精品解析：上海市金山区2025-2026学年上学期八年级数学期中统考试卷

2025学年第一学期金山区八年级期中统考卷 考试时间：100分钟 满分100分 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 1. 在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 立方根是它本身的数是0和1 B. 数轴上的点与有理数一一对应 C. 0.01的平方根是0.1 D. 平方根是它本身的数只有0 3. 的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 3 5. 当时，化简（ ） A. 0 B. C. 2 D. 6. 已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每小题2分，共24分） 7. 当_____时，代数式有意义． 8. 的平方根是________ 9. 在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为______m 10. 比较大小：_____． 11. 已知是4的算术平方根，则不等式的解集是_____． 12. 数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是_____． 13. 关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 14. 已知，则_____． 15. 已知的小数部分是，的小数部分是，且，则_____． 16. 若，则_____． 17. 如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是_____． 18. 定义一种新运算，对于任意角和，．例如：．已知：，，那么_____． 三、简答题（每小题5分，共30分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解不等式：． 22. 解方程：． 23. 解方程：． 24. 解方程：． 四、解答题（25题5分，26题6分，27题8分，28题9分，共28分） 25. 先化简，再求值：，其中，． 26. 已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 27. 降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 28. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期金山区八年级期中统考卷 考试时间：100分钟 满分100分 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 1. 在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，判断每个数是否为无理数（无限不循环小数），仅需识别无限不循环小数或不能表示为分数的数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴ 是分数，是有理数； 是有限小数，有理数； 是无理数； 是整数，是有理数； 是无理数； ，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； ∴ 无理数有和，共2个． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 立方根是它本身的数是0和1 B. 数轴上的点与有理数一一对应 C. 0.01的平方根是0.1 D. 平方根是它本身的数只有0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根、数轴与实数的对应关系等基本概念，需逐项判断正误． 【详解】解：A：立方根是它本身的数应满足，即，解得或或，故A错误，不符合题意； B：数轴上的点与实数一一对应，有理数只是实数的一部分，故B错误，不符合题意； C：0.01的平方根是，故C错误，不符合题意； D：平方根是它本身的数应满足算术平方根等于本身，即，解得或，时平方根为，不都等于1，故只有满足，正确，符合题意． 故选：D． 3. 的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理化因式． 有理化因式的定义是两个含有根式的式子相乘后结果为有理式．对于形如的根式，其有理化因式通常为本身，因为，结果不含根号． 根据有理化因式的定义作答即可． 【详解】解：的一个有理化因式是． 故选： D． 4. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根的定义得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 5. 当时，化简（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式和绝对值的非负性，结合取值范围简化表达式．将根号内的表达式化为完全平方形式，再根据x的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故选：B． 6. 已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 【详解】解：∵ 为有理数， ∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数）， A、不确定是不是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B符合题意； C、不确定是不是有理数，故C不符合题意； D、不确定是不是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每小题2分，共24分） 7. 当_____时，代数式有意义． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．根据分母不为零且根号内表达式非负，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ， 由  解得 ， 由  解得 ， 综上，x的取值范围为  且 ． 故答案为： 且 ． 8. 的平方根是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，先根据算术平方根的定义得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是 故答案为：，． 9. 在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为______m 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数 【详解】解：将0.00000078m用科学记数法表示为m 故答案为：. 10. 比较大小：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分数比大小，熟练掌握无理数的估算和分数比大小是解题的关键，同分母分数比大小，通过比较两个分数的分子大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 11. 已知是4的算术平方根，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，算术平方根，分母有理化．先根据算术平方根的定义求出，然后代入不等式，通过移项和合并同类项，得到关于 的不等式，由于系数，除以负数时不等号方向改变，最后有理化分母并化简得到解集，即可作答． 【详解】解：∵是 4的算术平方根， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ， 则， ∴， 故答案为：． 12. 数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴、二次根式的加减，分在表示的点的左边与右边两种情况讨论，利用数轴上两点间距离公式建立方程求解． 【详解】解：设所求点表示的数为，则根据数轴上两点间距离公式，有，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：或． 13. 关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 14. 已知，则_____． 【答案】167.6 【解析】 【分析】本题考查立方根的定义，通过观察给定数字与所求数字的关系，发现，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知， 因为， 所以． 其中， 因此． 故答案为：167.6． 15. 已知的小数部分是，的小数部分是，且，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的估算及平方根的定义，关键是准确估值算出的值； 由估计的值确定，从而计算出的值，最后算出的值. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴. 故答案为：或. 16. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、取绝对值、整式的加减等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式简化两个根式，再根据二次根式化简，然后根据x的取值范围去绝对值，最后相加并合并同类项即可． 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 17. 如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形． 由A、B两正方形的面积得出相应边长，再利用大长方形面积减去两个正方形区域的面积即可计算出剩余部分面积． 【详解】解：A，B两正方形区域的面积分别是3和16， ∴A，B两正方形边长分别是和4， ∴大长方形的长为，宽为4， ∴剩余区域的面积是为， 故答案为：． 18. 定义一种新运算，对于任意角和，．例如：．已知：，，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对新定义运算的理解和应用能力，根据题意求出，，然后计算乘积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 三、简答题（每小题5分，共30分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．先计算完全平方式，化简二次根式，绝对值，零次幂，最后进行加减运算． 【详解】解： 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法，再算加减即可． 【详解】解： ． 21. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，掌握有理化是解题的关键． 先解不等式可得，然后再分母有理化即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 22. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，分母有理化，先去括号再移项，合并同类项，系数化1，最后进行分母有理化，即可作答． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得． 23. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，用因式分解法求银即可． 【详解】解： 或 ，． 24. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．首先把一元二次方程化为一般形式，然后再用公式法解方程． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 四、解答题（25题5分，26题6分，27题8分，28题9分，共28分） 25. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】0，0 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先把整理得，以及把整理得，再运算，即可作答． 【详解】解：， ， 则， 当，时，则． 26. 已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 27. 降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 28. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】（1） ①根据题意作图如下： ② （2）1，3，3，1， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； 【小问2详解】 解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $