精品解析：贵州省黔西南州安龙县第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

安龙四中2024年秋季学期高二年级10月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的结构和对称性即可得解. 【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为， 点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为， 点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为， 所以点关于y轴对称点的坐标为. 故选：C. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，， 所以直线的倾斜角. 故选：D. 3. 在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量加减法运算法则，逐项分析判断即可. 【详解】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 4. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量平行和垂直关系的坐标表示求解即可. 【详解】因为，故，即， 又，故，即， 所以. 故选：D. 5. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率计算公式可得：，线段的中点为，即可得出线段的垂直平分线的方程． 【详解】，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程是，化为：， 故选：A． 6. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标求和坐标,再求,最后应用投影向量公式求解即可. 【详解】已知,可得, , 又因为向量在上的投影向量为. 故选: A. 7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可. 【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等， 所以点在直线上， 当时，点到坐标原点距离的最小， 为 故选：C 8. 已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果. 【详解】以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 且， 由正六边形的性质可得，，，，， 设，其中， 所以，， 所以，所以的取值范围. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( ) A. ，，共面 B. 中至少有三点共线 C. 与共线 D. 四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可判断. 【详解】∵向量，，不能构成空间的一组基底， ∴，，共面， ∵向量，，有共同的点， ∴四点共面. 故选：AD 10. 已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系，结合图形逐一判断． 【详解】直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 当时，直线与平行且图象满足A所示，故A正确． 选项B中，由直线在轴上的截距可得,，而由直线的斜率为，可得，故B不正确． 选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确． 选项D中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为2 D. 二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，所以， 所以，故A选项错误； 设平面的法向量为， 则，令则，所以， 所以， 由于平面，所以平面，故B选项正确； ，所以到平面的距离为故C选项正确； 由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知，为锐角， 所以，故D选项错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由平行线的距离公式求解即可. 【详解】直线即为， 则平行直线与之间的距离为. 故答案为： 13. 已知点、，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，找出有公共点的临界状态，求解即可. 【详解】如图所示，是直线与直线交点的横坐标， 当与重合时，即，则取最大值， 当与重合时， 即 ，则取最小值， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到不同平面的法向量，两个平面的交线与两个平面的法向量均垂直，我们可以求得两个平面交线的方向向量，然后利用向量夹角与线面角的关系求解即可. 【详解】平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为，平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为，由， 令，则，，所以. 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程. 【答案】（1）1或2；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式列方程求解即可； （2）先求出两直线的交点，然后由两点式可得. 【详解】解：（1）由，即，解得或， 经检验均符合题意，故的值是1或2. （2）因为方程组的解为， 所以两条直线和的交点坐标为， 由题意知直线经过点.又直线经过原点， 所以直线的方程为，即. 16. 如图，已知平行六面体中，，，，. （1）证明：； （2）求的长度. 【答案】（1） 平行六面体中，设，，， ，， 由，， 得，， 则， 因此，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取空间的一个基底，表示出向量，再利用空间向量数量积及运算律计算推理即得. （2）由（1）中信息，利用空间向量数量积及运算律计算模即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意， ， 因此 ， 所以的长度为. 17. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点. （1）求直线与所成角的大小； （2）判断直线与平面的关系. 【答案】（1） （2）垂直 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的大小； （2）利用向量法求出，，从而直线与平面垂直． 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,， ,0,，,2,， 设直线与所成角为， 则，， 直线与所成角的大小为； 【小问2详解】 直线与平面垂直，理由如下： 由（1）知,2,，,0,， ，， ，， ，、平面， 直线与平面垂直． 18. 已知直线：． （1）求证：无论取何值，直线始终过第一象限； （2）若直线与，轴的正半轴交点分别为A，B两点，O为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1） 因为直线：，即， 令，求得，， 即直线过定点且在第一象限， 所以无论取何值，直线始终经过第一象限． （2）最小值为4； 【解析】 【分析】（1）由题可得，直线过定点且在第一象限，即证； （2）由题可，，再利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，所以， 令，解得，令，得， 即，， ∴面积， ∵，∴， 则， 当且仅当，即时，取得等号， ∴， ∴面积的最小值为4 此时直线的方程为，即． 19. 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长． 【答案】（1）证明：因为为中点，且，所以，即， 又，，平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，所以. 又，，所以， 所以，则. 又，平面，所以平面. 又平面，所以：平面平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）先证，得到平面，可得平面平面. （2）根据（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，设（），则. 所以，，. 设平面的一个法向量为， 由，可取. 设平面的一个法向量为， 由，可取. ， 整理得：（舍去） 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安龙四中2024年秋季学期高二年级10月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 3. 在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 5. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( ) A. ，，共面 B. 中至少有三点共线 C. 与共线 D. 四点共面 10. 已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为2 D. 二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为__________． 13. 已知点、，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数值范围为______. 14. 阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程. 16. 如图，已知平行六面体中，，，，. （1）证明：； （2）求的长度. 17. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点. （1）求直线与所成角的大小； （2）判断直线与平面的关系. 18. 已知直线：． （1）求证：无论取何值，直线始终过第一象限； （2）若直线与，轴的正半轴交点分别为A，B两点，O为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $