江苏南京市第十三中学、第九中学等校2026-2027学年高二上学期10月学情调研数学试题

2025级高二10月学情调研参考答案 1.B 2.D 3.C4.A 5.C 6.C7.B 8.A 9.ABD 10.AB11.ABD12.-2 13.12 14.2 15.(本题13分) 解：(1)因为直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y-2=0平行， 则1×2-0+m)m=0,解得m=1或-2， …4分 经检验m=1时两条直线重合舍去，所以m=-2. …7分 (2)因为直线4：(m+2)x-(m-2)y+2=0与直线：3x+my-5-=0垂直， 所以3(m+2)-m(m-2)=0,即m2-5m-6=0, …11分 解得m=6或m=-1. …13分 16.(本题15分) 解：(1)由直方图的数据得10(u+b+0.04+0.01)=1→a+b=0.05①， …2分 由评分在(70,80]的快递车比(60,70]内的多40辆，得 200×10×b-200×10×a=40,解得b-a=0.02②， …4…小分 联立①②，解得a=0.015,b=0.035 …5分 (2)达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数.从低分段累计颜率： 0.50<0.70,0.50+0.40=0.90>0.70,第70百分位数落在(80,90]区间， 设分数线为x,则0,50+-80×0.40=0.70， 10 …*…8分 解得x=85,估计A等车的分数线为85分. …………10分 (3)分层抽样：评分超过80分的车辆=(80,90]组80辆，+(90,100]组20辆=100辆， 按比给取5箱：0则粗：需5=4第(00网短：需5=1转 …12分 编号：将(80,90]组4辆车记为4,4,4，A4；(90,100]组1辆车记为B.列举所有等 可能基本事件(5选2，无序)共10种等可能基本事件，找出“两车评分均不超过90分” 的事件（即两车都来自(80,90]组，不含B): (44),(A4),(44),(44),(4),（A4)共6种， 两车评分均不超过90分的概率为。=3 1051 …l5分 17.(本题15分) 解：)设圆心C化-2，由CA垂直直线x+y-3=0,得=1， 解得1=1，故C(1,-2) …3分 答案第1页，共4页 半径r=C4=V3-12+0+2y=2√2， …4分 圆C的方程为(x-)2+0y+2)2=8 5分 (2)△CN为直角三角形.且CM=CN=2V2,故直角在C, 斜边M=V22+22=-4,所以圆心到直线1的距离为2。 斜率存在时，设直线l:y-2=k(x-3),即c-y+2-3=0, 由+2+2-3=2，解得k=子，直线为3x-4y-1=0: …8分 Vk2+1 斜率不存在时，直线x=3到圆心的距离为2，符合条件 故直线1的方程为x=3或3x-4y-1=0 …10分 3)设P(x,y),PA=(3-x,-y),P=(5-x,2-y, 则PAPB=x2+y-8x-2y+15.由圆的方程得x2+y2=2x-4y+3, 代入得Pa.历-6s-6y+18=1,甲x+y=3-名 设1=3-名，直线+y=与医C有交点，做告≤25，解得1e-53列 由t=3-2.得=18-6,6fe-18,30, 6 所以元=18-6t∈[0,48]. …l5分 18.(本题17分) 解：(I)证明：因AB=AD=2,∠BAD=60°，则BD=2, 又因E是BD的中点，则AE⊥BD,且AB=5AB=5, 2 在RtaBCD中，∠BCD=30°，则CD=2√5， 又因0是BC的中点，则QB=CD=5, 因A0=V6,则由AE2+2E2=3+3=6=A02,可得AE1E0, 因D∩E2=E,BD,EQC平面BCD,故AE⊥平面BCD. …5分 (2(i)因PM∥平面ABC,M在CD.上，则PMc平面ACD, 因平面ACDO平面ABC=AC,则PM/IAC, 又因P是AD的中点，则M是CD的中点，故CM=二CD=V5.…I0分 2 D的中点O,连接P0,因P是D的中点，则POI1MB,且PO三2 2 在平面BPM中，作PH⊥BM于点H,连接OH. 由(I)得AE⊥平面BCD,则PO⊥平面BCD,因BMC面BCD,则PO⊥BM, 因PO∩PH=P,PO,PH二平面PHO,则BM⊥平面PHO, 又OHc平面PHO,则BM⊥OH,故∠PHO即二面角P-BM-D的平面角， 连接CE,易得AE=√5，CE=√(25)2+1=√3， 因AE⊥平面BCD,CEc平面BCD,则AE⊥CE,则AC=√3+I3=4, 故nW-C=2.又Pa2=反M-2-万， 由PM2+PB2=7=BM2可得BPLPM, 在Rt△BPM中，由等面积可得PH= PB×PiM2V3 BMV万 故在Rt△PHO中，Of= 9-- 14 3 则an∠PHO= PO 2 0H3V23 14 即二面角P-BM-D的正切值为Y ………17分 19.(本题17分) 解：(I)在△APC中，∠APC=π-（∠PCA+∠CAP),因为P点为布洛卡点，所以∠PCA=∠PAB, 所以∠PCA+∠CAP=∠PAB+∠CAP=∠BAC, 所以∠BAC=元-∠APC=3r …4分 4 (2)由∠ABP=∠PBC=a,则∠PAB=a, 在△APB中，∠APB=π-（∠ABP+∠PAB)=π-2a=π-∠ABC, 在aABP中，由正弦定理得。P AB Tsim∠ABP sin/APB 品A阿解得品nicO. AB 答案第3页，共4页 在△APC中，由正弦定理得， AP AC sin∠pca-sin2APc' 'sina sin(π-乙BG,解得。b AP AC 即 sina"sin/BAC②， b 联立①②得 n∠ABc-sin/BAC,即bsin∠ABC=csin∠BAC. 在△ABC中，由正弦定理有 b sin∠ABC sin.∠BAC' b bsin∠ABC=csin∠BAC与 in∠ABCsinBAC两边相乘： sin/4BCxbsin∠ABC= b sin/BACxesin∠BMC,得b=ac, 所以b2=ac=6,解得b=√6. …10分 (3)由题意知b2=ac,a+b+c=6, 则，C-Bo=ao8=e-女+e-创) 2ac =2[a+e2-2ac-b2]=[6-62-36]=-6-6b+18=-6+3+27,…13分 所以f(b)=(6b+3)2+27, 又因为a+c=6-b≥2√ac=2b,（当.且仅当1=c时，等号成立)，解得b≤2， 又由三角形边的关系知-b<c-a<b,则(c-a)2<b2,即(c+a)2-4ac<b2, 6--46<的，第理得+动-930，常释6,5，甲5， 2 m停斗”5，m9 有刊的脑为2-5） …17分2025级高二10月学情调研 数 学 (时间：120分钟满分150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知复数z满足(1一)z=4i,则|z=( A.-2 B.2V2 C.5 D.2 2.若一组数据x,2,,xn的方差为2，则数据3x1一2,3x2一2，，3xn一2的方差为 A.6 B.9 C.16 D.18 3.己知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为严的扇形，则该圆锥的表面积为 () A.8π B.12元 C.16元 D.24r 4.直线xcos0+y一1=0(0∈R)倾斜角的范围是( Ao,原u语网 B.匹，3西 44 c.【泽孕 D.[0,π) 5.甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是二 6 甲队获胜的概率是号 则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为( ) A. B.2 C. D.2 3 9 9 3 6.已知sma+骨针coa受=--至a<0,则coua+学-( 21 5 A号 B.-3 C.4 D.3 5 5 7.一条光线从点P3,0)射出，经y轴反射后，与圆C:x2+y2-y十7=0相切于M点，则 光线P点到M点经过的路程为() A.3V2 B.4 c.42 D.5 8.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=V13,E,F分别是AB,AC上的点，且AB= 2AE,AC=3FC,连接CE,BF,交点为D,连接AD,则coS∠ADB的值为( 1 A.-1V57 B.-1④图 C.-121 D.-1 19 19 7 高二数学试卷第1页，共4页 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9.某中学高二(2)班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里 随机选一人，事件A=“选到男生”，事件B=“选到女生”，事件C=“选到团员”，则( 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A.P(B)=4 B.P(AC)=2 0 C.事件B与事件C互斥 D.事件A与事件C相互独立 10.已知圆C:x一2)2+0y十1)2=9，直线1：a一y+3一2k=0,则下列说法正确的是( A.直线1恒过定点(2,3) B.圆C被x轴截得的弦长为4V2 C.圆C与圆x2+y2=1相交 D.圆C上的点到直线1的最大距离为13 11.在直三棱柱ABC-A1B1C中，∠ABC=90,且AB=BC=CC=2,M为线段BC上的 动点，则( ) A A.AB1⊥A1M B.三棱锥C1一AMB1的体积不变 C.A1M+CM长度的最小值为3+V5 D.当M是BC的中点时，过A1,M,C三点的平面 截三棱柱ABC-AB1C外接球所得的截面面积为26 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上」 12.已知向量a=(2,4),b=(-1,),若a与b共线，则k=▲ 13.已知两平行直线x十my+2=0与2x一4y十n=0(n>0)之间的距离是V5,则m十n= 14.已知四棱锥P一ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面ABP为正三角形，PC⊥ BD,则四棱锥P一ABCD体积的最大值为▲. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本题13分) (1)若直线x十(1+my-2=0和直线mx十2y-2=0平行，求m的值. (2)已知直线l4:m+2)x-(m-2y十2=0，直线2：3x十my-5=0,且l1⊥2，求m的直、 试卷第2页，共4页 16.(本题15分) 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进 行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准 点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]）.己 知样本中评分在(70,80]内的快递车比评分在(60,70]内的快递车多40辆. (1)求a,b的值： (2)现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余 为B等车，估计A等车的分数线： (3)为了进一步研究彩响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分 层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分 均不超过90分的概率. 频率/组距 0.040 b 0.010-- 060708090100评分1分 17.(本题15分) 已知圆C的圆心在直线y=一2x上，且圆C与直线x十y一3=0相切于点A(3,0). (1)求圆C的方程： (2)过点(3,2)的直线1与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线I方程： (3)己知点B(5,2),若圆C上存在点P满足PA·PB=1(1>一2)，求实数的取值范围. 高二数学试卷第3页，共4页 18.(木题17分) 如图，在三棱雏A一BCD中，AB=AD=2,∠BAD=6O,∠BCD=30°，BD⊥CD.E是 BD的中点，2是BC的中点，AQ=V6. (I)求证：AE⊥平面BCD: (2)若P是AD的中点，M在CD上，PM∥平而ABC. ()求CM的长： ()求二面角P一BM一D的正切值. 19.(本题17分) 如图，若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,则称P为△ABC的布洛卡点， α为布洛卡角.某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，若下列 问题中的点P为△ABC的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： 若∠APC-=平求∠BAC, (2)己知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且∠ABP=∠PBC=a, ()若a=2,c=3,求b: ()若△ABC的周长为6，试把BA·BC表示为b的函数b),并求b)的值域. 试卷第4页，共4页