精品解析：辽宁鞍山市鞍山高新区华育学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试题

2027届九年级上10月限时作业 数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可． 【详解】解：化为一般形式后，常数项为， ∴一般形式为：， 则一次项系数是， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线方程为顶点形式，其中为顶点坐标，直接比较即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选D． 3. 下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（ ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 把常数项移到方程的右边，得：， 两边都加，得：，即． 故选：B． 4. 若关于的方程有一个根为0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．把代入方程得出，求出即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得：， 故选：C． 5. 已知点，在抛物线上，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键在于判断抛物线的开口方向以及点、与对称轴的位置关系，进而比较与的大小． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵点，在抛物线上，且， ∴． 故选：A． 6. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设尺，根据题意得出尺，尺，再结合勾股定理列方程，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设尺， 则尺，尺，尺． 在中，，即， 故选：B． 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 8. 明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根是： C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题． 【详解】解：将代入方程得， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根. 故选：D. 9. 若抛物线平移得到，则需要（ ） A. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移规律，将抛物线平移转化为顶点的平移，对比顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为， 又∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴抛物线需先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：A. 10. 已知二次函数 （m为常数），如果当自变量 x分别取时，所对应的y值只有一个小于0，则m的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查分类讨论、数形结合思想及二次函数基本性质、解不等式组等，根据题意，对m进行分类讨论、考虑临界值是否满足题意是解题关键． 题目中给定三个x的取值，，对应的y值只有一个小于0，由二次函数可得其对称轴为，开口向上，需对对称轴进行分类讨论，①时，时取最小值，对应的，，；②时，取最小值，对应的，，；③时，取最小值，对应的，，，综合①②③，同时根据数形结合思想，得m的解集，即可得出答案． 【详解】解：二次函数对称轴为． ①时，时取最小值， ∴，解得； ②时，时取最小值， ∴，解得； ③时，时取最小值， ∴，解得． 当时，有两个对应值为：，，当时，与题意矛盾， ∴； 当时，有两个对应值为：，，当时，与题意矛盾， ∴． 综上可得：m的取值范围为：且． ∴m的值可能是； 故选B． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是_____．（写一个即可） 【答案】x2﹣2x+1＝0 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解． 【详解】解：答案不唯一．一元二次方程ax2+bx+c＝0中几个特殊根的形式：x＝1时，a+b+c＝0．只须使方程系数满足a+b+c＝0即可． 如x2﹣2x+1＝0． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0中几个特殊根的形式：x＝1时，a+b+c＝0；x＝﹣1时，a﹣b+c＝0；x＝0时，c＝0． 12. 一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴，， 所以 ． 故答案为：1 13. 已知函数，当时，有最大值，最小值，则的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线的开口向上，顶点坐标为，即时，有最小值，又由时可得，，即得到的最小值为，最大值为，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 即时，有最小值， 把代入，得， 解得，， ∵当时，有最大值，最小值， ∴的最小值为，最大值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 14. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可． 【详解】解∵抛物线经过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 所以解析式为：， 当，则， 故答案为：． 15. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点、作轴，轴，根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，因为点的坐标为，点的坐标为，可得：，整理即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，分别过点、作轴，轴， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ，两点的横坐标分别为，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 整理可得：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 17. 已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求m的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先求出的值，再解方程求出方程的解，然后代入解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：∵，且取最大整数值， ∴， ∴关于的方程为方程， 解得， ∵方程与有一个相同的根， ∴， 解得． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 m 12 … （1）m的值为______________； （2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性求出对称轴，确定顶点坐标，再把解析式设为顶点式求出解析式即可得到答案； （2）利用表格中的数据描点，连线画图即可； （3）求出时的函数值，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵时的函数值和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设该函数的解析式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为， 当时，，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， ∴由函数图象可知，当时，． 19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根是，． （1）当时，求m的值； （2）在第（1）问的条件下，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再求出，，利用完全平方公式变形求值即可； （2）先求出，的值，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∵关于的一元二次方程的两个实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴，， ∴． 20. 为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” （1）______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】（1）甲和乙 （2）丙的说法不正确 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 21. 已知二次函数的图象过，顶点B坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）若图象与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，点P在二次函数的图象上且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先设二次函数解析式为，（），再利用待定系数法即可解答； （2）先令，即，解方程即可得出点的坐标，再结合，利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点B坐标为， ∴可设二次函数解析式为，（）， 根据题意，将代入，得， 解得， ． 【小问2详解】 解：∵， 当，即时， 解得，． 二次函数的图象过，且图象与x轴的另一个交点为C， ， ． 设点， 由得，， 即， 解得， 当时，即， 解得或； 当时，即， 解得或， 故点P的坐标为或或或． 22. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】（1）路面设置的宽度符合要求 （2）从购买草莓客户的角度应该降价元 （3）该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； 【小问2详解】 解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 【小问3详解】 解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 23. 如图，已知抛物线的开口方向和大小与相同，且对称轴为直线，最小值为，点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式及b的值； （2）将抛物线平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线，的对称轴为直线． ①动点在抛物线上，当时，n的最小值为2，求h的值； ②我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，连接，与线段只有一个交点F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 【答案】（1）的解析式为，6 （2）①或；②h的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）抛物线开口大小和相同，得；对称轴、最小值，顶点，用顶点式写出解析式，把代入解析式，算出． （2）①分3种情况讨论对称轴相对区间的位置即可． ②先求直线解析式，找出线段上全部整点，共7个。根据整点个数比，确定交点落在整点与之间， 联立抛物线与直线方程，抛物线和线段仅有1个交点，相切时切点不在目标区间，舍去；只需保证方程一个根落在，另一个根在线段范围外，利用零点存在不等式求出取值范围． 【小问1详解】 因为抛物线的开口方向和大小与相同， 所以二次项系数， 又已知对称轴为直线，最小值为， 抛物线的顶点式为， 将其化为一般式：， 因为点在抛物线上，将代入， 可得： ． 【小问2详解】 ①抛物线的顶点为，平移后顶点落在轴上，则顶点坐标变为， 所以抛物线的解析式为， 其对称轴为直线， 分三种情况讨论： 当时，在上，随的增大而增大， 所以当时，取得最小值，代入， 可得：，即，则， 当时，； 当时，（舍去）， 当时，当时，取得最小值，不符合的最小值为，舍去， 当时，在上，随的增大而减小， 所以当时，取得最小值，代入， 可得：，即，则， 当时，（舍去）；当时，． 综上，或； ②已知，，设直线的解析式为，代入可得， 得：，解得， 将代入得， 所以直线的解析式为， 因为与上的整点个数比为，，， 线段上含，，，，，，共个整点， 上有个整点，上有个整点， 与线段交点的横坐标， 当交点在对称轴右侧时， 点在抛物线上方，且对称轴为直线才能保证只有一个交点， 又时，与点在抛物线上方矛盾，故这种情况不符合题意； 点在抛物线下方，点和点在抛物线上方， 令在抛物线上：， 解得，； 要使点在抛物线下方，则得或， 令在抛物线上：， 解得，； 要使点在抛物线上方，则； 取公共部分得：， 当时成立， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届九年级上10月限时作业 数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（ ） A. B. 6 C. D. 3 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（ ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A. B. C. D. 4. 若关于的方程有一个根为0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知点，在抛物线上，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根是： C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 9. 若抛物线平移得到，则需要（ ） A. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 10. 已知二次函数 （m为常数），如果当自变量 x分别取时，所对应的y值只有一个小于0，则m的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是_____．（写一个即可） 12. 一元二次方程的两根为、，则_____． 13. 已知函数，当时，有最大值，最小值，则的最大值与最小值的差为______． 14. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 15. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，则______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 17. 已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求m的值； 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 m 12 … （1）m的值为______________； （2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）当时，直接写出y的取值范围． 19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根是，． （1）当时，求m的值； （2）在第（1）问的条件下，求的值 20. 为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” （1）______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 21. 已知二次函数的图象过，顶点B坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）若图象与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，点P在二次函数的图象上且，求点P的坐标． 22. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 23. 如图，已知抛物线的开口方向和大小与相同，且对称轴为直线，最小值为，点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式及b的值； （2）将抛物线平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线，的对称轴为直线． ①动点在抛物线上，当时，n的最小值为2，求h的值； ②我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，连接，与线段只有一个交点F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $