专题10弧长及扇形面积期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题10弧长及扇形面积期中复习讲义 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形面积两大公式 公式 1（已知圆心角、半径） 公式 2（已知弧长、半径，简化公式） 选用技巧 题目给出弧长优先用公式 2，计算步骤更少；仅给圆心角、半径用公式 1。 变形公式 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05：不规则阴影面积通用解题方法 1.和差法 整体图形面积减去空白扇形、三角形面积；多个不重叠扇形直接相加。 2.割补平移法 分散的小扇形通过平移、拼接，合并成一个完整标准扇形简化计算。 3.旋转转化法 图形绕定点旋转后，零散阴影合并为单一扇形，快速求面积。 4.容斥法 多个图形重叠阴影，总面积减去重叠空白部分。 1、弧长公式与扇形面积公式混淆 易错提醒：弧长公式l=；扇形面积公式S=。重点区分半径R的指数，弧长公式中R是一次方，扇形面积公式中R是二次方。 2、误将直径直接代入公式的半径项 易错提醒：两个公式中的R特指圆的半径；当题目给出直径时，必须先除以2换算成半径，再代入公式计算。 3、对参数n的含义理解有误 易错提醒：公式中的n表示圆心角的度数数值，只填入纯数字；不可携带度数符号“°”代入式子运算。 4、扇形第二个面积公式错用弦长代替弧长 易错提醒：扇形第二个面积公式S=lR，式中l是扇形的弧长，不是扇形的弦长，严禁代入弦长进行计算。 5、阴影图形面积和差关系判定错误 易错提醒：含圆弧的阴影面积计算，要精准识别基础图形（扇形、三角形、弓形），理清图形之间的加减关系，不可凭视觉随意拆分组合。 6、误用弧度制的圆心角代入公式 易错提醒：课本两个公式仅适用于角度制的圆心角；若给出弧度，不能直接代入字母n，需要完成单位换算。 7、滚动模型找错轨迹的圆心与半径 易错提醒：圆或者扇形做无滑动滚动时，其上点的运动轨迹的圆心、半径，不一定等同于原始图形的圆心与半径，不能直接使用原有半径求弧长。 8、最终结果π的书写出现失误 易错提醒：没有特殊说明时，结果保留；不可随意舍去，也不得重复多加一个。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★★ 题型二 求扇形半径 ★★ 题型三 求圆心角 ★★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★★ 题型五 求扇形面积 ★★ 题型六 求弓形面积 ★★★ 题型七 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型八 求图形旋转后扫过的面积 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求弧长 1．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为． 2．如图，上海市某处A位于北纬（即），东经，大连市某处B位于北纬（即），东经．设地球的半径约为R千米，则在东经所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（     ）千米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆心角为两地的纬度差，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：点A和点B之间的劣弧长约为（千米）． 3．如图，和是两个不完全重合的直角三角板，，斜边长为，三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，旋转所构成的扇形的弧长为_____． 【答案】π 【分析】先利用含角的直角三角形性质求出长度，结合旋转性质得到，判定为等边三角形，得出旋转角，最后代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：在中，，，， ∴（）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长（）． 4．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 题型二 求扇形半径 5．一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 【答案】6 【分析】根据扇形的面积公式，将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为，已知扇形的弧长，面积． 由扇形面积公式，可得 化简得 两边同时除以，得． 6．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 7．圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的母线长是______cm． 【答案】4 【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径即为母线长； 【详解】设圆锥的母线长为R，即其侧面展开图的半径为R， 根据题意得： 解得: 故答案为：4 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长及熟记弧长公式和扇形的面积公式是解答本题的关键． 8．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式的应用，同圆心角的扇形面积与半径的平方成正比，根据面积关系即可求出更小扇形的半径． 【详解】设裁剪出的更小扇形的半径为，折叠后的小扇形的半径． ∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同， ∴面积比等于半径平方的比， 又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的， ∴， 代入得， 解得，半径为正，舍去负解， 因此裁剪出的更小扇形的半径为， 故选B． 题型三 求圆心角 9．在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题关键． 根据弧长公式计算圆心角度数即可． 【详解】解：设所对圆心角的度数为n， 由题意，得， 解得， 故选：B． 10．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 【答案】/度 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 解得：． 11．如图是圆锥及其侧面展开图．若，，则圆锥展开图中为_______． 【答案】135° 【分析】由扇形的弧长=底面圆的周长，根据弧长公式进行计算即可得到答案. 【详解】解：设扇形的角为n 依题意得： 解得： 故答案为：135°. 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图与弧长公式，解题的关键在于能够熟记弧长公式. 12．如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式与弧长公式的综合应用，需先通过大扇形的面积求出圆心角，再结合中点条件确定小扇形的半径，进而计算弧长． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 根据题意，得：， 解得， 即圆心角． ∵、分别为、的中点， ∴， ∴的长为． 故选：B． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 13．一个挂钟的分针长，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（    ）（取）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分针尖端走过的路程是弧长，分针长度相当于半径，经过小时，分针转过的角度为，利用弧长公式计算． 【详解】解：∵分针长，经过时间小时， ∴分针转过的角度， ∴弧长， 当时，即， 故选：A． 14．为进一步发展绿色新能源、推动能源结构优化升级，某地将风力发电项目作为绿色新能源推广试点．如图①，是“大风车”风力发电场的外景．如图②，是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，叶片与塔架垂直，当有风吹过，叶片顺时针缓缓转动．已知叶片的长度为米，当叶片第一次旋转到与塔架重合时，点所经过的路径长为________米（结果保留）． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算路径长度即可． 【详解】解：米，， 则点所经过的路径长为米． 15．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 【答案】 【分析】利用正六边形的性质得出是等边三角形，得出，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 16．如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 到点 ，使 ，连接 ，由 垂直平分 ，得 ，则   ，所以 ，由点 与点 关于直线 对称，得 ，当点 与点 重合时，则点 与点 重合，所以点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2 的圆上的一段弧，即 ，根据弧长公式求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长 到点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 与点 关于直线 对称， ∴直线 垂直平分 ， ， ∴点 在以点 为圆心，半径为2的圆上运动， ∵当点 与点 重合时，则点 与点 重合， ∴点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2的圆上的一段弧，即 ， ， ∴点 的运动路径长为 ， 故选：C．  ． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，弧长公式，轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型五 求扇形面积 17．一个扇形的半径为，圆心角为，此扇形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】牢记扇形面积公式，代入对应数值计算即可． 【详解】解：扇形面积公式为. 由题意可知，圆心角，半径. 可得：. 18．如图，点A，B，C是上的点，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆周角定理求出，然后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴扇形的面积为． 19．如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵ ∴ . 20．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 题型六 求弓形面积 21．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角、扇形面积和三角形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式和三角形面积公式． 22．如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积． 先设线段与线段的交点为，通过是中点，证明和都是等边三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理得出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，设线段与线段的交点为， ∵是中点，， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 23．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 题型七 求其他不规则图形的面积 24．如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出，根据两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）计算即可． 【详解】解：中，， ， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积） ， 故选：C． 25．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 26．如图，在中，，，分别以点为圆心作扇形、扇形，且点在边上，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理判断是等腰直角三角形，推出，再利用图中阴影部分的面积为计算即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 27．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，分别交，边于点，．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，得到，，推出阴影部分的面积，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 题型八 求图形旋转后扫过的面积 28．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 29．如图，在中，已知，，，点P从A点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，将沿折叠，点A落在点处．在整个运动过程中，点到直线的最大距离为______；点P到达点B时，线段扫过的面积为______． 【答案】 【分析】（1）首先得到点的运动轨迹是以点C为圆心，为半径的圆上，如图，当时，点到直线的距离最大，过点B作，求出，，然后求出，，进而求解即可； （2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解． 【详解】解：（1）由题意可得点的运动轨迹是以点C为圆心，为半径的圆上， ∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，， ∴最大为 如图，当时，点到直线的距离最大，过点B作， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点到直线距离的最大值是； （2）如图，当点P到达点B时， 由折叠得， ∴， ∴ ∴线段扫过的面积为：． 30．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 解答题 1．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 2．如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：， ， 又，， (AAS)； (3)；②3 【分析】（1）求劣弧长，需先确定其所对圆心角及圆半径，再用弧长公式计算． （2）利用圆中弧与角的关系找全等条件，用全等判定定理证明． （3）①通过角度关系求，在直角三角形中用三角函数求，进而得 ②构造辅助线，利用三角形相关性质确定EF与其他线段关系，根据三边关系求最大值． 【详解】（1）连接， ， 为等边三角形，， ； （2）略 （3）①连接 由（1）得， 当时，， 在中，， ； ②取中点，连接， 是中点， ， 在中，为中点，为中点， ， 因为，是中点， 在中， ， 在中，根据三角形三边关系 ，当、、三点共线时取等号 ，所以最大值为 ． 【点睛】本题主要考查圆的相关性质，包括弧长计算、圆周角与弧的关系，以及三角形的知识，如等边三角形判定、全等三角形判定、直角三角形边角关系、三角形中位线定理和三边关系等，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 3．如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． (1)__________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若为，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)是等腰三角形 (3) 【分析】（）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，进行求解即可； （2）由圆周角定理可得，，进而可证，即可求证； （3）利用圆心角和弧的关系可得，进而可得为等边三角形，即可得，，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴； 综上，； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：连接， ∵为， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，余角性质，等腰三角形的判定，圆心角和弧的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弓形的面积，掌握圆的有关性质是解题的关键． 4．如图，点A，B，C，D均在圆上，，平分，，四边形的周长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】设的中点为O，连接，证明得，证明，都是等边三角形可得，作于点H，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接， 因为， 所以，， 因为平分， 所以， 所以，， 所以为圆的直径，点O为圆心， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 同理可证，，都是等边三角形， 所以， 因为四边形的周长为， 所以， 所以半径为， 作于点H，则， 所以 所以， 所以， 因为， 所以． 5．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2) 解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． 6．将一副三角板如图1摆放，已知，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当三角板旋转到时，如图2，线段扫过的面积是________； (2)在旋转过程中，与的交点为P，若为等腰三角形，求t的值； (3)当边与边分别交于点M，N时，如图3，连接，设，，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)当t为3或或12时，有两个内角相等 (3)证明：是的一个外角，是的一个外角，，，，， ，， 又，， ， ， ， 是定值． 【分析】（1）连接，先求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，然后根据三角形外角的性质可得的度数，再根据弧长公式解答即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解； （3）根据三角形外角的性质可得，，再结合三角形内角和定理，即可求证． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意得：， ∵平分， ∴， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积是； （2）解：∵平分， ∴， 如图，当时， 此时； 如图，当时， ∵，， ∴， 此时； 如图，当时， ， 此时， 综上所述：当 t 为 3 或或 12 时，有两个内角相等； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10弧长及扇形面积期中复习讲义 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形面积两大公式 公式 1（已知圆心角、半径） 公式 2（已知弧长、半径，简化公式） 选用技巧 题目给出弧长优先用公式 2，计算步骤更少；仅给圆心角、半径用公式 1。 变形公式 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05：不规则阴影面积通用解题方法 1.和差法 整体图形面积减去空白扇形、三角形面积；多个不重叠扇形直接相加。 2.割补平移法 分散的小扇形通过平移、拼接，合并成一个完整标准扇形简化计算。 3.旋转转化法 图形绕定点旋转后，零散阴影合并为单一扇形，快速求面积。 4.容斥法 多个图形重叠阴影，总面积减去重叠空白部分。 1、弧长公式与扇形面积公式混淆 易错提醒：弧长公式l=；扇形面积公式S=。重点区分半径R的指数，弧长公式中R是一次方，扇形面积公式中R是二次方。 2、误将直径直接代入公式的半径项 易错提醒：两个公式中的R特指圆的半径；当题目给出直径时，必须先除以2换算成半径，再代入公式计算。 3、对参数n的含义理解有误 易错提醒：公式中的n表示圆心角的度数数值，只填入纯数字；不可携带度数符号“°”代入式子运算。 4、扇形第二个面积公式错用弦长代替弧长 易错提醒：扇形第二个面积公式S=lR，式中l是扇形的弧长，不是扇形的弦长，严禁代入弦长进行计算。 5、阴影图形面积和差关系判定错误 易错提醒：含圆弧的阴影面积计算，要精准识别基础图形（扇形、三角形、弓形），理清图形之间的加减关系，不可凭视觉随意拆分组合。 6、误用弧度制的圆心角代入公式 易错提醒：课本两个公式仅适用于角度制的圆心角；若给出弧度，不能直接代入字母n，需要完成单位换算。 7、滚动模型找错轨迹的圆心与半径 易错提醒：圆或者扇形做无滑动滚动时，其上点的运动轨迹的圆心、半径，不一定等同于原始图形的圆心与半径，不能直接使用原有半径求弧长。 8、最终结果π的书写出现失误 易错提醒：没有特殊说明时，结果保留；不可随意舍去，也不得重复多加一个。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★★ 题型二 求扇形半径 ★★ 题型三 求圆心角 ★★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★★ 题型五 求扇形面积 ★★ 题型六 求弓形面积 ★★★ 题型七 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型八 求图形旋转后扫过的面积 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求弧长 1．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 2．如图，上海市某处A位于北纬（即），东经，大连市某处B位于北纬（即），东经．设地球的半径约为R千米，则在东经所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（     ）千米 A． B． C． D． 3．如图，和是两个不完全重合的直角三角板，，斜边长为，三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，旋转所构成的扇形的弧长为_____． 4．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 题型二 求扇形半径 5．一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 6．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 7．圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的母线长是______cm． 8．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 题型三 求圆心角 9．在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 11．如图是圆锥及其侧面展开图．若，，则圆锥展开图中为_______． 12．如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 13．一个挂钟的分针长，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（    ）（取）． A． B． C． D． 14．为进一步发展绿色新能源、推动能源结构优化升级，某地将风力发电项目作为绿色新能源推广试点．如图①，是“大风车”风力发电场的外景．如图②，是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，叶片与塔架垂直，当有风吹过，叶片顺时针缓缓转动．已知叶片的长度为米，当叶片第一次旋转到与塔架重合时，点所经过的路径长为________米（结果保留）． 15．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 16．如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 题型五 求扇形面积 17．一个扇形的半径为，圆心角为，此扇形的面积为______．（结果保留） 18．如图，点A，B，C是上的点，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 19．如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 20．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 题型六 求弓形面积 21．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 22．如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 23．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型七 求其他不规则图形的面积 24．如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 25．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 26．如图，在中，，，分别以点为圆心作扇形、扇形，且点在边上，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，分别交，边于点，．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型八 求图形旋转后扫过的面积 28．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 29．如图，在中，已知，，，点P从A点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，将沿折叠，点A落在点处．在整个运动过程中，点到直线的最大距离为______；点P到达点B时，线段扫过的面积为______． 30．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 解答题 1．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 2．如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 3．如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． (1)__________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若为，，求阴影部分的面积． 4．如图，点A，B，C，D均在圆上，，平分，，四边形的周长为，求图中阴影部分的面积． 5．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 6．将一副三角板如图1摆放，已知，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当三角板旋转到时，如图2，线段扫过的面积是________； (2)在旋转过程中，与的交点为P，若为等腰三角形，求t的值； (3)当边与边分别交于点M，N时，如图3，连接，设，，，证明：为定值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $