3.3 探索与表达规律（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦“探索与表达规律”核心知识点，系统梳理数字变化（等差、正负交替等）和图形变化（数形结合、数量关系）规律，通过从特殊到一般的过程，引导学生用代数式表示规律，构建从具体实例到抽象模型的学习支架。 该资料以“问题情境—规律探究—代数表达—验证应用”为主线，通过随学随练、题型分类（如单项式规律、末尾数字问题）培养抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型观念（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，弥补规律探究中的认知盲点。

第三章 整式及其加减 3.3 探索与表达规律 课标要点 1. 经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，能用代数式表示简单问题中的数量关系，体会代数推理的特点和作用。 2. 借助代数式运算（合并同类项、去括号等）验证所探索规律的一般性，发展符号意识和推理能力。 3. 能用代数式解释具体问题中蕴含的规律或现象，培养应用意识和模型观念。 学习重难点 学习重点 1. 探索实际问题中蕴含的关系和规律，能用代数式正确表示一般规律。 2. 借助代数式运算验证所探索规律的一般性，体会代数推理的作用。 学习难点 1. 从具体数字或图形中抽象出一般规律，用字母、运算符号准确表示，避免表达不完整或错误。 2. 训练有条理的表达能力，能用代数推理解释规律成立的原因，而非仅凭观察猜测。 知识点 规律类：数字变化型 一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1. 拓展延申： 特别提醒 1.数字变化型规律题，关键看差（等差/差等差）或比（等比），或与平方数/序号n关联。 2. 注意正负交替时，用 (-1)^n 或 (-1)^{n+1} 表示符号。 3. 验证前几项确保表达式正确。 随学随练 1.（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）小红设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字互不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2026次后得到的数是______． 3．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）有一列数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的倒数的差”，即，，，…． (1)请分别计算，，，的值； (2)根据这列数的规律，直接写出 ； (3)计算的值． 知识点 规律型：图形变化类 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 特别提醒 1. 图形变化类要数形结合，从图形变化中找数量规律，用含序号 n的代数式表达。 2. 注意图形拆分，观察新增部分与序号的对应关系（如每次增加几条边、几个点）。 3. 验证前几项确保公式无误。 随学随练 1.（2026·重庆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南信阳·三模）下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 拓展 数字类规律探索之新运算问题 1. 读懂定义：认真阅读新运算的符号和规则，明确运算顺序和参与运算的各部分含义。 2. 按例计算：将给定的具体数字代入新定义式，严格遵循规则逐步计算，得出初步结果。 3. 推广归纳：若涉及含字母或序号的规律，将数字换成n，按定义列出代数式，化简后找出一般性规律并验证。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 3．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么，，，，，，…，那么____． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则___________． 拓展 数字类规律探索之等式问题 1. 找不变与可变：观察等式两边固定不变的部分（如常数、符号）和随序号变化的部分。 2. 用序号表示可变：将变化部分与序号（1,2,3…）对应，找出倍数、平方、加减等关系，并用含n的代数式表示。 3. 验证统一写式：将不变部分与可变部分组合成完整等式，代入前几个序号验证，确保所有等式一致。 活学活用 1.（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式：__________； （2）写出第n个等式：__________（用含n的式子表示）． 3．（25-26七年级上·全国·阶段检测）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 根据以上规律，第n个等式为______． 4．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）一数学兴趣小组开展“发现数学规律之美”的活动，探究了“正偶数的平方能否表示为的形式”的问题． (1)细心观察以下等式，可以发现它们之间隐藏着某种有趣的规律． 第①个等式：． 第②个等式：． 第③个等式：． 第④个等式：． … 探索以上等式的规律，写出第⑦个等式：________． 第个等式为________． (2)经过对上述问题的分析，小组进一步探究“正整数的平方能否表示为的形式”．师生研讨分析过程如下： 第①个等式：． 第②个等式：． 第③个等式：． 第④个等式：． 第⑤个等式：． 第⑥个等式：． 第⑦个等式：． 第⑧个等式： … 综上所述，可以将正整数的平方表示为代数式的形式，用含（为正整数）的等式具体表示为__________． 拓展 图形类规律探索之数量问题 1.数清基础量：依次数出前几个图形中目标数量（如点数、边数），与图形序号对应列成表格。 2. 寻找增量：计算相邻图形数量的差值，若差固定为一次关系；若差再差固定则为二次关系。 3. 建立表达式：根据增量与序号的关系，写出含n的代数式，代入前几项验证后即得通项公式。 活学活用 1.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： (1)第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________； (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________； 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． (1)第5个图案需要________根小棒； (2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） (3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 3．（25-26七年级上·河北承德·期末）如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字． (1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子． (2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________． (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级上·河南周口·期中）用火柴棒按如下所示的方法搭图形． (1)完成下表． 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 3 5 7 … (2)第个图形需要多少根火柴棒？ 题型 数字类规律探究之单项式的规律问题 解题贴士 分别观察系数（符号、绝对值）和字母指数的变化规律。常用第n项表示：系数正负交替用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹，指数与序号n建立关系。 ▌例1（2026·云南大理·二模）按一定规律排列的单项式：、、、、，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）观察，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______． ▌对点练1-2（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）观察下列单项式：，则第2025个单项式是___________． ▌对点练1-3（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 题型 数字类规律探索之排列问题 解题贴士 先看符号正负交替规律，再看绝对值变化（等差、等比或平方）。常与序号n挂钩，如系数用(-1)ⁿ控制符号，绝对值用含n的代数式表示。 ▌例2（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 ▌对点练2-1（25-26七年级上·全国·课后作业）一组数按如图所示的规律排列，根据排列规律，第2025个数是________数（填“正”或“负”），应排在点________处（填“”“”“”或“”）． ▌对点练2-2（25-26七年级上·福建福州·期中）有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是______． ▌对点练2-3（25-26七年级上·四川眉山·期末）观察下列数字： 按上述数字排列规律，请问第45层的第3个数是__________． 题型 数字类规律探索之末尾数字问题 解题贴士 先计算前几个幂的末位数字，找循环节（周期）。用指数除以周期，看余数对应第几个末位数字。余数为0时对应周期最后一位。 ▌例3（25-26七年级上·四川成都·期中）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…；则22008的个位数是_____． ▌对点练3-1（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是_____． ▌对点练3-224-25七年级上·广西南宁·开学考试）（2014个7相乘），积的个位数是( ) ▌对点练3-3（24-25七年级上·全国·期中）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方(任意一个个位数字为5的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数)，会发现一些有趣的规律．请仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【规律应用】 (1)第4个等式：_____________________；第n个等式：________________________(用含n的等式表示)； (2)根据以上的规律直接写出结果： ____________________(结果若有乘方带乘方，不需计算最后结果)． 题型 图形类规律探索之数字问题 解题贴士 把图形转化为数字：数顶点、边、区域或小图形个数，找相邻图形数量的差（常为等差）。用含n的式子表示第n个图形的数量，代入验证。 ▌例4（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … ▌对点练4-1（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…依此规律，第五行的数是______． ▌对点练4-2（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ ▌对点练4-3（25-26七年级上·山东青岛·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”代数与几何是辩证统一的关系，数形结合思想在解决数学问题中经常用到，我们用完全相同的小圆圈按下图中的方式拼摆图形，发现规律并运用规律解决问题． 图①：； 图②：； 图③：； 图④：； …… (1)观察图片中小圆圈的排列方式，我们发现： 第n个图形：（n是正整数）； (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 基础通关 一、单选题 1.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）九三阅兵中先进的坦克车队给小明留下了深刻印象，受此启发，小明将一列有理数1，2，3，4，5，6……如图所示有序排列出车队形状，2025年是抗日战争胜利80周年，根据图中的排列，有理数2025在对应车的哪个部位？（   ） A．B B．A C．D D．C 2．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）观察下列等式，它们的个位数字有什么规律，的个位数字是（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（   ） A．第个正方形的左下角 B．第个正方形的右上角 C．第个正方形的右上角 D．第个正方形的左下角 4．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案，第1000个图案中有白色的地面砖（      ） A．2026 块 B．2025 块 C．4004 块 D．4002 块 5．（24-25六年级上·山东泰安·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为是（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，运算如图，若，则第2025次“F”运算的结果为（   ） A．37 B．116 C．74 D．92 二、填空题 6．（2026·江西赣州·一模）阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的台阶上依次标着照这个规律，从下到上第2026个台阶上的数字是__________． 7．（2026九年级下·山东聊城·专题练习）生物学中，描述，解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即，，，，请你计算的个位数字是_____． 8．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）在我国南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： … 观察这些规律，请写出展开式中项的系数为______． 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 10．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）如图，第1个图形中的三角形个数记为，第2个图形中的三角形个数记为，第3个图形中的三角形个数记为，…，依此类推，第n个图形中的三角形个数记为，则________，________． 三、解答题 11．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）观察下列各组数的排列规律，接着写出后面的三个数． (1)，4，，8，，___，________，____，…； (2)，2，3，，5，6，，8，9，_______，____，____，…； (3)1，0，，0，1，0，，0，1，0，，0，1，0，_________，___，____，…． 12．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）对大于0的自然数n规定一种运算“G”： ①当n是奇数时，； ②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数； 将k次“G”运算记作，如，． 计算： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 13．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探索规律： 观察下面的等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请写出第个等式：______； (2)利用（1）中的等式，计算：； (3)计算：． 14．（25-26七年级上·全国·期末）将字母“C”、“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去… (1)第n个图形中“H”的个数是 个； (2)求第2026个图形中“H”的个数． 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 素养提升 1.（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，将自然数从开始按逆时针方向螺旋排列，数字位于第圈的中心，数字分布在第圈，数字分布在第圈，…，按此规律继续排列下去，数字出现在（   ）． A．第圈 B．第圈 C．第圈 D．第圈 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，（1），（2），… 运算（二）：，，，，… 利用以上规律计算：（   ） A． B． C．0 D． 3．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京石景山·期末）利用归纳的方法探究（是正整数）的结果的个位数字的规律，并写出： （1）的个位数字是__________； （2）的个位数字是__________． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）已知，，，，那么________________________． 6．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 7．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 8．（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； …… (1)请根据上述规律，计算的结果为________ (2)猜想________； (3)根据发现的规律，计算． 9．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 10．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 迁移创新 1．（2026·广东肇庆·二模）观察下列各式的特点： 第1组：； 第2组：； 第3组：； … (1)根据上述规律，写出第n组数；__________，__________，__________； (2)小李猜想：当第n组数，时，b与c的奇偶性相同，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由． 2.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 3.（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 整式及其加减 3.3 探索与表达规律 课标要点 1. 经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，能用代数式表示简单问题中的数量关系，体会代数推理的特点和作用。 2. 借助代数式运算（合并同类项、去括号等）验证所探索规律的一般性，发展符号意识和推理能力。 3. 能用代数式解释具体问题中蕴含的规律或现象，培养应用意识和模型观念。 学习重难点 学习重点 1. 探索实际问题中蕴含的关系和规律，能用代数式正确表示一般规律。 2. 借助代数式运算验证所探索规律的一般性，体会代数推理的作用。 学习难点 1. 从具体数字或图形中抽象出一般规律，用字母、运算符号准确表示，避免表达不完整或错误。 2. 训练有条理的表达能力，能用代数推理解释规律成立的原因，而非仅凭观察猜测。 知识点 规律类：数字变化型 一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1. 拓展延申： 特别提醒 1.数字变化型规律题，关键看差（等差/差等差）或比（等比），或与平方数/序号n关联。 2. 注意正负交替时，用 (-1)^n 或 (-1)^{n+1} 表示符号。 3. 验证前几项确保表达式正确。 随学随练 1.（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【答案】C 【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：观察给出的算式可得： ∵ 第1个算式的结果为， 第2个算式的结果为， 第3个算式的结果为， ... ∴ 归纳规律：第个算式的结果为. 当时，， 因此第99个算式的结果是10000． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）小红设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字互不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2026次后得到的数是______． 【答案】495 【分析】任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程，即可发现规律． 【详解】解：若取数字6，5，3， 第1次运算：， 第2次运算：， 第3次运算：， 第4次运算：， 第5次运算：， …， 可以发现，从第4次运算开始，结果恒为495， ∴按照此程序运算2026次后得到的数是：495． 3．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）有一列数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的倒数的差”，即，，，…． (1)请分别计算，，，的值； (2)根据这列数的规律，直接写出 ； (3)计算的值． 【答案】(1)，，，； (2) (3)． 【分析】（1）把代入递推关系，计算即可； （2）由（1）可得循环规律，即可得； （3）根据循环规律计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，． （2）解：由（1）可得，这列数是以，，这个数为一个循环节循环出现的， ∴， ∴． （3）解： ． 知识点 规律型：图形变化类 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 特别提醒 1. 图形变化类要数形结合，从图形变化中找数量规律，用含序号 n的代数式表达。 2. 注意图形拆分，观察新增部分与序号的对应关系（如每次增加几条边、几个点）。 3. 验证前几项确保公式无误。 随学随练 1.（2026·重庆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时， 第⑧个图形中圆点的个数为． 2．（2026·河南信阳·三模）下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 【答案】 104 【分析】观察图形中棋子数量的变化，将每个图形的棋子数表示为序号的平方与常数4的和，归纳出第个图形的通项公式，代入进行计算即可． 【详解】解：图①中棋子数量为， 图②中棋子数量为， 图③中棋子数量为， 图④中棋子数量为， ， 由此规律可知，第个图形中棋子的数量为， 当时，棋子数量为． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 【答案】（1）12，14，4052，4054；（2） ；（3）该图案中正方形有1014个 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题中所给图形规律进行求解即可； （2）由（1）可总结该图形类规律； （3）由（2）及题意可进行求解． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 拓展 数字类规律探索之新运算问题 1. 读懂定义：认真阅读新运算的符号和规则，明确运算顺序和参与运算的各部分含义。 2. 按例计算：将给定的具体数字代入新定义式，严格遵循规则逐步计算，得出初步结果。 3. 推广归纳：若涉及含字母或序号的规律，将数字换成n，按定义列出代数式，化简后找出一般性规律并验证。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一个数是，是，第二个数是，即…，则观察选项，可得第个数是多少。 【详解】第一个数： 第二个数： 第三个数： 第四个数： …… 第n个数：. 2．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 【答案】 【分析】观察数列中各项的数值与对应项数的关系，通过归纳总结得出第个数的表达式． 【详解】解：由题干可得，第个数为，第个数为，第个数为，第个数为， 依此类推，归纳可得第个数为． 3．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么，，，，，，…，那么____． 【答案】 【分析】观察可以发现，每4个数为一个循环组依次循环，然后用2026除以4，根据余数的情况，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴每4个数为一个循环组依次循环， ∴， ∴． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则___________． 【答案】28 【分析】根据题意，依次得出，，，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ， 所以． 当时，． 拓展 数字类规律探索之等式问题 1. 找不变与可变：观察等式两边固定不变的部分（如常数、符号）和随序号变化的部分。 2. 用序号表示可变：将变化部分与序号（1,2,3…）对应，找出倍数、平方、加减等关系，并用含n的代数式表示。 3. 验证统一写式：将不变部分与可变部分组合成完整等式，代入前几个序号验证，确保所有等式一致。 活学活用 1.（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 【答案】 【分析】观察已知等式，归纳总结得到第n个等式的一般规律，再将代入规律计算即可得到结果． 【详解】观察给出的等式：第1个等式：，可写为． 第2个等式：，可写为． 第3个等式：，可写为 ．．．． 归纳规律可得，第个等式为：． 当时，． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式：__________； （2）写出第n个等式：__________（用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 3．（25-26七年级上·全国·阶段检测）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 根据以上规律，第n个等式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到一般规律；由第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……；由此可得一般规律． 【详解】解：由第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……； 可知：第n个等式为； 故答案为． 4．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）一数学兴趣小组开展“发现数学规律之美”的活动，探究了“正偶数的平方能否表示为的形式”的问题． (1)细心观察以下等式，可以发现它们之间隐藏着某种有趣的规律． 第①个等式：． 第②个等式：． 第③个等式：． 第④个等式：． … 探索以上等式的规律，写出第⑦个等式：________． 第个等式为________． (2)经过对上述问题的分析，小组进一步探究“正整数的平方能否表示为的形式”．师生研讨分析过程如下： 第①个等式：． 第②个等式：． 第③个等式：． 第④个等式：． 第⑤个等式：． 第⑥个等式：． 第⑦个等式：． 第⑧个等式： … 综上所述，可以将正整数的平方表示为代数式的形式，用含（为正整数）的等式具体表示为__________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数字类规律暗探索，根据已知等式找出一般规律是解题关键． （1）根据已知等式找出规律作答即可； （2）根据已知等式找出规律作答即可． 【详解】（1）解：（1）第①个等式：． 第②个等式：． 第③个等式：． 第④个等式：， …… 探索以上等式的规律，写出第⑦个等式：， 观察发现，第个等式为； （2）解：观察分析过程可知，第个等式为． 拓展 图形类规律探索之数量问题 1.数清基础量：依次数出前几个图形中目标数量（如点数、边数），与图形序号对应列成表格。 2. 寻找增量：计算相邻图形数量的差值，若差固定为一次关系；若差再差固定则为二次关系。 3. 建立表达式：根据增量与序号的关系，写出含n的代数式，代入前几项验证后即得通项公式。 活学活用 1.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： (1)第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________； (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________； 【答案】(1)14， (2) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题； （2）根据题中所给规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：14，； （2）解：由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． (1)第5个图案需要________根小棒； (2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） (3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形规律，找出规律是关键． （1）根据题意得到第5个图案需要的小棒数为，，由此即可求解； （2）根据（1）的图形规律得到当从第2个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为，由此即可求解； （3）把代入（2）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：第1个图案需要7根小棒， 第2个图案需要13根小棒，即 第3个图案需要18根小棒，即， 第4个图案需要的小棒数为，， ∴第5个图案需要的小棒数为，， 故答案为：； （2）解：根据题意，当从第3个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为， 故答案为：； （3）解：， ∴第137个图案中有根小棒． 3．（25-26七年级上·河北承德·期末）如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字． (1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子． (2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________． (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7；12；17 (2) (3) 不存在，理由：假设存在第个“山”字使棋子个数为368枚， 则，解得， ∵为正整数，而73.2不是正整数， ∴不存在这样的第个“山”字． 【分析】本题考查图形规律探究，通过观察图形棋子数的变化，得到第个图形需要用的棋子的枚数，再利用规律解决问题． （1）直接数出每个图形的棋子数； （2）观察棋子数的变化规律，用含的代数式表示； （3）假设存在，得到方程，解方程，判断解是否为正整数． 【详解】（1）解：数第一个图形的棋子数为7枚，第二个图形为12枚，第三个图形为17枚． 故答案为：7；12；17； （2）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多5枚棋子， 第一个图形用了7枚，即，第二个图形用了12枚，即， 第三个图形用了17枚，即， 故摆第个图形需要用的棋子枚数为； 故答案为：； （3）略 4．（25-26七年级上·河南周口·期中）用火柴棒按如下所示的方法搭图形． (1)完成下表． 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 3 5 7 … (2)第个图形需要多少根火柴棒？ 【答案】(1)表格见详解 (2)第个图形需要根火柴棒 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据图形可进行求解； （2）根据（1）中规律可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：①图形有火柴棒3根，②图形有火柴棒根，③图形有火柴棒根，④图形有火柴棒根，⑤图形有火柴棒根，…； 所以完成表格如下： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 3 5 7 9 11 … （2）解：由（1）可知：第个图形需要根火柴棒． 题型 数字类规律探究之单项式的规律问题 解题贴士 分别观察系数（符号、绝对值）和字母指数的变化规律。常用第n项表示：系数正负交替用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹，指数与序号n建立关系。 ▌例1（2026·云南大理·二模）按一定规律排列的单项式：、、、、，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别找出系数和的次数与序号的变化规律即可求解． 【详解】解：∵观察所给单项式可得：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：，．．． ∴可得规律：第个单项式中，的次数为，系数为， ∴第个单项式为． ▌对点练1-1（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）观察，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______． 【答案】 【分析】本题考查数字与代数式的规律探索，将式子拆分为系数、字母部分是解题关键． 分别分析式子的系数和字母部分的变化规律，再合并规律得到第个式子． 【详解】解：观察已知式子， 系数：第一项为，第二项为，第三项为，…，第项的系数为； 字母及指数：第一项为，第二项为，第三项为，…，第项为； 整合规律，第个式子为：． 故答案为：． ▌对点练1-2（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）观察下列单项式：，则第2025个单项式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，总结归纳出单项式的规律是解答本题的关键； 观察单项式序列的符号、系数和指数变化规律：符号正负交替，系数为偶数序列，指数与项数相同，由此归纳第个单项式的表达式； 【详解】解：给定单项式序列：，，，，，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由此类推，第个单项式为， ∴第2025个单项式是． 故答案为：． ▌对点练1-3（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数是 【分析】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． （1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，得 第n个单项式是，系数是，次数是． 题型 数字类规律探索之排列问题 解题贴士 先看符号正负交替规律，再看绝对值变化（等差、等比或平方）。常与序号n挂钩，如系数用(-1)ⁿ控制符号，绝对值用含n的代数式表示。 ▌例2（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 【答案】D 【详解】解：由题意可知，奇数排列从列开始到列，再从列到列结束，每个奇数位置循环出现， 另第一个数字为，第个数字为，第个数字为， 则第个数字为， 是第个式子， 则， （行）， 可知在行列，选项符合题意． ▌对点练2-1（25-26七年级上·全国·课后作业）一组数按如图所示的规律排列，根据排列规律，第2025个数是________数（填“正”或“负”），应排在点________处（填“”“”“”或“”）． 【答案】 负 【分析】本题考查了探究规律类问题，明确数的位置的变化规律，观察题目信息与图形信息是解题的关键． 根据图象规律可知，以4个数为一组循环，除了第一个数1外，偶数为正，奇数为负，据此确定正负与位置即可． 【详解】解：∵第2025个数是奇数， ， ∴第2025个数是负数，应排在点处． 故答案为：负；． ▌对点练2-2（25-26七年级上·福建福州·期中）有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是______． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索，通过观察所给数字的特征，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：第1个数为 ， 第2个数为 ， 第3个数为 ， 第4个数为 ，第5个数为 ， 以此类推，第n个数为 ． 故答案为 ． ▌对点练2-3（25-26七年级上·四川眉山·期末）观察下列数字： 按上述数字排列规律，请问第45层的第3个数是__________． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得到前4层的第2个数，从而得到第n层的第2个数为，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第1层的第2个数为， 第2层的第2个数为， 第3层的第2个数为， 第4层的第2个数为， ……， 第n层的第2个数为， ∴第45层的第2个数为， ∴第45层的第3个数是． 故答案为：2026 题型 数字类规律探索之末尾数字问题 解题贴士 先计算前几个幂的末位数字，找循环节（周期）。用指数除以周期，看余数对应第几个末位数字。余数为0时对应周期最后一位。 ▌例3（25-26七年级上·四川成都·期中）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…；则22008的个位数是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了数字的规律探索，解题的关键是找出个位数字的循环规律． 先观察的个位数字，发现其以、、、为周期循环，再用2008除以循环周期的长度4，根据余数判断的个位数字． 【详解】解：首先，观察已知的，个位数字是， 个位数字是， 个位数字是， 个位数字是， 个位数字又回到2， ……， 由此可归纳出的个位数字是以、、、这四个数字为一个周期循环出现的， 然后，计算2008除以周期长度4，即，没有余数， 这说明的个位数字刚好完成了502个完整的周期， 所以其个位数字与的个位数字相同，即为6． 故答案为：6． ▌对点练3-1（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查找规律，由题中可以看出，以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，即可知的个位数字． 【详解】解： 以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的， ， 所以的个位数字是1， 故答案为：1． ▌对点练3-224-25七年级上·广西南宁·开学考试）（2014个7相乘），积的个位数是( ) 【答案】 【分析】本题主要考查积的尾数特征，找出尾数出现的规律是解答本题的关键．先将1，2，3，4，5……个7相乘，找出积的最末位数字出现的规律，再根据规律写出2014个7的最末位数字即可解答． 【详解】解：，最末位数字是7， ，最末位数字是9， ，最末位数字是3， ，最末位数字是1， ，最末位数字是7， ……， 最末位数字按7，9，3，1依次出现， ． 即2014个7相乘所得积的最末位数字与2个7相乘所得积的最末位数字相同，是9． 故答案为：9． ▌对点练3-3（24-25七年级上·全国·期中）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方(任意一个个位数字为5的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数)，会发现一些有趣的规律．请仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【规律应用】 (1)第4个等式：_____________________；第n个等式：________________________(用含n的等式表示)； (2)根据以上的规律直接写出结果： ____________________(结果若有乘方带乘方，不需计算最后结果)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数字类规律探究，从已有等式中抽象概括出相应的规律，是解题的关键： （1）根据题干，写出第4个等式，进行推导出第n个等式即可； （2）逆用（1）中规律即可． 【详解】（1）解：由题意，得：第4个等式：， 第n个等式：； （2）由（1）可知：； 故答案为：． 题型 图形类规律探索之数字问题 解题贴士 把图形转化为数字：数顶点、边、区域或小图形个数，找相邻图形数量的差（常为等差）。用含n的式子表示第n个图形的数量，代入验证。 ▌例4（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 【答案】6080 【分析】每增加一个梯形，其周长就增加，据此求解即可得出n个梯形得到的图形的周长，从而可求解． 【详解】解：1个梯形时，其周长， 2个梯形时，其周长， 3个梯形时，其周长， ...， 个梯形时，其周长为， 当时，其周长为：． ▌对点练4-1（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…依此规律，第五行的数是______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字变化的规律探索，找出隐含的规律是解题的关键．观察数轴可得，所有的数字都是奇数，第一行的数是1，第二行的数是1向右数第个数，第三行的数是13向右数第个数，第四行的数是43向右数第个数……按照这样的规律依次计算即可得到结论． 【详解】解：第一行的数是1， 第二行的数是1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行的数是13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行的数是43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行的数是91向右数第个数，为第个奇数，即， ∴第五行的数是157． 故答案为：157． ▌对点练4-2（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【答案】表格见解析；；20 【分析】本题考查欧拉公式，正确数出多面体的顶点、面、棱的数量； （1）数出各个多面体的顶点、面、棱的数量填入表格即可，其中正十二面体的顶点和棱比较难数，正十二面体是由12个正五边形面组成的，每顶点连着3个面，所以顶点数为个，每条棱连着两个面，所以棱数为个； （2）从表格观察发现：顶点数面数棱数； （3）由一个多面体的面数比顶点数小8可得顶点数、面数的关系，代入顶点数面数棱数即可求解. 【详解】解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）从表格中观察发现： 故答案为：. （3）∵一个多面体的面数比顶点数小8， ∴ ∴ 解得 故这个多面体的顶点数为20个. ▌对点练4-3（25-26七年级上·山东青岛·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”代数与几何是辩证统一的关系，数形结合思想在解决数学问题中经常用到，我们用完全相同的小圆圈按下图中的方式拼摆图形，发现规律并运用规律解决问题． 图①：； 图②：； 图③：； 图④：； …… (1)观察图片中小圆圈的排列方式，我们发现： 第n个图形：（n是正整数）； (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数形结合思想，探索数列规律，等差数列求和，解题的关键在于建立“形”与“数”的对应关系，易错点在于规律归纳错误和计算项数错误； （1）观察：对比图形序号、算式中的加数个数和结果；归纳：发现第个图形有个加数，结果是的平方；表达：最后一个加数（第个奇数）是； （2）确定项数：令最后一项，解得，再套用规律即可； （3）转换数列：将原式视为从1加到199的和减去从1加到39的和，分别计算项数，再套用规律即可． 【详解】（1）解：观察：对比图形序号、算式中的加数个数和结果； 归纳：发现第个图形有个加数，结果是的平方； 表达：最后一个加数（第个奇数）是， 故． （2）解：确定项数：令最后一项，解得， 套用规律：根据(1)的结论， 故原式． （3）解： 令最后一项 令最后一项 上式 故原式． 基础通关 一、单选题 1.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）九三阅兵中先进的坦克车队给小明留下了深刻印象，受此启发，小明将一列有理数1，2，3，4，5，6……如图所示有序排列出车队形状，2025年是抗日战争胜利80周年，根据图中的排列，有理数2025在对应车的哪个部位？（   ） A．B B．A C．D D．C 【答案】C 【分析】本题考查图形中的数字规律，根据题中数字排列找准规律是解决问题的关键． 从第二个数开始，小明是将有理数按照一辆坦克所在平面正方形的四个顶点排列的，得到规律：从第二个数开始，每4个数一循环，再由各有理数除以4的余数，确定坦克上部位对应的余数为、坦克部位对应的余数为、坦克部位对应的余数为、坦克部位对应的余数为，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 得到规律：从第二个数开始，每4个数一循环，且计算各有理数除以4的余数，有：坦克部位对应的余数为、坦克部位对应的余数为、坦克部位对应的余数为、坦克部位对应的余数为， ， 如图所示： 即有理数2025在对应车的部位， 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）观察下列等式，它们的个位数字有什么规律，的个位数字是（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类、尾数特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题目中的数字和数字，可以写出前几个式子的值，从而可以发现这些式子结果的个位数字的变化特点，从而可以得到所求式子的个位数字． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， …， 由上可得，这列式子的结果的个位数字依次以3，2，9，0循环出现， ∵， ∴的个位数字是2， 故选：B 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（   ） A．第个正方形的左下角 B．第个正方形的右上角 C．第个正方形的右上角 D．第个正方形的左下角 【答案】B 【分析】本题考查了图形数字规律探究，关键是观察每个正方形四个顶点数字的循环规律，按“左上、右上、右下、左下”的顺序循环排列，确定左下角位置数字的表达式，再确定第个数所在的位置． 【详解】解：观察图形可知，每个正方形包含4个数字，且左下角为4的倍数，即第个图形左下角的数字为， ∵， ∴在第个图形中，然后按照左上、右上的顺序前进两个数， ∴在第个正方形的右上角． 故选：B． 4．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案，第1000个图案中有白色的地面砖（      ） A．2026 块 B．2025 块 C．4004 块 D．4002 块 【答案】D 【分析】此题考查了图形规律探究，根据图案中黑色地面砖和白色地面砖的变化情况得出规律：第个图案中共有白色地面砖块，然后代入即可． 【详解】解：由图可得：第一个图案中有一块黑色地面砖和块白色地面砖，然后每个图案中依次增加一个黑色地面砖，同时增加个白色地面砖， 第个图案中共有白色地面砖块． 当时，， 故选：D． 5．（24-25六年级上·山东泰安·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为是（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，运算如图，若，则第2025次“F”运算的结果为（   ） A．37 B．116 C．74 D．92 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律，蕴涵了结果规律探索问题，检测学生阅读理解及应用能力．根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2025次“运算”的结果． 【详解】解：当时，第一次运算：； 第二次运算：； 第三次运算：； 第四次运算：； 第五次运算：； 第六次运算：； 第七次运算：； ……， 可以发现从第七次开始，结果以、、、、、这6个数为一个周期循环．， 所以第2025次“”运算的结果为116． 故选：B． 二、填空题 6．（2026·江西赣州·一模）阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的台阶上依次标着照这个规律，从下到上第2026个台阶上的数字是__________． 【答案】6070 【分析】先观察已知台阶上数字的变化，找出数字的排列规律，推导出第个台阶上数字的代数式，再代入计算即可． 【详解】解：观察已知数据可得 第个台阶上的数：， 第个台阶上的数：， 第个台阶上的数：， 第个台阶上的数：， ...； 由此可得规律，从下到上第个台阶上的数字为， 将代入得． 7．（2026九年级下·山东聊城·专题练习）生物学中，描述，解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即，，，，请你计算的个位数字是_____． 【答案】4 【分析】先分析的个位数字的变化规律，寻找周期，再用2006除以周期数，根据余数确定对应的个位数字，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，，， ∴2的乘方的尾数每4个循环一次， ∵， ∴与的尾数相同，为4． 8．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）在我国南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： … 观察这些规律，请写出展开式中项的系数为______． 【答案】 【详解】解：由杨辉三角的规律可知， ， 即在的展开式中项的系数为． 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 【答案】 【分析】根据观察可以发现，每增加1个图形，就增加3个五角星，所以可以得到五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号，代入图形序号为18，即可求出第18个图形的五角星数量． 【详解】解：根据观察，可得五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号， 所以假设图形序号为，则五角星数量， 当时，五角星数量（枚）． 10．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）如图，第1个图形中的三角形个数记为，第2个图形中的三角形个数记为，第3个图形中的三角形个数记为，…，依此类推，第n个图形中的三角形个数记为，则________，________． 【答案】 20 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，有理数四则混合运算掌握知识点是解题的关键．观察图形可知第n幅图中三角形的个数，即可求解． 【详解】解：第1幅图中三角形的个数为4，， 第2幅图中三角形的个数为8，， 第3幅图中三角形的个数为12，， 第4幅图中三角形的个数为16，， 第5幅图中三角形的个数为20，， 以此类推，第n幅图中三角形的个数； 故答案为：20；． 三、解答题 11．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）观察下列各组数的排列规律，接着写出后面的三个数． (1)，4，，8，，___，________，____，…； (2)，2，3，，5，6，，8，9，_______，____，____，…； (3)1，0，，0，1，0，，0，1，0，，0，1，0，_________，___，____，…． 【答案】(1)12，，16 (2)，11，12 (3)，0，1 【分析】本题考查数字规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解题的关键． （1）观察各数可以发现各数的绝对值是连续的偶数，第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，即可解答； （2）观察各数可以发现，各数的绝对值是连续的正整数，符号上按每三个一组划分，每组中第一个数为负数，其余为正数，即可解答； （3）观察各数可以发现，这组数按“1，0，，0”四个数为一组循环重复出现，即可解答． 【详解】（1）解：，4，，8，，12，，16，…． 故答案为：12，，16． （2）解：，2，3，，5，6，，8，9，，11，12，…． 故答案为：，11，12． （3）解：1，0，，0，1，0，，0，1，0，，0，1，0，，0，1，…． 故答案为：，0，1． 12．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）对大于0的自然数n规定一种运算“G”： ①当n是奇数时，； ②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数； 将k次“G”运算记作，如，． 计算： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】此题考查数字类规律题，找到计算结果的规律是解题的关键． （1）当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数，据此计算即可； （2）当n是奇数时，，据此计算即可； （3）按照题意依次计算，找到规律为：从开始，运算结果按照的规律开始循环出现，据此即可得到答案． 【详解】（1）解；； （2） （3）， ， ， ； …… 由此可知， 从开始，运算结果按照的规律开始循环出现， ∵余1， ∴． 13．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探索规律： 观察下面的等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请写出第个等式：______； (2)利用（1）中的等式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及数字类变化规律探究，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）归纳总结得到第n个等式即可； （2）根据归纳的公式进行解答即可； （3）根据，利用得出的规律计算即可求出值． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 依此类推， 第n个等式：； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 14．（25-26七年级上·全国·期末）将字母“C”、“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去… (1)第n个图形中“H”的个数是 个； (2)求第2026个图形中“H”的个数． 【答案】(1) (2)4054个 【分析】本题考查了图形规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干图找出规律即可； （2）将代入（1）的结果计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图中“”的个数是：； 第2个图中“”的个数是：； 第3个图中“”的个数是：； ， ∴第个图中“”的个数是个． 故答案为：； （2）解：当时，（个），   即第2026个图形中“”的个数是4054个． 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 【答案】(1)210 (2) (3) 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 素养提升 1.（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，将自然数从开始按逆时针方向螺旋排列，数字位于第圈的中心，数字分布在第圈，数字分布在第圈，…，按此规律继续排列下去，数字出现在（   ）． A．第圈 B．第圈 C．第圈 D．第圈 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出前圈数的总个数为是解题的关键． 根据所给排列方式，得出前圈数的总个数为，据此可解决问题． 【详解】解：由所给排列方式可知， 前圈数的总个数为，前圈数的总个数为，…， 所以前圈数的总个数为． 当时， ， 即前圈数的总个数为， 所以数在第圈． 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，（1），（2），… 运算（二）：，，，，… 利用以上规律计算：（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律，有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 能根据题意发现当为整数时，；当为分数时，，据此解答即可． 【详解】解：根据规律可得 原式 ， 故选：C． 3．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察已知条件中纸杯数量与总高度的变化关系，求出每增加一个纸杯增加的高度，进而推算出8个纸杯的总高度． 【详解】由题意可知：3个纸杯比2个纸杯高，4个纸杯比3个纸杯高， ∴每增加一个纸杯，高度增加， ∴8个纸杯的高度为：． 4．（25-26七年级下·北京石景山·期末）利用归纳的方法探究（是正整数）的结果的个位数字的规律，并写出： （1）的个位数字是__________； （2）的个位数字是__________． 【答案】 3 9 【分析】先分别计算得到的个位数字，再确定的个位数字4个循环一次，用2026去除以4，看余数是几，再确定个位数字． 【详解】解：根据题意得：，个位数字为3； ，个位数字为9； ，个位数字为7； ，个位数字为1； ，个位数字为3； ，个位数字为9， ， 由此发现，的个位数字是3，9，7，1四个一循环， ， 的个位数字是9． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）已知，，，，那么________________________． 【答案】 【分析】观察式子可以得出规律：从开始连续个奇数相加的和等于，先确定算式里一共有多少个奇数，再套用规律计算． 【详解】解：观察已知式子： （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， 总结规律：从开始，连续个奇数相加，结果等于． 最后一个奇数是，奇数的个数：， ． 6．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 【答案】 【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个； 白色六边形：第1个有个， 第2个有个， 第3个有个， 可得第个图案中白色六边形数量为个； ∴白色六边形比黑色六边形多：个． 7．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干前三个的等式即可求解； （2）根据题干前三个的等式即可求解； （3）根据规律将原式变形为，再由规律求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第5个等式是：； （2）解：． （3）解：原式 ． 8．（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； …… (1)请根据上述规律，计算的结果为________ (2)猜想________； (3)根据发现的规律，计算． 【答案】(1)210 (2) (3)4995 【分析】（1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）分成1到100的和减去1到10的和，利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解:   ． 9．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 10．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 迁移创新 1．（2026·广东肇庆·二模）观察下列各式的特点： 第1组：； 第2组：； 第3组：； … (1)根据上述规律，写出第n组数；__________，__________，__________； (2)小李猜想：当第n组数，时，b与c的奇偶性相同，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)正确，详见解析 【分析】（1）根据题意探究规律即可； （2）两个式子相减即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：，为偶数， ∴b与c的奇偶性一致． 2.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 3.（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $