答案为：或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数的意义及图象期中复习讲义 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如 y=ax2+bx+c(a、b、c\) 是常数，a≠0的函数叫做二次函数。 2.各项名称 ax2：二次项，a 是二次项系数； bx：一次项，b 是一次项系数； c：常数项。 3.关键限制条件：a≠0 若 a=0，式子变为 y=bx+c，是一次函数，不再是二次函数；b、c可以等于 0。 4.三种特殊简化形式 b=0,c=0：y=ax2（最简二次函数，本节课图像研究基础） b=0：y=ax2+c c=0：y=ax2+bx 知识点02：判断一个函数是否为二次函数的步骤 1.整理等式，把所有项移到等号左侧，化为 y= 含 x 代数式的形式； 2.检查自变量 x 的最高次数是否为 2； 3.确认二次项系数 a≠0； 同时满足以上两点才是二次函数。 知识点03：含参数的二次函数求字母取值 题型：已知 y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求 m。 解题两个条件： x 的次数 = 2；。 二次项系数≠0；联立方程求解，舍去使系数为 0 的解。 知识点04：列实际问题中的二次函数解析式 通用步骤 审题，分清自变量 x、因变量 y； 根据几何公式、数量关系找等量关系； 列出等式，整理成 y=ax2+bx+c标准形式； 根据实际场景写出自变量取值范围（长度 > 0、人数为正整数等）。 常见模型：矩形 / 正方形面积、利润问题、动点线段面积问题。 知识点05：函数对比辨析 知识点06:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 知识点07:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点08:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 知识点09:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点10:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 1、判定二次函数忽略二次项系数不为0 易错提醒：形如y=ax2+bx+c的函数，必须满足a≠0，才属于二次函数；当a=0时，函数变为一次函数或常数函数，判定时不可缺少a≠0这个条件。 2、未化简就直接判定函数类型 易错提醒：判断一个关系式是否为二次函数，先要进行去括号、移项、合并同类项的化简；依据化简后的形式做判定，不能只观察原式的表面形式。 3、求解二次函数参数漏掉系数约束 易错提醒：若已知一个函数是二次函数求参数，既要令自变量的最高次数等于2，同时必须保证二次项的系数不等于0。 4、只凭a的正负判断开口宽窄 易错提醒：对于y=ax2，由|a|决定开口的宽窄；|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大；a的正负只决定开口方向，不决定宽窄。 5、找错y=ax2增减性的分界线 易错提醒：抛物线y=ax2增减性的分界线是y轴，即直线x=0；a>0，x<0时，y随x增大而减小，x>0时，y随x增大而增大；a<0，x<0时，y随x增大而增大，x>0时，y随x增大而减小。 6、抛物线平移记错变化位置 易错提醒：对于顶点式y=a(x-h)2+k，左右平移改变h的值，遵循“左加右减（只针对自变量x）”；上下平移改变k的值，遵循“上加下减”；平移的运算对象不可混淆。 7、看错顶点式中h的符号 易错提醒：y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h，不是x=-h；解析式中的负号是固定形式，不要反向改变h的符号。 8、混淆图像平移与点坐标平移的用法 易错提醒：抛物线平移规律是针对解析式中x与常数的变换，和平面内单个点的坐标平移规则一致；切忌记成“左减右加”。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k 的图象和性质 ★ 题型六 y=a(x-h)2 的图象和性质 ★ 题型七 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 列二次函数关系式 1．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______． 3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的识别 4．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中属于二次函数的是（     ） A．②③④ B．①④ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 6．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据二次函数的定义求参数 7．若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 8．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 9．若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 10．若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 题型四 y=ax2的图象和性质 11．关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．开口向上 B．图像位于二、四象限 C．有最低点 D．在y轴左侧，图像上升 12．若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 13．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型五 y=ax2+k 的图象和性质 14．函数的图象开口方向___________，对称轴为___________，顶点是___________． 15．已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 16．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则m的值为___________． 题型六 y=a(x-h)2 的图象和性质 18．二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴 19．二次函数在第三象限的图象从左到右（     ） A．逐渐下降 B．逐渐上升 C．先上升再下降 D．先下降再上升 20．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 21．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 题型七 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 22．在函数 中，当时， 随的增大而___________________． 23．已知函数使使成立的的值恰好只有2个时，则满足的条件是___________． 24．已知，则二次函数的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 题型八 二次函数图象的平移 25．把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为___________． 26．将二次函数的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 27．将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 28．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 29．二次函数化为的形式，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 30．已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是______． 31．在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b；是实数，）的最小值分别为m和n，若，则的值为(   ) A．0 B． C． D． 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 32．抛物线的对称轴是直线_______． 33．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．  C．  D．   34．如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D．或 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 35．已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 36．已知二次函数，当时，随x的增大而增大，当时，随的增大而减小，则的值是_________． 37．若二次函数的图象过，，三点，则，，大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 38．已知二次函数（，其中，），则该函数的大致图像是（    ） A． B． C．D． 39．已知二次函数（、为常数，且）的图象如图所示，则点在第________象限． 40．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 解答题 1．二次函数的图象如图所示． (1)求的取值范围； (2)若抛物线上有，，三个点，则，，的大小关系为（     ） A．    B．    C．    D． 2．把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 3．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)若，求的取值范围． 4．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 5．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； (3)将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 6．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． (3)结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $