专题3.3 探索与表达规律 培优讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题3.3 探索与表达规律 知识点1：用代数式表示规律 　　1.含义：通过观察、分析特殊情形，把其中蕴含的规律用含字母（常用 n）的代数式表示出来，从而由特殊推及一般。 　　2.一般思路：观察思考→分析归纳→验证。 步骤 做法 要点 观察思考 从横向、纵向、局部到整体等不同角度观察现象，多层次思考 抓相邻差、倍数、符号 分析归纳 找多种特殊情况，通过计算分析，用特殊到一般的方法总结规律并用代数式表示 设第 n 个，列式 验证 找不同的特殊情况代入验证规律的正确性 一般到特殊 　　3.日历规律：横向相邻两数相差 1，纵向相邻两数相差 7；设中间数为 a，横向三数和为 ，纵向三数和为 ，方框 9 个数之和为 （c 为中心数）。 知识点2：用代数推理解释现象或论证规律 　　1.含义：把一些数学或实际问题中的规律、现象用代数式表示，再通过代数推理论证其正确性或解释其中的道理。 　　2.常见类型：①利用代数推理解决整除问题；②利用代数式解释数字游戏中的道理。 　　3.举例：设三位数，写成，若 能被 3 整除，则 能被 3 整除。 【基础必考题型】 【题型1】图形计数规律探索 1.核心知识点 　　从图形排列中归纳第 n 个图形的个数。 2.解题方法技巧 　　①数出前几项的个数，寻找递增规律； 　　②把图形个数与 n 建立函数式； ③由特殊到一般归纳并验证。 【例题1】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）亮亮准备了一些边长3厘米的正方形纸片，按如图所示的方式摆放，每个重叠部分都是边长1厘米的小正方形，像这样不断摆下去．当亮亮用了20张纸片时，摆成图形的面积是（     ）平方厘米． A．161 B．164 C．154 D．184 【变式题1-1】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第10个图案需要棋子的个数为________ 【变式题1-2】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2026个图案中的“”的个数是（     ） A．6074 B．6073 C．6079 D．6076 【变式题1-3】.（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用小棒按下图的方式摆三角形，相邻两个三角形共用一条边．摆 n 个三角形需要（     ）根小棒 A． B． C． D． 【题型2】用代数式直接求第 n 项 1.核心知识点 　　根据规律列出含 n 的代数式并代入具体序号求值。 2.解题方法技巧 　　①先写出一般规律对应的代数式； 　　②把指定序号 n 代入计算； ③注意负号与运算顺序。 【例题2】.（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列依次排列的一列数：0，，8，，按它的排列规律，则第10个数为___________． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）一列数：，4，，16，…… ①分别写出第5，第6个数是______，②第n个数（n为正整数）为______． 【变式题2-2】.（2026·甘肃嘉峪关·二模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 【变式题2-3】.（2026·河南南阳·一模）观察下列一组数：，，，，，，按此规律，第个数是（  ） A． B． C． D． 【题型3】正负交替与分数组合的数列规律 1.核心知识点 　　含符号、分数、乘方等复合特征的数字规律。 2.解题方法技巧 　　①分别观察符号（奇偶位）、分子、分母的变化； 　　②用 或 表示符号； ③将各部分规律组合成第 n 项代数式。 【例题3】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列一组数，按规律在横线上填写适当的数，，，，……，第6个数是___________． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列各数，按规律填上适当的数：，，，，，________． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）观察下面一列数，探究其规律： (1)第7个数、第8个数、第9个数分别是什么？ (2)第100个数是多少？它是正数还是负数？ (3)分数，是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 【变式题3-3】.（26-27七年级上·湖南株洲·阶段检测）观察下面一列数，，，，，，，…，根据规律，第个数是__________________． 【题型4】程序框图与规律 1.核心知识点 　　按程序框图的运算规则，寻找输出结果的周期规律。 2.解题方法技巧 　　①逐次代入，计算前几项输出值； 　　②寻找输出序列的周期性（循环节）； 　　③用周期取余确定第 n 次输出。 【例题4】.（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）按如图所示的程序运算，若输入的值是12，第1次输出的结果是7，第2次输出的结果为10，则第2026次输出的结果是（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式题4-1】.（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为4，则第次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，则第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】图形规律与代数推理综合 1.核心知识点 　　图形个数规律与和差、倍数关系结合的综合探究。 2.解题方法技巧 　　①从图形结构入手寻找每增加一个图形增加的个数； 　　②用 n 表示总个数，并列式计算； ③结合几何背景赋予代数式意义。 【例题5】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）用火柴棒按下图的方式搭图形： (1)图②有______根火柴棒；图③有______根火柴棒． (2)按上面的方法继续下去，第个图形中有______根火柴棒． (3)第（的整数）个图形中有______根火柴棒． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 10 13 16 ．．． 【变式题5-3】.（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 【题型6】日历中的规律探索 1.核心知识点 　　日历中横向、纵向、方框内数字的关系规律。 2.解题方法技巧 　　①横向相邻差 1，纵向相邻差 7； 　　②设中间数为字母，表示其余各数并求和； ③利用和与中间数的倍数关系列式求值。 【例题6】.（2026·山东临沂·一模）2026年1月的日历如图所示，已知某社区的便民服务站每6天开放一次，从2026年1月2日开始第一次开放，第二次开放时间为2026年1月8日⋯以此类推，则2026年（共365天）的最后一次开放是星期______． 【变式题6-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）观察日历找规律． (1)观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ (2)观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ (3)你还能在日历中找到什么规律？ 【变式题6-2】.（26-27七年级上·全国·课前预习）日历中的数字规律：横行中的相邻三个数字之间的规律是_________，竖行中的相邻三个数字之间的规律是_____________． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图是某年11月的日历，用一个“”形阴影框住5个数． (1)用“”形阴影框住的5个数中，正中间的数为16，则这5个数的和为______； (2)移动“”形阴影，设位于“”形阴影最中间的一个数为，则这5个数的和为______（用含的代数式表示）； (3)在表中移动“”形阴影的位置，阴影框住的5个数之和为60，求这五个数字中最中间的数． 【题型7】整除规律的代数论证 1.核心知识点 　　利用代数式把数拆成可整除部分与余项，论证整除性。 2.解题方法技巧 　　①把数按位写成 形式； 　　②拆出能被某数整除的整百整十部分； 　　③由余项能否整除判断原数能否整除。 【例题7】.（2026·四川成都·一模）数学兴趣小组对斐波那契数列的整除规律进行了探究，已知斐波那契数列满足：，，且对任意正整数n，都有，该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，…通过计算斐波那契数列各项除以3的余数，发现余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，按此规律，该余数数列中能被3整除的项，每_______项出现一次；若斐波那契数列的前2026项中，能被7整除的项共有m个，则m的值为_______． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·广东广州·期末）在一场数字游戏活动中，主办方设定了一种特殊的数字规则：一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和为，百位上的数字与十位上的数字之和也为，则称为“幸运九数”．例如：四位正整数，因为，，所以是“幸运九数”． 活动第一环节：寻找最小的“幸运九数”．答案是：__________． 活动升级环节：为了增加挑战性，主办方宣布，在“幸运九数”中，若该数还能被整除，将获得特别奖励．那么在以内的所有“幸运九数”中，能获得特别奖励的的最大值与最小值之差为__________． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，…． 因为（，且n为整数），的末尾数字是1， 所以的末尾数字是1， 所以的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)试说明：能被5整除． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·福建厦门·期中）在破译某种五位数密码时，发现当密钥长度能被13整除时，能够快速解密． 例如，要判断密钥长度是否能被13整除，可以进行如下操作： 第一步：去掉个位数字1，得到5820，计算，得到； 第二步：下面判断能否被13整除； 继续对重复步骤一的操作： 去掉个位数字1，得到581，计算，得到； 第三步：下面判断能否被13整除： 继续对重复步骤一的操作： 去掉个位数字2，得到57，计算，得到； 第四步：下面判断能否被13整除： 由于39是13的倍数，所以能被13整除，所以58201能被13整除． (1)根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断31837能否被13整除（请写出详细的判断过程）； (2)请根据以上信息，用文字表述判断一个五位数能否被13整除的规律； (3)你认为上述规律对所有五位数N都成立吗？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 易错点 1、求数字规律时只观察前几项就下结论，未验证，导致规律错误。 2、符号规律奇偶位判断错误，混淆 与。 3、图形计数时漏掉首项或增量看错，未找相邻差值。 4、整除论证中拆项不彻底，余项判断不完整。 5、程序框图、周期问题中循环节判断错误，取余运算有误。 重点 1、会用代数式表示数字与图形规律。 2、掌握观察→归纳→验证的一般思路。 3、会用代数推理论证整除并解释数字游戏道理。 4、会识别等差、正负交替、递推、周期等常见规律。 难点 1、复合规律（符号、分数、乘方、图形结构组合）的归纳。 2、整除性与数字游戏的代数论证表达。 3、周期、递推、数阵等进阶规律的识别与处理。 4、开放探究与设计规律问题的猜想与论证。 【对应练习题】 一、单选题 1．按一定规律排列的一列数：，，，，，…，则第个数是（     ） A． B． C． D． 2．有个连续偶数，若中间一个数用（为正整数）表示，则这3个连续偶数可以表示为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律可得的个位数字是（     ） A． B． C． D． 4．有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．小明观察家里的地砖花纹发现，地砖的花纹中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有个花朵，第②个图案中有个花朵，第③个图案中有个花朵，，按此规律排列下去，则第个图案中花朵的个数为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（     ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 二、填空题 7．用小棒摆正方形，相邻两个正方形共用一条边．摆个正方形用根小棒，摆个用根，摆个用根，，按这样的规律： （）摆个正方形需要______根小棒； （）摆个正方形需要______根小棒． 8．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有_________个★． 9．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第20个图案中白色正方形比黑色正方形多_______个． 三、解答题 10．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)图1的阴影部分的面积是___________；受此启发，得到的值___________； (2)若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得的值为___________； (3)请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（要求分割方式与图1不同）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 探索与表达规律 知识点1：用代数式表示规律 　　1.含义：通过观察、分析特殊情形，把其中蕴含的规律用含字母（常用 n）的代数式表示出来，从而由特殊推及一般。 　　2.一般思路：观察思考→分析归纳→验证。 步骤 做法 要点 观察思考 从横向、纵向、局部到整体等不同角度观察现象，多层次思考 抓相邻差、倍数、符号 分析归纳 找多种特殊情况，通过计算分析，用特殊到一般的方法总结规律并用代数式表示 设第 n 个，列式 验证 找不同的特殊情况代入验证规律的正确性 一般到特殊 　　3.日历规律：横向相邻两数相差 1，纵向相邻两数相差 7；设中间数为 a，横向三数和为 ，纵向三数和为 ，方框 9 个数之和为 （c 为中心数）。 知识点2：用代数推理解释现象或论证规律 　　1.含义：把一些数学或实际问题中的规律、现象用代数式表示，再通过代数推理论证其正确性或解释其中的道理。 　　2.常见类型：①利用代数推理解决整除问题；②利用代数式解释数字游戏中的道理。 　　3.举例：设三位数，写成，若 能被 3 整除，则 能被 3 整除。 【基础必考题型】 【题型1】图形计数规律探索 1.核心知识点 　　从图形排列中归纳第 n 个图形的个数。 2.解题方法技巧 　　①数出前几项的个数，寻找递增规律； 　　②把图形个数与 n 建立函数式； ③由特殊到一般归纳并验证。 【例题1】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）亮亮准备了一些边长3厘米的正方形纸片，按如图所示的方式摆放，每个重叠部分都是边长1厘米的小正方形，像这样不断摆下去．当亮亮用了20张纸片时，摆成图形的面积是（     ）平方厘米． A．161 B．164 C．154 D．184 【答案】A 【分析】首先求出纸片数为1、2、3、4时的面积，找出规律并进一步求解即可． 【详解】解：根据题意，每张纸片的面积为平方厘米，重叠部分的面积为平方厘米， 用了1张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， 用了2张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， 用了3张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， 用了4张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， …… ∴当用了张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， ∴当亮亮用了20张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第10个图案需要棋子的个数为________ 【答案】111 【分析】观察给出的图形，推出第个图案所需棋子的数量为，再计算即可． 【详解】解：用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去， 第①个图案需要棋子的个数为， 第②个图案需要棋子的个数为， 第③个图案需要棋子的个数为， … 第⑩个图案需要棋子的个数为． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2026个图案中的“”的个数是（     ） A．6074 B．6073 C．6079 D．6076 【答案】C 【分析】 观察可知，序号每增加1，“”的个数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】 解：第1个图案中的“”的个数是， 第2个图案中的“”的个数是， 第3个图案中的“”的个数是， 第4个图案中的“”的个数是， ……， 以此类推，可知第n（n为正整数）个图案中的“”的个数是， 当时，． 【变式题1-3】.（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用小棒按下图的方式摆三角形，相邻两个三角形共用一条边．摆 n 个三角形需要（     ）根小棒 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】注意相邻三角形共用1条边，需减去重复计算的共用边数量． 【详解】解：若个三角形互不共用边，共需根小棒， ∵相邻两个三角形共用1条边， ∴个三角形共有条共用边，即少用根小棒， ∴实际需要小棒数为． 【题型2】用代数式直接求第 n 项 1.核心知识点 　　根据规律列出含 n 的代数式并代入具体序号求值。 2.解题方法技巧 　　①先写出一般规律对应的代数式； 　　②把指定序号 n 代入计算； ③注意负号与运算顺序。 【例题2】.（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列依次排列的一列数：0，，8，，按它的排列规律，则第10个数为___________． 【答案】 【分析】分别从符号和绝对值两方面寻找排列规律，得到第个数的表达式，再代入计算即可． 【详解】解：∵第1个数：， 第2个数：，符号为负， 第3个数：，符号为正， 第4个数：，符号为负， 第5个数：，符号为正， ∴可得规律：第个数为， 将代入规律式得：． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）一列数：，4，，16，…… ①分别写出第5，第6个数是______，②第n个数（n为正整数）为______． 【答案】 ，64； 或 【分析】先分析这列数的符号规律，观察奇数项和偶数项的符号差异，如果项数为奇数则符号为负，项数为偶数则符号为正．再分析这列数的绝对值规律，观察已知项的绝对值与项数的关系，因为第1项绝对值是，第2项是，第3项是，所以可得出第k项的绝对值表达式．结合符号规律和绝对值规律，得到第5个数， 第6个数．第个数的表达式为或． 【详解】解： 观察给出的数：第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是： 符号规律：奇数位置的数为负，偶数位置的数为正； 绝对值规律：每个数的绝对值依次是，，，， 也就是第个数的绝对值是． 第5个数是奇数位，符号为负，绝对值是，因此数值为； 第6个数是偶数位，符号为正，绝对值是，因此数值为． 结合符号规律和绝对值规律，得到第n个数为，也可以为． 【变式题2-2】.（2026·甘肃嘉峪关·二模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 【答案】 【分析】观察已知三角形数的变化规律，可得第个三角形数是从1到的连续正整数的和，计算求和即可得到结果． 【详解】解：第一个三角形数为 ， 第二个三角形数为 ， 第三个三角形数为 ， 第四个三角形数为 ， 依此类推，可得第个三角形数为 ．解 【变式题2-3】.（2026·河南南阳·一模）观察下列一组数：，，，，，，按此规律，第个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该组数的规律从两方面分析，整数部分：每次增加；小数部分：每次增加一个，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加，则第个数整数部分是，小数部分每次增加一个，则第个数小数部分有个， ∴第个数小数部分是， ∴第个数是． 【题型3】正负交替与分数组合的数列规律 1.核心知识点 　　含符号、分数、乘方等复合特征的数字规律。 2.解题方法技巧 　　①分别观察符号（奇偶位）、分子、分母的变化； 　　②用 或 表示符号； ③将各部分规律组合成第 n 项代数式。 【例题3】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列一组数，按规律在横线上填写适当的数，，，，……，第6个数是___________． 【答案】 【详解】解：观察已知的数，分别分析各部分规律： 符号部分：第1个数为正，第2个数为负，第3个数为正，第4个数为负， 可得奇数项符号为正，偶数项符号为负， 第6个数是偶数项，因此符号为负； 分子部分：已知数的分子依次为，是从1开始的连续奇数， 可得第个数的分子为， 因此第6个数的分子为； 分母部分：已知数的分母依次为，，，， 可得第个数的分母为， 因此第6个数的分母为． 综上，第6个数是． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列各数，按规律填上适当的数：，，，，，________． 【答案】 【分析】因为奇数项为正，偶数项为负，且分子都为1，后一项的分母是前一项分母的2倍，首项分母是，所以第项的分母可以表示为，结合符号和数值规律，得到第项的公式，代入对应项数即可得到结果． 【详解】解：这列数的符号正、负交替，第1个数为正，第2个为负，第3个为正…… 奇数项为正，偶数项为负， 第6项属于偶数项，符号为负． 所有数的分子都是1，分母依次是， 第项的分母为， 第6项的分母就是． 结合符号和数值，得到． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）观察下面一列数，探究其规律： (1)第7个数、第8个数、第9个数分别是什么？ (2)第100个数是多少？它是正数还是负数？ (3)分数，是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 【答案】(1)， ， (2)，正数； (3)是这列数中的数，且是第2022个数，不是这列数中的数. 【分析】（1）根据题目给出的数据找出规律，写出第7个数、第8个数、第9个数即可； （2）根据题目给出的数据找出一般规律，写出第100个数即可； （3）根据题目给出的数据找出一般规律，确定分数是不是这列数中的数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴第n个数是， ∴第7个数是，第8个数是，第9个数是； （2）解：∵第n个数是， ∴第100个数是，是一个正数； （3）解：∵第n个数是， ∴第2022个数是，第2023个数是， ∴是这列数中的数，且是第2022个数，不是这列数中的数． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·湖南株洲·阶段检测）观察下面一列数，，，，，，，…，根据规律，第个数是__________________． 【答案】 【分析】观察题干的数的符号、分子与分母，从而归纳出结论，并得出第个数． 【详解】解：观察可得，这列数正负交替，偶数位的数为正，且分子固定为，分母是从开始递进的正整数， ∴第个数为． 【题型4】程序框图与规律 1.核心知识点 　　按程序框图的运算规则，寻找输出结果的周期规律。 2.解题方法技巧 　　①逐次代入，计算前几项输出值； 　　②寻找输出序列的周期性（循环节）； 　　③用周期取余确定第 n 次输出。 【例题4】.（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）按如图所示的程序运算，若输入的值是12，第1次输出的结果是7，第2次输出的结果为10，则第2026次输出的结果是（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找到输出规律，即可求出答案． 【详解】解：开始输入的x值为， 第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， ……， 综上可知，从第2次输出开始重复为，， ∵……1， ∴第次输出的结果为． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为4，则第次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照运算程序依次计算每次输出的值，找到从第 3 次开始，循环序列为,,,,,，循环长度是 6，用 减去前面不参与循环的 2 次得到 ，除以 6 商 余 2，取循环中的第 2 个数字，就是第 次输出结果． 【详解】解：已知输入 ，规则： 为偶数，输出 ； 为奇数，输出 ． 第 1 次： 是偶数，，输出 2； 第 2 次： 是偶数，，输出 1； 第 3 次： 是奇数，，输出 ； 第 4 次： 是偶数，，输出； 第 5 次： 是偶数，，输出 ； 第 6 次： 是奇数，，输出； 第 7 次： 是偶数，，输出； 第 8 次： 是奇数，，输出 ； 第 9 次： 是偶数，，输出； 观察结果：从第 3 次开始循环：，循环节长度为 6． 先去掉前 2 次： 计算： 余数是 2，对应循环里第 2 个数：． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，则第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出前几次的输出结果，从而可得从第三次开始，输出的结果是、进行循环，由此计算即可得解． 【详解】解：当输入的值为时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， 从第三次开始，输出的结果是、进行循环， ∵， ∴第次输出的结果为． 【培优高频题型】 【题型5】图形规律与代数推理综合 1.核心知识点 　　图形个数规律与和差、倍数关系结合的综合探究。 2.解题方法技巧 　　①从图形结构入手寻找每增加一个图形增加的个数； 　　②用 n 表示总个数，并列式计算； ③结合几何背景赋予代数式意义。 【例题5】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）用火柴棒按下图的方式搭图形： (1)图②有______根火柴棒；图③有______根火柴棒． (2)按上面的方法继续下去，第个图形中有______根火柴棒． (3)第（的整数）个图形中有______根火柴棒． 【答案】(1), (2) (3) 【分析】通过观察火柴棒搭建正方形的图形，发现每增加一个正方形就增加根火柴棒，据此推导出通项公式，再代入序号求值． 【详解】（1）解：图②有根火柴棒；图③有根火柴棒． （2）解：观察图形发现第一个图形有根火柴棒； 第二个图形有根火柴棒； 第三个图形有根火柴棒； … 第个图形有根火柴棒； 当时，根火柴棒； （3）解：由得第（的整数）个图形中有根火柴棒． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 【变式题5-2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 【答案】(1)见解析 (2)．当时， 【分析】（1）观察图形变化特点逐个填写即可； （2）根据（1）图形的变化特点得出规律，即可得出关系式，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： 根据题意填表如下： 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 10 13 16 ．．． （2）解：第1个图中●的个数有4个； 第2个图中●的个数有（个）； 第3个图中●的个数有（个）； 第4个图中●的个数有（个）； 第5个图中●的个数有（个）； 第n个图中●的个数有（个）． 当时，． 【变式题5-3】.（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 【答案】(1)60 (2) (3)481200个 【分析】（1）根据，推出图4中的矩形个数即可； （2）由（1）推导出规律即可； （3）观察可知图的面积是图1面积的倍，进而求出的值，代入（2）中规律进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴图4中的矩形个数为（个）； （2）解：由（1）可知，图n中共有个矩形； （3）解：观察可知，图的面积是图1面积的倍， ∴当时，， 当时，， 故该人行道图案上共有个矩形. 【题型6】日历中的规律探索 1.核心知识点 　　日历中横向、纵向、方框内数字的关系规律。 2.解题方法技巧 　　①横向相邻差 1，纵向相邻差 7； 　　②设中间数为字母，表示其余各数并求和； ③利用和与中间数的倍数关系列式求值。 【例题6】.（2026·山东临沂·一模）2026年1月的日历如图所示，已知某社区的便民服务站每6天开放一次，从2026年1月2日开始第一次开放，第二次开放时间为2026年1月8日⋯以此类推，则2026年（共365天）的最后一次开放是星期______． 【答案】一 【分析】根据题意得到第n次开放时间为，由此可知这一年结束循环了61次，从第一次开放日（第 2 天）到最后一次开放日（第 362 天），中间间隔了天，根据一个 星期是7天一个循环，所以从第一次开放日（星期五）往后推3天得到是星期一，即可求解． 【详解】解：第一次开放是2026年1月2日，是星期五， 第二次开放时间为2026年1月8日，是星期四， 第三次开放时间为2026年1月14日，是星期三， 第四次开放时间为2026年1月20日，是星期二， 第五次开放时间为2026年1月26日，是星期一， ， ∴第n次开放时间为， ∵2026年共365天， ∴， 解得：， ∵n是整数， ∴，即这一年结束循环了61次， ∴（天），即2026年的第362天是开放的最后一次， 从第一次开放日（第2天）到最后一次开放日（第362天），中间间隔了天， ∵一个 星期是7天一个循环， ∴， ∴从第一次开放日（星期五）往后推3天得到是星期一， ∴最后一次开放是星期一． 【变式题6-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）观察日历找规律． (1)观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ (2)观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ (3)你还能在日历中找到什么规律？ 【答案】(1)如果左上的数字为x，则右上为，左下为：，右下为：． (2)方框中9个数的和是中间数的9倍． (3)表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 【分析】本题主要考查了数表中的规律，用代数式表示， （1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：每行相邻两数差1，每一列相邻两数差7，解答即可； （2）直接写出这9个数，求出和，再根据结果解答； （3）根据（1）解答即可． 【详解】（1）解：利用日历中各数之间的关系，发现规律： 如果左上的数字为x，则右上为，左下为，右下为； （2）解： 答：方框中9个数的和是中间数的9倍； （3）解：我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·全国·课前预习）日历中的数字规律：横行中的相邻三个数字之间的规律是_________，竖行中的相邻三个数字之间的规律是_____________． 【答案】 从左往右依次增加1 从上往下依次增加7 【解析】略 【变式题6-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图是某年11月的日历，用一个“”形阴影框住5个数． (1)用“”形阴影框住的5个数中，正中间的数为16，则这5个数的和为______； (2)移动“”形阴影，设位于“”形阴影最中间的一个数为，则这5个数的和为______（用含的代数式表示）； (3)在表中移动“”形阴影的位置，阴影框住的5个数之和为60，求这五个数字中最中间的数． 【答案】(1)80 (2) (3)12 【分析】本题主要考查了日历中的规律和有理数的运算，解决此题的关键是发现日历中的规律； （1）根据日历中日期代表数的规律可知，以中间数为基础，上下或左右两个数的和为中间数的2倍，进而得到答案即可； （2）根据（1）中规律即可得到答案； （3）由（2）中的公式算出答案即可： 【详解】（1）解：， 故答案为：80； （2）解：由（1）中计算过程可发现：以中间数为基础，上下或左右两个数的和为中间数的2倍，； 故答案为：； （3）解：设位于“”形阴影最中间的一个数为，由（2）知， ， ． 所以这五个数字中最中间的数为12． 【题型7】整除规律的代数论证 1.核心知识点 　　利用代数式把数拆成可整除部分与余项，论证整除性。 2.解题方法技巧 　　①把数按位写成 形式； 　　②拆出能被某数整除的整百整十部分； 　　③由余项能否整除判断原数能否整除。 【例题7】.（2026·四川成都·一模）数学兴趣小组对斐波那契数列的整除规律进行了探究，已知斐波那契数列满足：，，且对任意正整数n，都有，该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，…通过计算斐波那契数列各项除以3的余数，发现余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，按此规律，该余数数列中能被3整除的项，每_______项出现一次；若斐波那契数列的前2026项中，能被7整除的项共有m个，则m的值为_______． 【答案】 4 253 【分析】先根据给出的除以3的余数，找出能被3整除的项的出现规律得到第一个空，再根据斐波那契数列的递推关系计算除以的余数，得到余数的周期规律，再通过周期计算前2026项中能被7整除的项数． 【详解】解：已知斐波那契数列各项除以3的余数依次为 ， 能被3整除的项余数为，观察得依次出现在第项，第项，第项， 因此每项出现一次，第一个空结果为． 根据递推公式，计算各项除以7的余数： 可得余数从开始重复，因此余数周期为，每个周期内有个能被整除的项， ，即包含个完整周期，剩余项对应周期的前项， 前项中有个能被整除的项， 因此． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·广东广州·期末）在一场数字游戏活动中，主办方设定了一种特殊的数字规则：一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和为，百位上的数字与十位上的数字之和也为，则称为“幸运九数”．例如：四位正整数，因为，，所以是“幸运九数”． 活动第一环节：寻找最小的“幸运九数”．答案是：__________． 活动升级环节：为了增加挑战性，主办方宣布，在“幸运九数”中，若该数还能被整除，将获得特别奖励．那么在以内的所有“幸运九数”中，能获得特别奖励的的最大值与最小值之差为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数的整除特征、代数式的推导与取值范围分析，熟练掌握“幸运九数”的定义、和的整除判定规则是解题的关键． 第一环节：要找到最小的“幸运九数”，需让千位数字尽可能小（千位不能为），再让百位数字尽可能小，最后根据定义确定十位和个位数字． 第二环节：先明确“幸运九数”的数字和为，满足被整除的条件，因此只需满足被整除的条件；再结合“幸运九数”的定义推导出千位与百位数字相等，最后在以内的范围内找出符合条件的最大数和最小数，计算差值． 【详解】解：设四位正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 第一环节： ∵千位数字，要使最小， ∴， ∵， ∴， ∵要使最小，百位数字取最小可能值， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第二环节： ∵是“幸运九数”， ∴，， ∴， ∵，且能被整除， ∴能被整除，只需满足被整除的条件， ∴被整除的条件为是的倍数， ∵， ∴， ∵，， ∴，可得， ∵是的倍数， ∴在此范围内的值只能是， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得， ∵为至的整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∵最大值为，最小值为， ∴差值为， 故答案为：①；② 【变式题7-2】.（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，…． 因为（，且n为整数），的末尾数字是1， 所以的末尾数字是1， 所以的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)试说明：能被5整除． 【答案】(1)3，6 (2)的末尾数字是6 (3) 证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… ∴的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； 同理可得：的末尾数字是7，的末尾数字是9，的末尾数字是3，的末尾数字是1； ∴的末尾数字是9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【分析】本题考查了数字类规律探索； （1）根据材料中的规律可得出的末尾数字，类似材料方法找出的末尾数字的规律，然后可得答案； （2）类似材料方法找出的末尾数字的规律，然后可得答案； （3）求出的末尾数字是6，的末尾数字是9，可得的末尾数字是5，则能被5整除． 【详解】（1）解：∵， ∴的末尾数字为3； ∵的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…， ∴的末尾数字是4，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…． 因为，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； （3）略 【变式题7-3】.（25-26七年级上·福建厦门·期中）在破译某种五位数密码时，发现当密钥长度能被13整除时，能够快速解密． 例如，要判断密钥长度是否能被13整除，可以进行如下操作： 第一步：去掉个位数字1，得到5820，计算，得到； 第二步：下面判断能否被13整除； 继续对重复步骤一的操作： 去掉个位数字1，得到581，计算，得到； 第三步：下面判断能否被13整除： 继续对重复步骤一的操作： 去掉个位数字2，得到57，计算，得到； 第四步：下面判断能否被13整除： 由于39是13的倍数，所以能被13整除，所以58201能被13整除． (1)根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断31837能否被13整除（请写出详细的判断过程）； (2)请根据以上信息，用文字表述判断一个五位数能否被13整除的规律； (3)你认为上述规律对所有五位数N都成立吗？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【答案】(1)31837能被13整除． (2)判断规律：将一个数的个位数字去掉，用剩下的数减去9乘以个位数字，得到一个新数．如果新数能被13整除，则原数也能被13整除；否则不能．重复此过程，直到能直接判断． (3)成立． 【分析】本题考查了整数整除的规律探究． （1）依据题目给出的判断流程，对31837依次进行“去个位→前四位减9乘个位”的操作，每一步得到新数后判断是否为13的倍数，直到得出结论； （2）提炼题目中判断过程的核心动作：去个位、前几位减9乘个位，将重复操作转化为通用文字步骤； （3）用代数表达式表示五位数及其操作后的值，通过等式变形揭示两者的倍数关系，利用91是13的倍数这一特性，证明原数与新数的整除性一致，从而说明规律的普遍性． 【详解】（1）解：31837去掉个位数字7，剩下3183，计算； 3120去掉个位数字0，剩下312，计算； 312去掉个位数字2，剩下31，计算； 因为13是13的倍数，所以31837能被13整除； （2）解：判断一个五位数能否被13整除，步骤如下： ①去掉该五位数的个位数字，用剩下的四位组成的数减去个位数字的9倍，得到一个新数； ②若新数能被13整除，则原五位数能被13整除；若新数仍较大，可重复步骤①，直到能判断新数是否被13整除为止； （3）解：上述规律对所有五位数都成立．理由如下： 设任意五位数为 (a，b，c，d，e为数字，)， 去掉个位数字e后剩下的四位组成的数为， 根据规律操作得到新数． 计算N与M的关系： 因为，所以是13的倍数． 因此，N能被13整除当且仅当能被13整除，而10与13互质， 故N能被13整除当且仅当M能被13整除． 因此，上述规律对所有五位数都成立． 易错点 1、求数字规律时只观察前几项就下结论，未验证，导致规律错误。 2、符号规律奇偶位判断错误，混淆 与。 3、图形计数时漏掉首项或增量看错，未找相邻差值。 4、整除论证中拆项不彻底，余项判断不完整。 5、程序框图、周期问题中循环节判断错误，取余运算有误。 重点 1、会用代数式表示数字与图形规律。 2、掌握观察→归纳→验证的一般思路。 3、会用代数推理论证整除并解释数字游戏道理。 4、会识别等差、正负交替、递推、周期等常见规律。 难点 1、复合规律（符号、分数、乘方、图形结构组合）的归纳。 2、整除性与数字游戏的代数论证表达。 3、周期、递推、数阵等进阶规律的识别与处理。 4、开放探究与设计规律问题的猜想与论证。 【对应练习题】 一、单选题 1．按一定规律排列的一列数：，，，，，…，则第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将分数拆分为分子、分母两部分，分别寻找与项数的对应规律，推导第n项表达式后代入计算． 【详解】解：观察数列可知，第个数的分子为， 第1个数的分母为， 第2个数的分母为， 第3个数的分母为， … 故第个数的分母为， 当时，该数为． 2．有个连续偶数，若中间一个数用（为正整数）表示，则这3个连续偶数可以表示为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】连续偶数的性质：相邻两个偶数之间的差值为2，因为中间的数是，那么它前一个偶数等于减去2，提取公因式后可整理为对应形式．它后一个偶数等于加上2，提取公因式后可整理为对应形式，再匹配选项即可． 【详解】∵连续偶数相邻两数相差2，中间数为， ∴前一个偶数为，后一个偶数为． 即三个连续偶数为 ，，． 3．观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律可得的个位数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察等式，找出循环周期，计算除以周期的余数，根据余数得到对应个位数字即可解答． 【详解】因为，，，，，， 所以个位数字的规律是以这个数为一个循环周期． 因为， 所以的个位数字与的个位数字相同，为． 4．有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先根据数值转换器的规则依次计算输出结果，再观察结果找到循环周期，最后根据周期计算第2026次的输出结果． 【详解】解：根据数值转换器规则，依次计算输出结果： 第1次：输入（奇数），输出； 第2次：输入（偶数），输出； 第3次：输入（偶数），输出； 第4次：输入（偶数），输出； 第5次：输入（偶数），输出； 第6次：输入（奇数），输出； 第7次：输入（偶数），输出2； 第8次：输入（偶数），输出1； …… 观察可知，从第3次开始，输出结果以“”为一个循环周期， 先减去前2次，， 再计算余2， 即循环了674个周期后，第2个位置的数，循环周期“”中第2个位置的数是2， 即第2026次输出的结果是2． 5．小明观察家里的地砖花纹发现，地砖的花纹中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有个花朵，第②个图案中有个花朵，第③个图案中有个花朵，，按此规律排列下去，则第个图案中花朵的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图案的数量可得第个图案中有个花朵，再把代入计算即可． 【详解】解：∵第①个图案中有个花朵，， 第②个图案中有个花朵，， 第③个图案中有个花朵，， ， ∴第个图案中有个花朵， 当时，， 即第个图案中花朵的个数为． 6．如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（     ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】依次求出与数，，，，对应的点重合的字母，发现规律即可求解． 【详解】解：圆的周长为个单位长度，，，，是圆的等分点， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，，的点重合， ， 数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母重合． 二、填空题 7．用小棒摆正方形，相邻两个正方形共用一条边．摆个正方形用根小棒，摆个用根，摆个用根，，按这样的规律： （）摆个正方形需要______根小棒； （）摆个正方形需要______根小棒． 【答案】 【分析】根据已知摆个正方形的小棒数量，找出数量的变化规律即可求解． 【详解】解：摆个正方形用根小棒，， 摆个用根，， 摆个用根，， ， ∴摆个正方形需要的小棒数量为， 当时，， ∴摆个正方形需要根小棒． 8．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有_________个★． 【答案】 【分析】通过观察前四个图形中星星的数量，归纳出第个图形星星数量的通项公式． 【详解】解： 第个图形有个★， 第个图形有个★， 第个图形有个★， 第个图形有个★， 第个图形有个★ 当时， 第个图形共有个★ 9．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第20个图案中白色正方形比黑色正方形多_______个． 【答案】 【分析】利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律为：第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个，把代入规律计算即可． 【详解】解：第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个， 第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多个， 第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多个， … 类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个，即个， 故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个． ∴第20个图案中白色正方形比黑色正方形多：（个）． 三、解答题 10．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)图1的阴影部分的面积是___________；受此启发，得到的值___________； (2)若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得的值为___________； (3)请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（要求分割方式与图1不同）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据正方形面积为，各部分面积依次为，阴影部分为最后剩余部分．各部分面积之和等于正方形面积减去阴影部分面积，即减去最后一项．由此规律解答（1）、（2），并设计（3）的图案即可． 【详解】（1）解：正方形面积为， 部分①面积为，部分②面积为，部分③面积为， 部分④面积为，部分⑤面积为， 阴影部分面积为； ． （2）解：按此规律继续分割，最后一项为， ． （3）解：设计如下：画一个边长为的正方形， 第一步：用一条竖直线将正方形平分为左右两个矩形，左边矩形①面积为； 第二步：用一条水平线将右边矩形平分为上下两个小矩形，上方正方形②面积为； 第三步：用一条竖直线将右下矩形平分为左右两个更小矩形，左边矩形③面积为； 第四步：用一条水平线将剩余矩形平分为上下两个，上方正方形④面积为，剩余下方小正方形面积也为． ． 图略． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $