7.2 相似三角形的判定（1）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.2 相似三角形的判定（1） ——相似三角形的判定 兴化市戴泽初中 · 范和景 互动体验 例1 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，已知 ∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°．△ABC 与 △A′B′C′ 相似吗？为什么？ 解：相似． ∵ ∠B＝60°，∠A＝50°， ∴ ∠C＝180°－∠A－∠B ＝180°－50°－60°＝70°． 又 ∵∠C′＝70°，∠B＝∠B′， ∴ ∠C＝∠C′， ∴ △ABC∽△A′B′C′ （两角分别相等的两个三角形相似）． 情境引入 问题：已知 ∠α、∠β．作 △ABC，使 ∠A＝∠α，∠B＝∠β， 这样的三角形能作多少个？它们都相似吗？ 答：能作无数个；这些三角形的三个角分别相等，它们都相似． 由作图我们发现：判定两个三角形相似，不需要知道所有的角和边—— 本节课我们研究判定方法 1：两个角分别相等的两个三角形相似． 自主构建 探究：在 △ABC 和 △DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E． 求证：△ABC∽△DEF． 证明：在线段 AB（或它的延长线）上截取 AE′＝DE， 过点 E′ 作 E′F′∥BC，交 AC 于点 F′． ∵ E′F′∥BC， ∴ △AE′F′∽△ABC，且 ∠AE′F′＝∠B＝∠E． 在 △AE′F′ 与 △DEF 中， ∠A＝∠D，AE′＝DE，∠AE′F′＝∠E， ∴ △AE′F′≌△DEF（ASA）， ∴ △ABC∽△DEF． 自主构建 判定方法 1：两角分别相等的两个三角形相似． （简称：两角对应相等，两三角形相似．） 符号语言： ∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′． 定义（回顾）：各角分别相等、各边成比例的两个三角形相似． 用定义判定需要三个角、三条边，而"两角"判定只需两个条件——这是最常用的判定方法． 互动体验 例2. 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为斜边 AB 上的高． (1) △ABC 与 △ACD 相似吗？为什么？ (2) 已知 AD＝8，AB＝10，求 AC 的长． 解：(1) 相似． ∵ CD⊥AB， ∴ ∠ADC＝∠ACB＝90°． 又 ∵∠A＝∠A， ∴ △ABC∽△ACD（两角分别相等）． (2) 由(1)得 AB/AC＝AC/AD， ∴ AC²＝AB·AD＝10×8＝80， ∴ AC＝√80＝4√5． 互动体验 例3.平行四边形 ABCD 中，过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连 DE，F 为线段 DE 上一点，且 ∠1＝∠B．求证：△ADF∽△DEC． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，∠B＋∠BCD＝180°． ∴ ∠ADF＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∠1＝∠B，∠1＋∠AFD＝180°， ∴ ∠AFD＝180°－∠B＝∠BCD， 即 ∠AFD＝∠DCE（E 在 BC 上）． ∴ △ADF∽△DEC （两角分别相等的两个三角形相似）． 互动体验 例4. 如图，点 E 是 △ABC 的内心，AE 的延长线与 BC 相交于点 F，交 △ABC 的外接圆于点 D．求证：△BFD∽△ABD． 证明：∵ 点 E 是 △ABC 的内心， ∴ AE 平分 ∠BAC，∠BAD＝∠DAC． ∵ ∠DBC＝∠DAC（同弧所对的圆周角相等）， ∠DBC＝∠FBD， ∴ ∠FBD＝∠BAD． 又 ∵∠BDF＝∠BDA（公共角）， ∴ △BFD∽△ABD （两角分别相等的两个三角形相似）． 互动体验 1．下列说法中，正确的有（　　） ① 有一个角等于 50° 的两个等腰三角形一定相似； ② 有一个角等于 120° 的两个等腰三角形一定相似； ③ 有一个锐角等于 20° 的两个直角三角形一定相似； ④ 任意两个等边三角形一定相似． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 C　（②③④正确） 2．如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D， 则图中相似三角形有（　　） A．1对　　B．2对　　 C．3对　　D．4对 △ACD∽△CBD，△ACD∽△ABC， △CBD∽△ABC，每对都有公共角和直角． C　 互动体验 3．如图，锐角△ABC 的边 AB、AC 上的高 CE、BD 相交于点 F，请找出图中与△BEF 相似的三角形，并用相似符号连接： △BEF∽________，△BEF∽________；△BEF∽________． 答案：△BEF∽△CDF∽△CEA； △BEF∽△BDA． 提示：∠BEF＝∠CDF＝90°，∠BFE＝∠CFD ∠CDF＝∠CEA＝90°，∠DCF＝∠ECA； ∠BEF＝∠BDA＝90°，∠FBE＝∠DBA． 互动体验 4．如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足 ∠ACD＝∠ABC，若 AC＝2，AD＝1，求 DB 的长． 解：∵ ∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC， ∴ △ACD∽△ABC， ∴ AC/AB＝AD/AC， ∴ AC²＝AD·AB，即 2²＝1×AB， ∴ AB＝4，DB＝AB－AD＝3． 智慧建构 通过这节课的学习，你有什么收获？ 判定定理 两角分别相等的两个三角形相似．用定义需要"三角、三边"， 用判定定理只需两个角，更为简便． 符号语言 ∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴ △ABC∽△A′B′C′． 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上． 常见模型 共角"A 字型"、旋转型、双垂直（斜边上的高）等，都是"两角"判定的常见图形． 口诀：两角对应相等，两三角形相似；找出相等的角是关键！ 能力提升 1．如图，Rt△ABC 中，∠A＝90°，点 P 是斜边上的一点，过点 P 作直线，截得的三角形与原三角形相似，这样的直线最多有多少条？请画出所有可能情况． 答案：最多有 4 条． ① 过 P 作 AB 的平行线； ② 过 P 作 AC 的平行线； ③ 过 P 作 BC 的垂线； ④ 直线 AP（当 ∠BAP＝∠C 时，截得的 △ABP∽△CBA）． 能力提升 2．如图，在锐角三角形 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC． 求证：△ADE∽△ABC． 证明：∵ AG⊥BC，AF⊥DE， ∴ ∠AFE＝∠AGC＝90°． 又 ∠EAF＝∠GAC， ∴ △AEF∽△ACG（两角分别相等）， ∴ ∠AEF＝∠ACG，即 ∠AED＝∠C． 又 ∠A＝∠A（公共角）， ∴ △ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）． 3.如图，点A、B、C、D在圆上，若点A是弧BC的中点，连接BC，那么△CDE与△BCD相似吗？为什么？你还能找到其它的相似三角形吗？ 能力提升 能力提升 4．如图，在等边 △ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，∠ADE＝60°． (1) 试说明：△ABD∽△DCE； (2) 若 BD＝2，CE＝ ，求 △ABC 的边长． 解：(1) ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠B＝∠C＝60°． ∵ ∠ADC＝∠B＋∠BAD＝60°＋∠BAD（外角性质）， ∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝60°＋∠EDC， ∴ ∠BAD＝∠EDC， ∴ △ABD∽△DCE（两角分别相等）． (2) ∵ △ABD∽△DCE，∴ AB/DC＝BD/CE， 设边长为 a，则 a/(a－2)＝2/(4/3)＝3/2， 解得 a＝6，即等边 △ABC 的边长为 6． 1.已知：△ABC与△AEF中，∠1＝∠2 ，∠F＝∠C． 求证： 点拨:在此处要证线段对应成比例,可以通过证明两三角形相似,今后通过证明两三角形相似是证明角相等、线段成比例的常用方法. A B C E Ｆ 1 2 变式:如果AC=2AF，BC=4，EF的长是多少？ 补充习题 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°,CD是∠ACB的平分线. 那么△ABC与△CBD相似吗？为什么？ A C B D 问：等式BC2=BD · AB成立吗？ 若BC=1,则AD 长是多少？ 补充习题 $