贵州省黔西南高二数学上学期第一次月考数学试题

高二数学秋季学期第一次月考双向细目表 题号 题型 分值 试题内容 难度 备注 1 单选 5 直线方向向量的概念及辨析（平面中））、直线的倾斜角 0.95 2 单选 5 空间向量垂直的坐标表示 0.8 3 单选 5 点到直线距离的向量求法、空间向量的坐标运算、求直线的方向向量（平面中） 0.85 4 单选 5 已知两点求斜率、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 0.95 5 单选 5 面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 0.85 6 单选 5 用空间基底表示向量 0.65 7 单选 5 求空间向量的数量积、空间向量基本定理及其应用、空间向量的加减运算 0.85 8 单选 5 求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法、已知面面角求其他量 0.4 9 多选 6 空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 0.65 10 多选 6 直线斜率的定义、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 0.94 11 多选 6 点到直线距离的向量求法、空间位置关系的向量证明 0.75 12 填空 5 空间向量的坐标运算 0.94 13 填空 5 空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量数量积的概念辨析 0.85 14 填空 5 直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 0.65 15 解答 13 空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用 0.85 16 解答 15 空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 0.65 17 解答 15 已知斜率求参数、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 0.85 18 解答 17 求平面的法向量、求空间图形上的点的坐标、证明线面垂直 0.65 19 解答 17 线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量、空间线段点的存在性问题、线面平行的性质 0.65 命题 思想 达成 目标 优良率 及格率 平均分 20% 50% 88 1.难度比例：易、中、难之比为 7：2：1 2.严格遵循高中数学新课标要求，贴合高二秋季学期阶段性教学进度，聚焦直线与倾斜角、平面直线斜率、空间向量运算、空间点线面位置关系、空间角求解核心章节知识，立足基础、梯度分层、立足学情、学以致用。 3.教学目标：精准反馈本学期前期数学教学成效，清晰定位班级整体学情、学生个体知识漏洞，为教师调整后续教学节奏、优化重难点讲解、开展分层培优补弱提供数据支撑，助力后续立体几何、解析几何模块高效教学，稳步提升整体学科教学质量。 4.素养目标：引导学生建立几何与向量结合的数学思维，培养严谨的逻辑论证习惯、精准的运算素养和自主探究的解题意识，适配高中数学核心素养培养要求，衔接高考能力考查标准。 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学秋季学期第一次月考试题答题卡 姓名： 班级： 注意事项： 1、请注意客观题填涂需清晰，完整覆盖选 项， 贴二维码区 2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 正确填涂■ 缺考填涂标记☐ 准考证号 0 2 3 8 9 9 一、 单选题(40分) 1LABLCD 31AJLBCD]5ABCD 2ABCiD 4ABCD 6ABCLD 7AIB☐cD 8ABiCjD 二、多选题(18分) 9ABCD 10AB D11AB 三、填空题(15分) 12 13 14 四、解答题(77分) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ 第2页（共6页） 16.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第3页（共6页） 请使用2B铅笔填涂选择题答案选项及考号 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ 第4页（共6页） 18.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第5页（共6页） 19.(17) G D 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第6页（共6页） 高二数学秋季学期第一次月考试题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B C A C A AC AB 题号 11 答案 ABC 1．B 【难度】0.95 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（平面中））、直线的倾斜角 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 2．C 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】时，，利用坐标进行运算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 解得， 故选：C. 3．B 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法、空间向量的坐标运算、求直线的方向向量（平面中） 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 4．B 【难度】0.95 【知识点】已知两点求斜率、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 5．C 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 6．A 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 7．C 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量基本定理及其应用、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果 【详解】由题意得，， 因为 , 所以 ， 所以， 故选：C 8．A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 9．AC 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 10．AB 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可. 【详解】当时，其斜率，所以A正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确； 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确； 直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确； 故选：AB. 11．ABC 【难度】0.75 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到直线距离的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 12． 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量坐标运算求解即得. 【详解】. 故答案为： 13． 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量数量积的概念辨析 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 14． 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 15．(1)或 (2)或 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【详解】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为与互相垂直， 所以 或. 16．(1) 证明：平面，平面，， 又因为，故两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系． 则， ，平面， 平面， 故是平面的一个法向量， 又，，且， 所以平面． (2) 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量，即可得证； （2）求出两个平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 设平面的一个法向量，则，即， 令，则，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 设平面与平面所成角为， 则. 17．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 18．(1)证明： 因为在直三棱柱中，所以侧棱垂直于底面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，所以， ,,， 所以. (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量、求空间图形上的点的坐标、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的法向量，从而求出直线与平面所成角的正弦值， 【详解】（1）略； （2）以为原点，CA为轴，CB为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    因为，，D为的中点.， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19．(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. (2)证明：因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. (3)线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量、空间线段点的存在性问题、线面平行的性质 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （3）则以D为原点，建立空间直角坐标系，先求出点坐标，直线DP的方向向量与平面ABE的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高二数学秋季学期第一次月考试题 一、单选题 1．若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 2．已知空间向量，，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 4．直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 10．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 三、填空题 12．已知，，则________. 13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 14．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____. 四、解答题 15．已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)若与互相垂直，求k． 16．如图，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 17．已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 18．如图，在直三棱柱中，，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)建立空间直角坐标系，求直线与平面所成角的正弦值. 19．如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 高二年级 第页 共页， 高二年级 第页 共页， 高二年级数学 第3页 共4页 高二年级数学 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $