第07讲：直线的交点坐标与距离公式讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第07讲：直线的交点坐标与距离公式 题型一、直线交点参数问题 2 题型二、两点间的距离问题 3 题型三、两点间的距离求函数最值问题 4 题型四、点到直线的距离或参数问题 6 题型五、两平行线间的距离问题 7 题型六、求点关于直线对称问题 8 题型七、求直线关于直线对称问题 9 题型八、直线关于点对称问题 11 题型九：点到直线距离最值问题 12 题型十、交点与距离的综合应用问题 13 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 题型一、直线交点参数问题 【例1】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．又两直线垂直，则，解得． ，即，将交点代入直线的方程中，得．将交点代入直线的方程中，得．所以，． 故选：B． 【变式1】．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得.即点.故选：B. 【变式2】．（23-24高二上·上海·阶段检测）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故选：C 题型二、两点间的距离问题 【例2】．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得. 故选：A 【变式1】．（22-23高二上·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】由两点间的距离公式得：，解得.故选：D 【变式2】．（24-25高二上·山东青岛·期中）数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 【答案】 【详解】因的顶点，则其重心为,即； 显然的外心在线段的中垂线上，故可设，由，可得，解得,则外心坐标为，于是, 故欧拉线方程为：，即. 故答案为：. 题型三、两点间的距离求函数最值问题 【例3】．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【详解】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以，， 故最小值为，此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 【变式1】．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 题型四、点到直线的距离或参数问题 【例4】．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【详解】直线，即，所以点到直线的距离． 故答案为：． 【变式1】．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【详解】因为点到直线的距离为1，所以，解得或. 故答案为：或. 【变式2】．（23-24高二上·山东济宁·阶段检测）垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是______． 【答案】或 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 则由点到直线的距离公式知，． 所以，即，得或， 故所求直线l的方程为或. 故答案为：或 题型五、两平行线间的距离问题 【例5】．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）直线：与直线：间的距离为________． 【答案】 【详解】直线的方程可化为， 直线：与直线：间的距离为 【变式1】．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 【答案】或 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式2】．（22-23高二上·福建福州·期中）已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为__________. 【答案】或 【详解】设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得， 或，直线的方程为或. 故答案为：或 题型六、求点关于直线对称问题 【例6】．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1，所以的斜率为-1，即，化简得，又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和，解得故对称点为. 故答案选：B. 【变式1】．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线，， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 【变式2】．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上，综上，点、均在反射光线所在直线上，所以，所求直线为，即.故选：A 题型七、求直线关于直线对称问题 【例7】．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式1】．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【变式2】．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 题型八、直线关于点对称问题 【例8】．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【答案】A 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为，可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 【变式1】．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式2】．（22-23高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 题型九：点到直线距离最值问题 【例9】．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】 【详解】直线：， 整理得：．联立，解得， 所以直线恒过定点，由几何性质，点到直线的距离， 当时等号成立，， 所以点到直线的距离的最大值为． 【变式1】．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 【变式2】．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为直线，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，到直线l的距离最大， 此时， 又因为当直线过点时，，所以. 故答案为：. 题型十、交点与距离的综合应用问题 【例10】．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【答案】(1) (2)① 斜率为或；② 光线路程：； 【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴，∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 【变式1】．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知在中，点，角的角平分线为，边上的中线所在直线为．（注：结果都写成直线方程的一般式） (1)求过点且两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求边所在直线方程． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由题意，直线过点，且两坐标轴上截距互为相反数． ①当直线过原点时，设直线的方程为． 将点代入得，解得． 此时直线方程为，即； ②当直线不过原点时，设方程为． 因为截距互为相反数，所以，方程化为，即． 将点代入得：，解得． 此时直线方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． （2）因为的角平分线为，所以点在直线上． 设点的坐标为． 设的中点为，则的坐标为，即， 因为边上的中线过点，且的方程为， 所以，解得，所以点的坐标为． （3）点关于直线的对称点为． 因为是的角平分线，所以点在直线上． 设直线的方程为． 将和代入得，解得． 所以直线的方程为． 联立直线与中线的方程：，解得，即点的坐标为． 设直线的方程为， 将和代入得：，解得， 所以直线的方程为，即． 【变式2】．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，斜率为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 因此边所在直线的方程为，即． （2）设点的坐标为， 因为边上的高所在直线方程为，所以， 又因为点是边的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，解得，所以点的坐标为． （3）由（2）可得点的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的平分线所在的直线斜率为，其中任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为，则， 所以，即或， 化简得或， 又因为，，所以， 所以结合图形可知的平分线所在直线的方程为． 一、单选题 1．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 所以直线与的交点为， 又与直线垂直的直线斜率， 所以直线方程为，即. 2．（26-27高二上·北京东城·阶段检测）过点且与点、距离相等的直线方程为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】直线的斜率为， 则过点且与直线平行的直线方程为，即； 线段的中点为， 则直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 故符合题意的方程为或 3．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 4．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 5．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，点在与之间，且到这两条直线的距离相等，所以点在平行于这两条直线的直线上， 设该直线的方程为，则，解得， 故的最小值为点到直线的距离，即. 6．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 7．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 二、多选题 8．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（，），若与之间的距离为2，则的值可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得与平行，则，从而：， 故与之间的距离为或. 9．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点，，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与线段PQ有交点，则 C．若直线l垂直于直线PQ，则 D．点P到直线l的距离的最大值为3 【答案】AC 【详解】对于A，因为直线的方程可化为，令且，所以直线过定点，故A正确． 对于B，如下图，因为直线过定点，且，所以，故B错误． 对于C，， 直线斜率为，若直线，则，得，故C正确． 对于D，当直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故D错误． 故选：AC 10．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）关于直线，下列说法正确的有（     ） A．原点到直线距离为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线与直线垂直 D．直线与直线平行，且距离为 【答案】AC 【详解】对于选项A：根据点到直线的距离公式，原点到直线的距离，A正确； 对于选项B：由，令，可得，即，直线在轴上的截距为而非，B错误； 对于选项C：直线的斜率，直线的斜率，满足，因此两直线互相垂直，C正确； 对于选项D：直线的斜率为，在轴上的截距为， 直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线的斜率相等、在轴上的截距不同，所以两直线平行； 根据平行线距离公式可得两直线间的距离，D错误. 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 【答案】ABC 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确； 对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确； 对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确； 对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 三、填空题 12．（26-27高二上·江苏·阶段检测）直线，直线，当时，两直线间的距离为__________. 【答案】 【详解】两条直线，，平行的充要条件为且. 代入本题直线系数得：，即，解得或. 排除重合情况： 当时，，，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，化简为，，两直线平行，符合要求. 计算两直线距离：平行直线距离公式为，代入参数得：. 13．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）已知三条直线：，：，：相交于一点，则________． 【答案】 【详解】联立直线与的方程： ， 两式相加消去，得，解得， 将代入，得，解得，因此与的交点为， 由于三条直线相交于一点，故点在直线上， 将代入的方程，得 解得. 14．（26-27高二上·上海长宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，；点在线段上并且平分，则点的坐标为______ 【答案】 【详解】因为，，，点和点的横坐标相同，则， ， 因为平分，由角平分线定理可得， 即是线段上满足的点， 由定比分点规则代入比例计算可得横坐标， 纵坐标，所以点的坐标为. 15．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 【答案】5 【详解】，， 则 表示为x轴上动点到点，点的距离之和， 不等式对任意实数恒成立，即， 最大值就是这个距离和的最小值， 作关于轴的对称点， ，所以， 根据两点之间线段最短，最小值就是线段的长度， ， 则最小值为，要使不等式恒成立， 则，所以的最大值是. 四、解答题 16．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 【答案】(1) 当时，，； 当时，，. (2)； 【详解】（1）由条件，， 因为，，则，即有 当时，，； 当时，，. （2）当时，必有，且与不重合. 若时，与重合，不符合题意，舍去， 时， 此时，与间的距离为. 17．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 此时直线垂直于PA，求出直线方程即可． 【详解】（1）由题意得表示原点与直线上的点的距离， 结合直线的性质可得的最小值为原点到直线所作垂线的长度， 设垂线长度为，由点到直线的距离公式得. （2）当时，直线，即为， 则经过点的直线的方程为， 此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去； 当时，可设直线的方程为，即为， 可得，解得，故直线方程为. （3）∵直线l：， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，，由此可得直线l恒过点， 所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∵，∴直线l的斜率为，∴，∴， ∴直线l的一般方程为． 18．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 【答案】(1) (2) (3)8 【详解】（1）设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. （2）设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. 19．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． (3)过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)由可得，， 令，所以直线过定点． （2）由（1）可知，直线恒过定点．点到直线的距离， 可以看作是点到经过点的动直线的垂线段长度， 根据几何性质，当直线与线段垂直时， 点到直线的距离达到最大，此时最大距离即为线段的长度． 则线段的斜率：， 因为直线与垂直，所以直线的斜率， 将直线的方程化为斜截式，其斜率为： 令， 即： 此时，点到直线的最大距离为，故. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为（）， 直线与轴、轴正半轴的交点分别为，， 令，得，令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲：直线的交点坐标与距离公式 题型一、直线交点参数问题 2 题型二、两点间的距离问题 2 题型三、两点间的距离求函数最值问题 3 题型四、点到直线的距离或参数问题 3 题型五、两平行线间的距离问题 3 题型六、求点关于直线对称问题 4 题型七、求直线关于直线对称问题 4 题型八、直线关于点对称问题 5 题型九：点到直线距离最值问题 5 题型十、交点与距离的综合应用问题 5 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 题型一、直线交点参数问题 【例1】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【变式1】．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高二上·上海·阶段检测）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型二、两点间的距离问题 【例2】．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（22-23高二上·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·山东青岛·期中）数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 题型三、两点间的距离求函数最值问题 【例3】．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【变式1】．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 题型四、点到直线的距离或参数问题 【例4】．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【变式1】．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【变式2】．（23-24高二上·山东济宁·阶段检测）垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是______． 题型五、两平行线间的距离问题 【例5】．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）直线：与直线：间的距离为________． 【变式1】．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 【变式2】．（22-23高二上·福建福州·期中）已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为__________. 题型六、求点关于直线对称问题 【例6】．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 题型七、求直线关于直线对称问题 【例7】．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式1】．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【变式2】．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八、直线关于点对称问题 【例8】．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【变式1】．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 题型九：点到直线距离最值问题 【例9】．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 【变式1】．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【变式2】．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 题型十、交点与距离的综合应用问题 【例10】．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【变式1】．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知在中，点，角的角平分线为，边上的中线所在直线为．（注：结果都写成直线方程的一般式） (1)求过点且两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求边所在直线方程． 【变式2】．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的平分线所在直线的方程． 一、单选题 1．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·北京东城·阶段检测）过点且与点、距离相等的直线方程为（    ） A．或 B． C． D．或 3．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 二、多选题 8．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（，），若与之间的距离为2，则的值可以取（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点，，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与线段PQ有交点，则 C．若直线l垂直于直线PQ，则 D．点P到直线l的距离的最大值为3 10．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）关于直线，下列说法正确的有（     ） A．原点到直线距离为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线与直线垂直 D．直线与直线平行，且距离为 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 三、填空题 12．（26-27高二上·江苏·阶段检测）直线，直线，当时，两直线间的距离为__________. 13．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）已知三条直线：，：，：相交于一点，则________． 14．（26-27高二上·上海长宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，；点在线段上并且平分，则点的坐标为______ 15．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 四、解答题 16．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 17． （26-27高二上·天津河西·阶段检测） （1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 18．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 19．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． (3)过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $