上海市金山区2026-2027学年上学期沪教版八年级数学期中模拟试卷

上海市金山区2026-2027学年上学期八年级数学 期中模拟试卷 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4 分，共24分） 1．在，，，，，，中，无理数的个数是（　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的立方根是 D．数轴上的点与有理数一一对应 3．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如果，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 6．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题 4 分，共48分） 7．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 8．的平方根是_________． 9．已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 10．比较大小：________． 11．已知是2的算术平方根，那么不等式的解集为__________． 12．数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． 13．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_______． 14．如果，那么的立方根是_______________． 15．若的小数部分为，的整数部分为，则_________． 16．已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 17．若，且满足，则______． 18．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为________． 三、解答题（共78分） 19．计算：． 20．计算：．（） 21．解方程： 22．解方程：． 23．解方程：． 24．先化简，再求值：，其中． 25．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 26．通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市金山区2026-2027学年上学期八年级数学 期中模拟试卷 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4 分，共24分） 1．在，，，，，，中，无理数的个数是（　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．据此解答即可. 【详解】解： 无理数有，，共3个， 故选C. 【点睛】本题主要考查无理数的定义，本题属于基础应用题，只需学生熟知无理数的三种形式，即可完成． 2．下列说法正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的立方根是 D．数轴上的点与有理数一一对应 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根、无理数的性质以及数轴与数的对应关系． 根据定义逐一判断即可． 【详解】解：1的平方根是，故A错误； 两个无理数的和可能是有理数，如与的和为0，故B错误； ，则的立方根是，故C正确； 数轴上的点与实数一一对应，有理数不能覆盖所有点，故D错误； 故选：C． 3．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5．如果，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、整式的加减混合运算．根据的取值范围可判断得出，，根据二次根式的性质即可化简原式，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 6．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减的结果为有理数是解题的关键．由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴为有理数， A、∵是无理数， ∴是无理数； B、 ∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； C、∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； D、∵，是有理数， ∴是有理数． 故选：D． 二、填空题（每题 4 分，共48分） 7．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 8．的平方根是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根，原式先计算，再计算的平方根即可． 【详解】解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 9．已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法；用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果． 【详解】解： ； 故答案为：． 10．比较大小：________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通常用求差法比较两个无理数的大小，根据，可知． 【详解】解： ． 故答案为： ． 11．已知是2的算术平方根，那么不等式的解集为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，解不等式，分母有理化；先根据算术平方根的定义求得m，再代入不等式即可求得结果． 【详解】解：由题意得，代入不等式可得 ， 整理得， 解得， 故答案为：． 12．数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． 【答案】、 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数加法运算，有理数的减法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 到一个点的距离等于3的点有两个，分别位于该点的左侧和右侧． 【详解】解∶ 数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数有两个，分别位于该点的左、右侧，这两个数分别是，， 故答案为：、． 13．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不等于零． 根据一元二次方程的一般形式，常数项为0，因此令常数项等于0求解． 【详解】解：一元二次方程 的常数项为． 由题意，常数项为0，即， 解得：． 故答案为：4． 14．如果，那么的立方根是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 根据立方根的变化规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 15．若的小数部分为，的整数部分为，则_________． 【答案】 【分析】先通过估算无理数的大小，得到和的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分为，小数部分 ∵ ∴ ∴的整数部分 将，代入得： ． 16．已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 【答案】2或0 【分析】本题考查了无理数的有关运算； 根据的取值范围得出，，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴， ∴， ∴或0， 故答案为：2或0． 17．若，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，先由，利用完全平方公式得，再开方得，然后根据得，即可得出答案． 【详解】解：∵，且满足， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ 故答案为：． 18．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，然后根据边长乘积两倍列式计算即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 余下部分的面积为：． 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零指数幂，二次根式的加减，绝对值；根据零指数幂和二次根式的加减运算法则及化简绝对值进行计算即可． 【详解】解：原式： 20．计算：．（） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的乘法运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、再分母有理化，然后再运用二次根式的乘法运算法则计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 21．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程． 通过移项将未知数项分离，然后除以系数，并有理化分母求解即可． 【详解】解： 移项，得 两边同除以 ，得 有理化分母，得 化简分子，得 所以 ． 22．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 23．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可把看作一个整体，然后利用因式分解法可进行求解． 【详解】解： 或 ∴． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，代数求值等，解题的关键是掌握二次根式的各运算法则． 先进行二次根式的混合运算，再代数求值． 【详解】解：原式． 将代入，得原式． 25．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 26．通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B； （2）如图， ； （3）1，3，3，1， 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $