7.2 相似三角形的判定（3）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.2 相似三角形的判定（3） ——相似三角形的判定 兴化市戴泽初中 · 范和景 情境引入 回顾：(1) 判定两个三角形全等有哪些方法？ (2) 如果要判定两个三角形是否相似，是否一定需要一一验证 所有的对应角和对应边的关系？ (3) 我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 答：(1) SSS、SAS、ASA、AAS； (2) 不一定，判定方法就是用来简化判定的； (3) 定义；判定方法 1：两角分别相等的两个三角形相似； 判定方法 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 自主构建 探究：由三角形全等的 SSS 判定方法，类比猜测： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么能否判定这两个三角形相似呢？ 如何证明？说说你的想法． 提示：类比判定方法 2 的证明——在 AB上截取 AD＝AB，作 DE∥BC， 先证 △ADE∽△ABC，再证 △ADE≌△A′B′C′． E D 自主构建 已知：如图， ． 求证：△ABC∽△A′B′C′． 证明：在 △ABC的边 AB（或它的延长线） 上截取 AD＝A′B′， 过点 D 作 DE∥B′C′，交射线 AC于点 E． ∵ DE∥BC， ∴∠ADE = ∠B,∠AED = ∠C, ∴ △ADE∽△ABC， ∴ AB/AD＝AC/AE=BC/DE． 又 ∵AD＝A′B′，AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′ ∴ AC/AE=BC/DE=BC/B′C′=AC/A′C′ ∴ AE＝A′C′, DE＝B′C′． 在 △ADE 与△A′B′C′ 中：AD＝A′B′，AE＝A′C′, DE＝B′C′， ∴ △ADE≌△A′B′C′（SSS）， ∴ △A′B′C′∽△ABC即△ABC∽△A′B′C′ ． 自主构建 判定方法 3：三边对应成比例的两个三角形相似． （简称：三边对应成比例，两三角形相似．） 注意：判断三边是否对应成比例时，先把每个三角形的三边按大小排序，再逐一求比． 符号语言： ∵ ， ∴ △ABC∽△A′B′C′． 互动体验 例1 .根据下列条件，判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由． AB＝10，BC＝8，AC＝16； A′B′＝16，B′C′＝12.8，A′C′＝25.6． 解：相似．∵ AB/A′B′＝10/16＝5/8， BC/B′C′＝8/12.8＝5/8，AC/A′C′＝16/25.6＝5/8， ∴ AB/A′B′＝BC/B′C′＝AC/A′C′， ∴ △ABC∽△A′B′C′ （三边对应成比例的两个三角形相似）． （提示：小数比先化为整数比，如 8/12.8＝80/128＝5/8． 注意：判断三边是否对应成比例时，先把每个三角形的三边按大小排序，再逐一求比． 互动体验 例2 .如图，已知 O 是 △ABC 内一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC的中点．求证：△ABC∽△DEF． 证明：∵ D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点， ∴ DE/AB＝EF/BC＝DF/CA=1/2， ∴ △DEF∽△ABC，即 △ABC∽△DEF （三边对应成比例的两个三角形相似）． 互动体验 例3. 如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 F，点 E 在 BD 上，且 ． (1) 求证：∠BAE＝∠CAD；(2) 求证：△ABE∽△ACD． (1) 证明：∵ AB/AE＝BC/ED＝AC/AD， ∴ △ABC∽△AED（三边对应成比例）， ∴ ∠BAC＝∠EAD（相似三角形对应角相等）， ∴ ∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC， 即 ∠BAE＝∠CAD． (2) 证明：∵ AB/AE＝AC/AD， 即 AB/AC＝AE/AD， 又 ∵ ∠BAE＝∠CAD（已证）， ∴ △ABE∽△ACD（两边成比例且夹角相等）． 互动体验 2．△ABC 的三边长分别为 7，6，2，△DEF 的两边长分别为 1，3，要使 △ABC∽△DEF，则 △DEF 的第三边长为___． 3.5 1．如图，D，E，F 分别是 △ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则图中有____个三角形与 △ABC 相似． 4 3．△ABC和△DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，△ABC与△DEF相似吗？为什么？ 互动体验 4. 如图，在△ABC中，点D,E在边BC上，   AB与AE相等吗?为什么? 5.如图，点 B，D，E在 一 条直线上，BE交 AC于点F， ，∠BAD与∠EBC相等吗?为什么？ ， 智慧建构 通过这节课的学习，你有什么收获？ 判定定理 三边对应成比例的两个三角形相似． 判断时先把每个三角形的三边按大小排序，再逐一求比． 符号语言 ∵ AB/A′B′＝BC/B′C′＝AC/A′C′，∴ △ABC∽△A′B′C′． 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上． 常见模型 网格中先由勾股定理算边长（练习 4）；"中点折半"型（例 2）、 "三正方形"型（变式）等，都是三边判定的常见图形． 1．已知 △ABC 和 △DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（　　） A．AB＝4，BC＝8，AC＝10；　DE＝20，EF＝16，DF＝8 B．AB＝3，BC＝4，AC＝6；　　DE＝6，EF＝8，DF＝9 C．AB＝12，BC＝15，AC＝24；　DE＝16，EF＝30，DF＝20 D．AB＝3k，BC＝4k，AC＝5k；　DE＝6k，EF＝7k，DF＝8k（k＞0） 答案：A A：排序 4，8，10 与 8，16，20，比 4/8＝8/16＝10/20＝1/2，相似； B：3/6＝1/2，4/8＝1/2，6/9＝2/3，三个比不全相等，不相似； C：排序 12，15，24 与 16，20，30，比 3/4、3/4、4/5，不相似； D：3/6＝1/2，4/7，5/8，三个比不全相等，不相似． 补充习题 2．如图，在 6×6 方格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，若 △ABC 与 △DEPi（i＝1，2，3，4）相似，则符合条件的格点 Pi 是（　　） A．点 P1　　B．点 P2　　C．点 P3　　D．点 P4 答案：C（点 P3）． 设小方格边长为 1，由勾股定理： △ABC：AB＝√10，BC＝2√2，AC＝√2； △DEP3：DE＝5，EP3＝2√5，DP3＝√5． ∵ DP3/AC＝EP3/BC＝DE/AB＝√10/2， ∴ △DEP3∽△ABC（三边对应成比例）， ∴ 选 C． （P1、P2、P4 与 D、E 组成的三角形三边与 △ABC 的比均不相等） 补充习题 3．如图，将方格纸分成 6 个三角形，在②③④⑤⑥ 5 个三角形中，与三角形①相似的三角形是______（填序号）． 答案：③．设小正方形边长为 1，由勾股定理得： ①：1，√2，√5；　②：1，√5，2√2；　③：2，2√2，2√5； ④：√5，√5，4；　⑤：√5，√5，2；　⑥：1，1，√2． ∵ 2/1＝2√2/√2＝2√5/√5＝2， ∴ ③ 的三边与 ① 的三边对应成比例（比为 2）， ∴ 与三角形①相似的三角形是③． 补充习题 4．如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1) 在图 1 中作 ∠ABC 的角平分线； (2) 如图 2，△ABC 和 △A′B′C′ 的顶点都在边长为 1 的小正方形的格点上， 画 △A′B′C′∽△ABC，且相似比为 1:2． 图 1 图 2 答：(1) 取格点 D（如图），连 BD．∵ AB＝CB＝AD＝CD＝√5，BD＝BD， ∴ △ABD≌△CBD（SSS），∴ ∠ABD＝∠CBD，BD 即为 ∠ABC 的平分线； (2) 取格点 B′（A′ 左下方 1 格处），A′B′＝√2＝AB/2，B′C′＝√10＝BC/2， A′C′＝2＝AC/2，∴ △A′B′C′∽△ABC（三边对应成比例），相似比为 1:2． 补充习题 5．如图，在 △ABC 与 △DEF 中，∠B＝∠E＝90°，则 △ABC 与△DEF 相似吗？请说明理由． 解：相似．理由：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝4，AC＝5， ∴ BC＝√(AC²－AB²)＝√(25－16)＝3； 在 Rt△DEF 中，∠E＝90°，EF＝6，DF＝10， ∴ DE＝√(DF²－EF²)＝√(100－36)＝8． ∵ AB/DE＝4/8＝1/2，BC/EF＝3/6＝1/2，AC/DF＝5/10＝1/2， ∴ △ABC∽△DEF （三边对应成比例的两个三角形相似）． 补充习题 6．如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB＝14 千米，AD＝28 千米，BD＝21 千米，BC＝42 千米，DC＝31.5 千米．公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由． 解：AB∥CD．理由如下： 在 △ABD 与 △BDC 中， AB/BD＝14/21＝2/3， AD/BC＝28/42＝2/3， BD/DC＝21/31.5＝2/3， ∴ △ABD∽△BDC， ∴ ∠ABD＝∠BDC ∴ AB∥CD 补充习题 7．已知 △ABC 的三边长分别为 6，7.5，9，△DEF 的一边长为 5，如果这两个三角形相似，那么 △DEF 的另两边长可能是多少？ 解：分三种情况讨论： ① 5 与 6 对应：相似比 5/6，另两边为 7.5×5/6＝6.25，9×5/6＝7.5； ② 5 与 7.5 对应：相似比 5/7.5＝2/3，另两边为 6×2/3＝4，9×2/3＝6； ③ 5 与 9 对应：相似比 5/9，另两边为 6×5/9＝10/3，7.5×5/9＝25/6； ∴ △DEF 的另两边长可能为 6.25 和 7.5， 或 4 和 6，或 10/3 和 25/6． 补充习题 $