精品解析：山东省滨州市惠民县第二中学2025-2026学年高二上学期致远部12月测试数学试题

致远部高二数学考试题 一、单选题 1. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的概念，可得答案. 【详解】易知点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 2. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可. 【详解】A：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； B：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； C：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； D：设，则，所以共面，所以不能作为空间向量的一组基底. 故选：D 3. 已知为曲线上的动点，，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得，进而可得. 【详解】因为，且， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 所以. 故选：C. 4. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【详解】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 5. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 6. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 7. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 8. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 10. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线为圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线可能为焦点在轴上的椭圆 D. 当时，曲线为双曲线，其焦距为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程依次判断选项即可. 【详解】对选项A，当时，曲线的方程为：，表示圆，故A正确. 对选项B，当时，曲线的方程为：，表示双曲线， 渐近线方程为：，故B正确， 对选项C，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得， 故C正确. 对选项D，当时，曲线的方程为：，表示椭圆，故D错误. 故选：ABC 11. 若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. 若存在n使得 ，则 D. 若存在n使得 ，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确. 【详解】对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确； 对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确； 对于C，取，可得，而，所以C错误； 对于D，取，可得，而，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 12. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质列式求解. 【详解】设所求三个数依次为，则成等差数列， 因此，解得， 所以这3个数为. 故答案为： 13. 数列中，若,，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合累乘法求出数列的通项公式即可计算求解. 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程设圆心关于直线l：对称的圆心坐标为，列方程组解得的坐标，从而得对称圆的标准方程. 【详解】圆：的圆心为，半径， 设圆心关于直线l：对称的圆心坐标为， 则，解得，故， 所以对称的圆的标准方程为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知点，直线l： （1）求点M关于点对称点的坐标 （2）求过点M与直线l平行的直线. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得点为，的中点，由中点坐标公式求解即可； （2）设所求直线方程为，代入点，求解即可. 【小问1详解】 设， 则点为，的中点， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 设所求直线方程为， 代入点， 则有， 解得， 所以所求直线方程为：. 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 17. 已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线？ （2）若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】（1）曲线的方程为，曲线是除去左、右顶点的双曲线 （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可． （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【小问1详解】 因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． 【小问2详解】 根据已知作图如下． 由已知得直线，联立，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 18. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列为等差数列. 【答案】（1） （2） 由（1）, 所以， 所以， 所以数列为公差为的等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，由此可得的通项公式； （2）利用等差数列的定义证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 依题意有， 解得， 所以. 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致远部高二数学考试题 一、单选题 1. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为曲线上的动点，，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 10. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线为圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线可能为焦点在轴上的椭圆 D. 当时，曲线为双曲线，其焦距为 11. 若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. 若存在n使得 ，则 D. 若存在n使得 ，则 三、填空题 12. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为________． 13. 数列中，若,，则_____. 14. 求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程_______. 四、解答题 15. 已知点，直线l： （1）求点M关于点对称点的坐标 （2）求过点M与直线l平行的直线. 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 17. 已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线？ （2）若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 18. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列为等差数列. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $