专题2.10 函数零点与方程的根【10类必考点分类集训】-2027届高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学讲义聚焦函数零点与方程的根专题，系统梳理求零点、判断个数、比较大小等8大高考核心考点，按知识逻辑分层构建考点体系。通过考点梳理明确方法，典例精讲提炼策略，真题训练强化应用，帮助学生突破参数范围、综合应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以素养培养为导向，如在比较零点大小时引导学生结合函数图像分析，培养数学眼光与几何直观。根据零点个数求参数范围时，通过分类讨论与数形结合，发展数学思维与推理能力。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题2.10 函数零点与方程的根 【考点1：求函数的零点】 1 【考点2：求函数零点或方程根的个数】 2 【考点3：比较零点的大小关系】 3 【考点4：求零点的和】 3 【考点5：判断零点所在的区间】 4 【考点6：根据零点所在的区间求参数范围】 4 【考点7：根据函数零点的个数求参数范围】 5 【考点8：函数与方程的综合应用】 5 【考点1：求函数的零点】 1．（2026高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026高二下·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. 5．（2026·北京·三模）设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 【考点2：求函数零点或方程根的个数】 1．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【考点3：比较零点的大小关系】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【考点4：求零点的和】 1．（25-26高一下·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 2．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（专题04三角函数（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知，则在上所有根的和为_____. 4．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，当时，的图象与直线的所有交点的横坐标的和为____________． 5．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围是______. 【考点5：判断零点所在的区间】 1．（2026高三·全国·专题练习）设是方程的解，且，则整数______________． 2．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【考点6：根据零点所在的区间求参数范围】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 2．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点7：根据函数零点的个数求参数范围】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知函数，若有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 3．（25-26高二上·浙江·开学考试）已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为__________. 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数的取值范围是__________. 5．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【考点8：函数与方程的综合应用】 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期末），，若方程的所有实根之和为，则可以取何值（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三下·全国·专题练习）已知方程有四个不等的实数根，则的取值范围是______. 4．（25-26高二下·福建福州·期末）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 一、单选题 1．（25-26高一·全国·课后作业）函数的零点是 A．（1，0） B．（2，0） C．（1，0）与（2，0） D．1与2. 2．（25-26高一上·天津西青·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A．（-1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，2） 3．（25-26高一·全国·课后作业）的零点个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26高一上·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（[新教材精创]2.2.2函数的表示法练习（2）-北师大版高中数学必修第一册）已知函数，则关于的方程有3个不相等的实数根，则实数的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 二、多选题 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数令，则下列说法正确的是（    ） A． B．方程有3个根 C．方程的所有根之和为－1 D．当时， 8．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（   ） A．的最小值为4 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值是9 三、填空题 9．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________． 10．（25-26高一下·江苏南通·课后作业）若函数的零点在区间上,则的值为_______. 四、解答题 11．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，. (1)若，解方程； (2)讨论函数的零点的个数. 12．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数． (1)若，求函数的零点； (2)若函数在有两个不同的零点 ①求实数的取值范围； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.10 函数零点与方程的根 【考点1：求函数的零点】 1 【考点2：求函数零点或方程根的个数】 4 【考点3：比较零点的大小关系】 7 【考点4：求零点的和】 10 【考点5：判断零点所在的区间】 13 【考点6：根据零点所在的区间求参数范围】 15 【考点7：根据函数零点的个数求参数范围】 17 【考点8：函数与方程的综合应用】 21 【考点1：求函数的零点】 1．（2026高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】令，结合对数解方程即可得结果. 【详解】令，即， 可得，即， 所以函数的零点是0. 故选：A. 2．（2026高二下·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，函数的定义域为，，为奇函数， 令，化简得，无解，不存在零点，A错误； 对于B，函数的定义域为，，为奇函数， 令，解得，有零点，B正确； 对于C，函数分母恒成立，函数的定义域为，，为奇函数， 令，则，解得，有零点，C正确； 对于D，，定义域为，，为奇函数， 令，则，解得存在零点，D正确. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 5．（2026·北京·三模）设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解，即可得答案；第二空，确定每段函数的函数值域情况，结合题意，即的值域为，即可确定参数的取值范围. 【详解】时，， 当时，，令， 解得，符合题意； 当时，，此时函数无零点， 故的零点为； 当时，，在上单调递减， 则，即， 要使整个函数值域为，则时的函数值域必须覆盖， 当时，， 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 当时，，要使函数值域覆盖，只需， 综合上述可知a的取值范围是. 【考点2：求函数零点或方程根的个数】 1．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令，求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值和零点存在性定理可得答案. 【详解】令，，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，． ∴，． ∴在内有一个零点，在内有一个零点． ∴在内有两个零点． 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 4．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先令推出，令，作出函数与函数的图象即可判断. 【详解】由题得，，令，则，解得， 因为，因此，解得， 故，此时，满足条件. 令，由，则，则， 作出函数与函数的图象如下： 由图知，函数在上的零点个数为2. 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点. 【详解】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 由得，则函数在区间上的零点为共6个. 【考点3：比较零点的大小关系】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 2．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性确定函数的单调性，再利用零点存在性定理确定对应零点所在区间即可. 【详解】函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 因此函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 由，得； 由，得； 由，得， 所以. 故选：B 3．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 4．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 5．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 【考点4：求零点的和】 1．（25-26高一下·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 2．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 3．（专题04三角函数（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知，则在上所有根的和为_____. 【答案】60 【分析】首先确定两个函数的相同的对称中心，再根据两个函数图象的交点个数，以及交点的对称性，即可求解. 【详解】因为， 所以的图象关于点对称，而函数的图象也关于对称， 在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示： 由图象可知这两个函数图象上有10个交点，即共有5对关于对称的点， 所以方程在上所有根的和为． 故答案为： 4．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，当时，的图象与直线的所有交点的横坐标的和为____________． 【答案】 【详解】令，则或，， 所以或，，而， 所以， 故所有交点的横坐标的和为. 5．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出函数图象，利用对数的运算以及正弦函数的对称性即可求解. 【详解】作出函数的图象如下： 由图知：， 由，可得， 即，其中， 则， ，在上单调递减，故， 即 当时，，对称轴， 故， 所以. 【考点5：判断零点所在的区间】 1．（2026高三·全国·专题练习）设是方程的解，且，则整数______________． 【答案】2 【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解. 【详解】令，单调递增，，， 所以零点，即. 2．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 3．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 5．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 【考点6：根据零点所在的区间求参数范围】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 2．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 3．（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 4．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 5．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 【考点7：根据函数零点的个数求参数范围】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意参变分离，进而构造函数，结合导数分析单调性并求解范围. 【详解】由知，，令，， 令，可得， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减； 故，又当，，当，， 因为方程有两个不同的解， 所以的图象有两个不同的交点， 所以． 2．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知函数，若有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为的图象与直线有三个不同的交点，画出图象，结合图象求解即可. 【详解】如图所示分段函数图象，若有三个不相等的实数根，则函数与函数的图象有三个交点， 因为，所以. 3．（25-26高二上·浙江·开学考试）已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】结合函数的周期性，画出函数图象，即可求解. 【详解】由题意当时，， 当时，由可知当时函数周期为， 当时，， 此时， 作出函数图象如下： 函数恰有1个零点，即与有且仅有一个交点， 由函数图象可知：， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】根据题意,作出函数的图象,如图: 令，因为方程有6个相异的实数根, 所以方程有两个不等的实根， 所以, 解得或, 不妨设这两根, 则或, 当时，，且，所以无解； 当时， 令, 只需,即,解得, 综上所述：. 故答案为:. 5．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 【考点8：函数与方程的综合应用】 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 2．（25-26高一下·重庆·期末），，若方程的所有实根之和为，则可以取何值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式可以判断和的图象都关于直线对称，则利用对称性可得出方程的实根有6个，则当时，方程有3个实根，令，则方程变为，即函数与的图象在上有3个交点，结合图象求出的取值范围即可求解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以的图象关于直线对称， ， ， 即，所以的图象关于直线对称， 由于和的图象都关于直线对称， 所以方程的实根也关于直线对称分布， 因为，所以不是方程的实根， 所以方程的实根有偶数个， 设方程共有n个实根，则， 因为方程的所有实根之和为，所以， 因为和的图象都关于对称， 所以当时，方程有3个实根， 当时，令，则方程变为， 即函数与的图象在上有3个交点， 函数在上单调递增，且值域为，函数值域为， 所以交点只能出现在的范围内，即， 如图所示，     函数与的图象要在上有3个交点， 需满足，解得， 因为，，，， 所以可以取5. 3．（2026高三下·全国·专题练习）已知方程有四个不等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由图象确定参数的取值范围，然后利用求根公式将所求表示为关于的函数借助导数求解取值范围. 【详解】根据题意可以得到函数的图象为 由图象可以知道的取值范围是. 且是方程的两个根，由求根公式可以知道， ， 同理，是方程的两个根 ， 所以 所以， 对求导有， 令. 所以在上单调递增，在上单调递减 所以当时，最大，此时 当时，，当时， 所以， 即的取值范围为. 4．（25-26高二下·福建福州·期末）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【详解】函数的图象如图所示： 因为，，所以，所以 所以，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以， 所以的范围是. 5．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先作出的草图，可直观看出的大致范围，其中可由直接求出，而显然是一元二次方程的两个相异的实数根，解法一运用韦达定理将表示为关于的二次函数即可求出目标式的取值范围；解法二结合韦达定理和求根公式可将表示为一个关于的函数，再用“根式换元法”求该函数的值域即可解决本题. 【详解】 如图，，， 设，则 ，且， 由 ， 解法一： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ， 所以， 设方程的“大根”为，则， 令，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 解法二： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ，且 ， 所以， 令，则，其中， 于是， ， 令，因为，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 【点睛】解法一的关键在于将转化为关于的二次函数，其中巧妙的运用了韦达定理中的“和条件”消去了变量； 解法二的关键在于不但要用韦达定理中的“积条件”表示这个整体，还要用求根公式求出一元二次方程的“小根”. 一、单选题 1．（25-26高一·全国·课后作业）函数的零点是 A．（1，0） B．（2，0） C．（1，0）与（2，0） D．1与2. 【答案】D 【分析】令，解出方程的解，即为函数的零点. 【详解】令，得 解方程得 所以方程的零点为与，故选D. 【点睛】本题考查零点的概念和求函数的零点，属于简单题. 2．（25-26高一上·天津西青·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A．（-1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，2） 【答案】C 【分析】由解析式判断各选项区间端点值的函数值符号，结合零点存在性定理确定零点的区间. 【详解】由题设，，，，， ∴零点所在的区间为（，1）. 故选：C 3．（25-26高一·全国·课后作业）的零点个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】试题分析：由=0，得x=－2,一个；由=0得x=1，所以共两个零点，选C． 考点：本题主要考查分段函数的概念，零点个数的确定． 点评：简单题，可以利用图象法或代数法． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于，分为两种情况，一种是另一根刚好过端点，另一种是另一根不过端点求解； 【详解】解：方程对应的二次函数设为：， 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ① 或者②函数有一个零点刚好经过点或者，另一个零点属于， 解①得：，解得： 解②得： 把点代入，解得：，此时方程为，两根为0，，而，不合题意，舍去， 把点代入，解得：，此时方程为，两根为1，，而，故符合题意， 综上：实数m的取值范围为 故选：B 5．（25-26高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 6．（[新教材精创]2.2.2函数的表示法练习（2）-北师大版高中数学必修第一册）已知函数，则关于的方程有3个不相等的实数根，则实数的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】方程有3个不相等的实数必有一根 ，即可解出答案. 【详解】设，则方程为. 设它的两根为，则方程和共有三个的值（即方程的解）.由二次函数的图象，可知只有且，得， 解得且. 故选： C. 【点睛】本题考查根的个数，属于中档题.结合的图像，利用二次等式根的个数，判断出有一根，是解本题的关键. 二、多选题 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数令，则下列说法正确的是（    ） A． B．方程有3个根 C．方程的所有根之和为－1 D．当时， 【答案】ACD 【分析】由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D． 【详解】对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确； 对于B选项，令，则求的根，即求的根， 因为方程没有实根， 所以没有实根，所以选项B错误； 对于C选项，令，则方程，即， 得，，由方程得或， 解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确； 对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象， 当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确， 故选：ACD． 【点睛】方法点睛： 对于分段函数，已知函数的值求自变量的值时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可，如果分段函数的图象易得，也可以作出函数图象，然后结合图象求解． 8．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（   ） A．的最小值为4 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】作图，结合图象分析可得，，，，，结合基本不等式逐项分析判断. 【详解】作出的大致图象，如图所示．    由题意可得， 可得，即， 其中，，，， 对于选项A：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 但，所以的最小值不为4，A错误； 对于选项BC：因为， 所以，，故BC正确； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是9，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 三、填空题 9．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【分析】作出分段函数和直线的图像，数形结合即可求解. 【详解】作出函数的图像和直线，如图所示: 由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以． 故答案为：或. 10．（25-26高一下·江苏南通·课后作业）若函数的零点在区间上,则的值为_______. 【答案】1 【分析】利用函数的单调性，结合零点存在性定理求解作答. 【详解】依题意，函数的定义域为：，且函数在上单调递增， 而，则函数的唯一零点在区间上， 所以. 故答案为：1 四、解答题 11．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，. (1)若，解方程； (2)讨论函数的零点的个数. 【答案】(1) (2)当时，有3个零点； 当时，有6个零点； 当时，有7个零点； 当时，有8个零点. 【分析】（1）把代入，再分类讨论解方程即可； （2）先求出的零点，再令，将函数转化为，通过讨论的取值情况来确定的解的个数，进而得到函数的零点的个数. 【详解】（1）当时，， 于是方程分为以下两种情形： ①；②， 分别解得：①，②（注意到，不符）， 因此当时，方程的解只有. （2）分类讨论： （i）当时，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下：    令， 解得或， 即或， 根据图象，有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点； （ii）当时，， 对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：    令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 对于的解的情况，再分以下三种情况： ①当，即时，根据图象，有3个解； ②当，即时，根据图象，有2个解； ③当，即时，根据图象，只有1个解； 综上所述： 当时，有3个零点； 当时，有6个零点； 当时，有7个零点； 当时，有8个零点. 12．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数． (1)若，求函数的零点； (2)若函数在有两个不同的零点 ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)或 (2)；证明见解析 【分析】（1）先求出解析式，再分类讨论求函数的零点； （2）先分类讨论求出零点所在区间，结合函数性质和零点存在定理列不等式组求出的取值范围；根据零点所在位置化简等式，并利用零点的取值范围证明结论． 【详解】（1）， ， 当，即时，， 令，解得，符合条件； 当，即或时，， 令，解得，不满足，舍去， ； 函数的零点为或． （2）①， 当时，， 当时，，函数开口向上，，有两个异号实根， 在有两个不同零点，则需满足在有一个零点： 令，解得，解得； 在有一个零点： 由零点存在定理得且，即 ， 实数的取值范围是． ②设，， ，解得， ，整理得， ，，即． 学科网（北京）股份有限公司 $