第07讲 拓展一：中点弦问题讲义（5类热点题型讲练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学中点弦问题核心知识点，系统梳理点差法在椭圆、双曲线、抛物线中的应用原理，明确相交弦中点的四大问题类型，为后续题型精讲搭建从方法到应用的学习支架。 资料亮点在于题型设计全面，涵盖求直线方程、存在性问题等五大类，典例与变式选自各地真实考题。通过点差法推理培养数学思维，从具体问题抽象方法发展数学眼光，用方程轨迹表达提升数学语言能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习查漏补缺。

第07讲 拓展一：中点弦问题 第一部分 知识梳理 知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 知识点02：点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 第二部分 题型精讲 题型01求直线方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【典例2】（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【变式2】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【变式3】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型02处理存在性问题 【典例1】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【典例2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2． (1)求M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？ 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 题型03求弦中点的轨迹方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【典例2】（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程． 【变式2】已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 题型04确定参数的取值范围 【典例1】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 【典例2】（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 【变式1】已知倾斜角为的直线过点和点，其中在第一象限，且. (1)求点的坐标； (2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，求实数的值. 【变式2】椭圆离心率为，是椭圆上一点. （1）求椭圆方程； （2），是椭圆左右焦点，过焦点的弦AB中点为，求线段长. 题型05定值定点问题 【典例1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【典例2】（湖南省部分校2024-2025学年高三上学期12月考试数学试卷）已知椭圆：（）的长轴长为，短轴长为． (1)求的离心率； (2)在上有三个不同的动点，，，且直线，的斜率之和为0．记的中点为． （ⅰ）若，求的轨迹方程； （ⅱ）若关于轴的对称点为，证明：直线过定点． 【变式1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【变式3】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 拓展一：中点弦问题 第一部分 知识梳理 知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 知识点02：点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 第二部分 题型精讲 题型01求直线方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 【典例2】（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 【变式2】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【详解】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 【变式3】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 题型02处理存在性问题 【典例1】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，该直线方程为 【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得，结合椭圆的定义可求出结果； （2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果. 【详解】（1）设动圆的半径为， 依题意得，所以为定值，且， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， ，，，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 设，， 则，两式相减得， 得，即， 由点斜式得直线方程为，即. 所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.      【典例2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，倾斜角为. 【分析】（1）根据虚轴长得出，再结合渐近线方程计算求解； （2）应用双曲线定义结合是的右支上一点得出结合计算求值； （3）假定存在，利用中点弦问题列式求解并验证即得. 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式1】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2． (1)求M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？ 【答案】(1) (2)不能，理由如下： 设，，可得 两式相减得 由题意，，，所以 直线AB方程为 代入得，． ∵， ∴不存在这样的直线l． 【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程； （2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可. 【详解】（1）设，则， 由得 整理得 所以，点M得轨迹方程为． （2）不能，理由略. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能，理由如下： 假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）略 题型03求弦中点的轨迹方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 【典例2】（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程． 【答案】在抛物线内部的部分． 【分析】解法1：利用点差法求解即可；解法2：设弦所在直线的方程为，代入抛物线方程中，化简利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出，从而可求出直线方程. 【详解】解法1： 利用点差法． 设端点为，则， 两式相减得．① ①式两边同时除以，得．② 设弦的中点坐标为，则．③ 又点和点在直线上， 所以有．④ 将③、④代入②得， 整理得． 故得中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分． 解法2： 设弦所在直线的方程为． 由，得． 设、中点， 则由根与系数的关系得， ，则， 所以，得， 故得所求弦中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分． 【变式2】已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在双曲线上，离心率的定义和的关系列方程组可得； （2）直曲联立，由韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为． （2）设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为． 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设M，，由点差法可得，然后注意到，可得轨迹方程. 【详解】设M，. 则，两式相减可得： ， 因，则，其中O为坐标原点. 又注意到，则. 又AB斜率不存在时，为，满足； AB斜率为0时，为，满足. 综上，轨迹方程为：. 题型04确定参数的取值范围 【典例1】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，与椭圆方程联立，根据韦达定理和中点坐标公式求解. 【详解】（1）由题意可知，，， 且， 则，则，得； （2）由（1）可知，椭圆C：， 设直线，， 联立，得， 则， 则， 因为为线段AB的中点，所以，，解得. 【典例2】（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，利用点差法得到，再由点在椭圆内部，求出的取值范围，即可求出的范围. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 因为线段的中点为，所以， 又，两式相减可得， 即， 所以， 又点在椭圆内部，所以，解得， 所以，即的取值范围为. 【变式1】已知倾斜角为的直线过点和点，其中在第一象限，且. (1)求点的坐标； (2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出所求点的坐标，利用点在直线上和两点的距离公式得到坐标的方程组进行求解； （2）联立直线和双曲线的标准方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式进行求解． 【详解】（1）直线的方程为，设， 由及，，得，， ∴点的坐标为. （2）由得：. 设，则且a>0，得，此时， ∴. 【变式2】椭圆离心率为，是椭圆上一点. （1）求椭圆方程； （2），是椭圆左右焦点，过焦点的弦AB中点为，求线段长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）可得，解得，即可；（2）设，，，，，利用中点坐标公式求得．即可求得点坐标．再利用距离公式即可． 【详解】（1）离心率为，，是椭圆上一点． ， 又．， 椭圆方程：； （2）设，，，，，则联立椭圆与直线方程 去，得， 由△ ． 则， . 【点睛】本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题． 题型05定值定点问题 【典例1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 【典例2】（湖南省部分校2024-2025学年高三上学期12月考试数学试卷）已知椭圆：（）的长轴长为，短轴长为． (1)求的离心率； (2)在上有三个不同的动点，，，且直线，的斜率之和为0．记的中点为． （ⅰ）若，求的轨迹方程； （ⅱ）若关于轴的对称点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）由题意，关于轴的对称点为， 由，，得 即 这说明与共线，即三点共线， 当时，，与重合于原点，直线仍过原点， 因此直线恒过定点. 【分析】（1）利用长轴长和短轴长求出，由求出，由离心率可求解；（2） (i) 利用两直线斜率互为相反数的条件设直线方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得中点坐标，结合垂直条件代入椭圆方程消参求轨迹；(ii) 通过坐标比例关系证明A与T共线于原点，直接得出定点. 【详解】（1）由题意，长轴长，短轴长，故 由椭圆中，得，所以的离心率 （2）由（1）知椭圆的标准方程为，即， 设，，，则， 由，设直线斜率为，则直线斜率为， 直线：，与椭圆联立， 整理得 方程两根为的横坐标，由韦达定理得得 将替换为，得点的横坐标， 设中点，则 由得 代入，得 （ⅰ）由，得，即，故， ，所以 因点在椭圆上，满足，得化简得 当直线或与椭圆相切于时，或与重合，不符合 “三个不同动点” 条件， 直线：，与椭圆联立，整理得 令，得， 所以， 因为，所以，，所以， 所以椭圆在处切线斜率为，令，解得， 由，，对应，即四点需舍去， 故的轨迹方程为： 【变式1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明：设，，，， 设直线：， 联立， 得，， ， 即，同理，，． 设直线：，令 则 ． 所以，直线的斜率为定值． 【分析】（1）根据及离心率得出，再根据即可求解； （2）分类讨论，当时，即可得出，当时，设：，结合韦达定理即可得出； （3）设，，，，设直线：，与椭圆方程联立结合韦达定理得出和，由斜率公式化简计算即可证明． 【详解】（1）由题知，，则，， 所以椭圆方程为． （2）①当过左焦点的直线斜率为时，设，，， 即，，故． ②当过左焦点的直线斜率不为时，设直线方程为：， 联立，得，， ，． 由得，， 即，同理， 即， 综上所述，． （3）略 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为； （ii）证明：，，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 【变式3】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则， ， ， 联立， 得， ； ， 联立，得， 代入上式得：， ， 则有， （舍去）， 所以直线的斜率为定值． ②依题意，， 则， 由①知直线的方程为与抛物线的方程联立得， 所以，代入上式得， 故为定值． 【分析】（1）先把点代入抛物线方程求出，再设过点的直线方程，此直线方程和抛物线联立方程组，利用相切得到判别式为零求出切线方程. （2）①依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，，通过联立方程组，结合判别式和韦达定理求出直线的斜率为定值．②求出，，计算即可得到结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 所以直线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 学科网（北京）股份有限公司 $