精品解析：辽宁省鞍山市千山区2025-2026学年九年级上学期阶段性教学成果评估数学试卷

初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列消防安全标志图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）． A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 3. 如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 飞机着陆后滑行的距离s（）关于滑行时间t（）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 9. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A. a＞0 B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0 C. c＜0 D. 当x≥1时，y随x的增大而增大 10. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．证明时可以先假设________． 12. 若关于的一元二次方程无实数解，则实数的取值范围是________． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________． 14. 山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为______． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 19. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 20. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 21. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． （2）在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． （3）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 22. 如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 23. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列消防安全标志图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 根据中心对称图形的定义可得选项D符合题意． 2. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）． A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 3. 如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，首先在优弧上取点，连接，，由圆周角定理，求得的度数，然后由圆的内接四边形的性质，可求得的度数． 【详解】解：如图， 在优弧上取点，连接，， ， ， ． 故选． 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 5. 飞机着陆后滑行的距离s（）关于滑行时间t（）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将一般式化为顶点式确定抛物线的对称轴和最值，再结合实际意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图象是对称轴为，最大值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行会停止， ∴A选项符合题意． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得 然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得 主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到 是等边三角形， 故选：． 7. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 8. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 9. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A. a＞0 B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0 C. c＜0 D. 当x≥1时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】A．抛物线的开口方向向下，则a＜0，故本选项错误； B．根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确； C．根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故本选项错误； D．根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误． 故选B． 10. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．证明时可以先假设________． 【答案】两条平行直线被第三条直线所截，同位角不相等 【解析】 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原命题结论的否定即可． 【详解】原命题要证明的结论为“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”， 根据反证法的步骤，首先假设结论不成立， 即假设两条平行直线被第三条直线所截，同位角不相等． 12. 若关于的一元二次方程无实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程无实数解，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是. 考点：勾股定理；点和圆的位置关系. 14. 山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：设留白部分的宽度为，由题意得，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 设抛物线的对称轴交于点，可求，则，而，由勾股定理得，求出，再代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：设抛物线的对称轴交于点， 当，则， 解得：或， ∴， 对称轴：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ， ， 或， ，． 17. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】（1）的长 （2）此时水面截线减少了 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【小问1详解】 解：如图1：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． 【小问2详解】 解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接， ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴， ∴， ∴此时水面截线减少了． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，， （2） 解：如图，即为所求，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 19. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 20. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为10% （2）每千克甜瓜应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 21. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． （2）在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． （3）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 当时，扩建后的劳动基地的面积不能为，理由如下： 假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）求出新劳动基地的长和宽，根据矩形的面积公式求出面积与的函数关系式即可； （2）当时，得一元二次方程，求解即可； （3）假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则，根据扩建后的劳动基地的面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其正值代入中，可求出，由该值大于52，即可得出假设不成立，即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 【小问1详解】 解：设将原劳动基地的长增加，则扩建后的劳动基地的长为，宽为， 所以，； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以，． 【小问3详解】 略 22. 如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中应用勾股定理，得到的长度，根据正方形的性质，求出的长，根据旋转的性质得到的长，即可求解， （2）作，由，得到、、的长，在中，应用勾股定理，即可求解， （3）与重合，最短，当落在的延长线上时，，最长，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：直角三角形绕点逆时针方向旋转度，点、的对应点分别为点、， 当时，与重合，最短，， 当落在的延长线上时，，最长， ， 线段长度的取值范围为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 23. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 将代入中， 得， 解得，； 【小问2详解】 抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． 【小问3详解】 关于对称轴对称 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当A，B都在对称轴左边时， ， 解得， 当A，B分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于A到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $