河南省鹤壁市高中2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二上学期10月练习 数 学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．经过，两点的直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第25百分位数为 A． B． C． D． 3．命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是 A． B． C． D． 4．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系是 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为 A． B． C． D． 6．已知圆：，那么直线：与圆的位置关系是 A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 7．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是． A． B． C． D． 8．已知为锐角的外心，角，，的对边分别，，，，则面积的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是 A． B．复数的虚部为 C．若复数为纯虚数，则 D． 10．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为：．设直线系：（），则 A．中所有直线均经过一个定点 B．点到中任意一条直线的距离为定值 C．点到中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系中的点都落在面积为的区域内 11．已知在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，则以下说法正确的是 A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，若椭圆的长轴为，焦距为，则椭圆的标准方程为 ． 13．在平面直角坐标系中，过点且与圆：相切的直线方程为 ． 14．在中，，点为的内心，且，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知三点，，． （1）若直线过点且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程． 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足 （1）求动点的轨迹曲线方程； （2）若曲线与圆有公共点，求的取值范围． 17．（15分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； （2）求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 18．（17分）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且，将沿折起到的位置，使，存在动点使（），如图所示 （1）求证：平面平面： （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，当取得最大值时，求． 19．（17分）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线与曲线相切，切点分别为，，求直线的方程； （3）斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期10月练习 数学参考答案 一、选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D A C B B C A AD BCD ACD 二、填空题 12． 13．或 14． 三、解答题 15．（1）由，可得直线的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即 （6分） （2）①当截距均为时，直线方程为，符合题意， （9分） ②当截距不为时，不妨设直线方程为， 又直线经过点，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或， （13分） 16．（1）设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为 （7分） （2）圆心为，半径为， 由于圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为， （10分） 所以，解得，即的取值范围是 （15分） 17．（1）设，分别表示甲两轮猜对个，个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对个，个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，， ，， （4分） 设“两轮活动星对猜对个成语”，则， 所以， 因此“星队”在两轮活动中共猜对个成语的概率为 （7分） （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ． （15分） 18．（1）证明：因为，则，且，可得， 将沿折起到的位置，始终有， 因为，，平面，所以平面． 由平面，可得． 且，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （5分） （2）由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后，由勾股定理得， （6分） 故可以为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当时，，，， ，，， 可得，，． 设平面的法向量，则， 令，则，，可得 （8分） 设平面的法向量，则． 令，则，，可得 （10分） 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． （3）由（2）可知，，，，． 设平面的法向量，则， 令，则，，可得． 因为，所以， 故． 因为直线与平面所成角为，所以 ， 当且仅当时，等号成立，取得最大值，此时， 点到平面的距离为， 又，所以， 所以． （17分） 19．（1）设线段中点为，端点坐标为， 由中点坐标公式得：，， 解得，， 因为点在圆上，代入得， 化简得，即， 所以曲线的方程为． （2）因为，． 所以、、、四点共圆，圆心为，的中点，半径为， 即圆的方程为， （6分） 直线是两圆公共弦所在直线，． 作差得，所以直线所在的直线为． （8分） （3）设直线：，，，， ．得，． 即，，， （10分） 则． 所以， 所以直线的方程为，即直线过定点． （14分） 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，． （16分） 所以存在定点，为定值． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $