山西太原市第四中学2026-2027学年高二上学期10月素质测试数学试题

2026一2027学年10月高二年级素质测试 数学 2026.10 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册(1.1~2.2)。 洳 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的 啟 1.直线3x一y十1=0倾斜角的大小是 长 C 2x 区 A晋 B晋 n.晋 州 2.已知空间四边形ABCD,G是CD的中点，连接AG,则A+2(Bi+BC= 期 A.AG B.CG C.BC D.号B 相 3.直线2x一y十2=0在x轴上的截距是 A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.已知a=(2,一1,2)，b=(一1,3，一3)，c=(13,6,λ)，若向量a,b,c共面，则λ= A.2 B.3 C.4 D.6 5.已知向量a=(1,1,0),b=(一1,0,2)，且ka十b与2a-b互相垂直，则k的值是 A.1 B月 c号 6.已知直线1过原点且与直线7x十3y一1=0垂直，求直线l一个方向向量是 A.(-7,3) B.(3,-7) C.(3,7) D.(7,3) 【高二测试·数学第1页（共4页）】 12016 7.设m∈R,则“m=2”是“直线l1:mx+2y-1=0与直线l2:3x十(m+1)y十1=0”平行的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知在四面体ABCD中，AB=AC=BD=CD=√3，BC=AD=2,E,F分别为BC,AD的中 点，则异面直线AE,CF所成的夹角为 A晋 B. c肾 D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有 A.y-x=1 B.y十x=3 C.y=2x D.y=-2x 10.如图所示，正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别在A1D,AC上，且 D C AE=号AD,AF=号AC,则 A A.EF⊥AD B.EF⊥A1D E D F C.EF与BD异面 D.EF∥BD 11.下列说法正确的有 A.直线y=ax-2a十3(a∈R)过定点(2,3) B.若两直线ax十2y=0与x十(a+1)y+4=0平行，则实数a的值为1或一2 C.若AB>0,BC>0,则直线Ax-By一C=0不经过第二象限 D.点A(2,一3)，B(一3，一2)，直线l:mx+y一m一1=0与线段AB相交，则实数m的取值 范围是一46m≤ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线1的一个方向向量d=(3,4),且过点(-1,2)，则直线1的点斜式方程为 13.已知向量a,b的夹角为60°，|a=2,1b1=1,则|a+2b1= G 14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1,B 已知G和E分别为A]B:和CC的中点，D和F分别为线段AC和AB D 上的动点（不包括端点），若DG⊥EF,则线段DF长度的取值范围 为 B 【高二测试·数学第2页（共4页）】 i9l比 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(13分) 已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,一2，z),且a∥b,b⊥c,求： (1)a,b,c; (2)a十c与b十c夹角的余弦值， 16.(15分) 已知点A(一2,2)，直线11：3x一4y十2=0. (1)求过点A且与直线L1垂直的直线方程； (2)求过点A且和直线1：平行的直线方程 17.(15分) 已知直线L经过点P(一1,2). (1)若1在两坐标轴上截距和为零，求L的一般式方程； (2)设l的斜率k>0,L与两坐标轴的交点分别为A、B,当△AOB的面积最小时，求l的斜截 式方程 18.(17分) 如图，已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AD=AB=2,M,N分别为AB,PC 的中点。 (1)求证：MN∥平面PAD; (2)求PD与平面PMC所成角的正弦值. 圜 19.(17分) 如 如图所示，已知正三棱柱ABC-A1BC中，AB=2,AA1=√3，点D为AC的中点，点E在 线段AA1上 长 (1)当AE:EA1=1:2时，求证：DE⊥BC1; (2)是否存在点E,使平面BDE与平面ABE的夹角等于60°？若存 B 在，求出AE的长；若不存在，请说明理由. 好 款 相 2026-2027学年10月高二年级素质测试·数学 参考答案、提示及评分细则 1,.B直线v3x-y十1=0化成斜截式为y=3x十1，：k=tana=3,a=号， 2.A在△BCD中，：G是CD的中点，B花=2(Bd+BO,…A范+(Bi+B心=A+B心=AG. 3.A令y=0,则2x一0+2=0，解得x=一1，.直线2x-y十2=0在x轴上的截距是-1. 4.B.a=(2,-1,2),b=（一1,3，-3)，c=(13,6,λ)，三个向量共面，.a=b+3c,.(2,-1,2)=x(-1,3, (-x+13y=2, x=-8, -3)+y(13,6,λ)，.33x+6y=-1,解得 =g, -3x+y以=2， λ=3. 5.D.ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),且ka+b与2a一b互相垂直，∴.(ka+b)·(2a-b)=3(k-1) 十2k-4=0,解得k=5· 7 6.D由题可知，直线1过原点(0,0)与直线7x+3y-1=0垂直，则直线1的斜率为号，所以直线1的方程为3x 一7y=0,故其中一个方向向量n=(7,3). 7.C当m=2时，直线4：2x+2y-1=0,直线：3x十3+1=0，此时号=号≠，所以直线4/，当4/ m(m+1)=6, 么时，号=n子≠m+1≠0)，得m+1≠-2，解得m=2,所以加=2”是直线4：mx+2y-1=0与 m十1≠0， 直线2：3x+(m十1)y+1=0”平行的充要条件. 8.C如图，：E,F分别为BC,AD的中点，A正=(A店+AC),C市=号(Cò+ CA)=(AD-2 Ac).AB=AC=BD=CD=/3.BC=AD=2,..AE= √AC-CE=V√3-I=V2,CF=√CD-D=√3-I=2,cos∠BAC= -宁acD-装-得∠BD-装8-得应. 本=4范+A0.(动-2AC=i.Ad-2Ai.A心+A心.亦-2AC)=(5×2×-2× 5x5×号：×9-=-1a,南盖=-方义EG成 C)=牙，∴异面直线AE,CF所成的夹角为子， 9.AC 当直线过原点时，可得斜率为8=2，故直线方程为)y一2；当直线不过原点时，设方程为后+。 -a 【高二测试·数学参考答案第1页（共4页）】 1,代入点(1,2)可得上一2=1，解得a=-1,故方程为x一y十1=0.故所求直线方程为：y=2x或y一x=1. 10.BD以D为原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系（图略），设正方体棱长 为3，则A(3,0,0),B(3,3,0),D(0,0,0),D,(0,0,3),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),E=(1,1,-1), BD,=(-3,-3,3),A1D=(-3,0,-3),AD=(-3,0,3).EF.AD=-3+0+3=0,EF⊥A1D; :EF.AD=-3+0-3≠0，∴EF与AD1不垂直；BD,=-3E京，∴.EF∥BD,EF⊥A1D,EF∥BD. 11.ABC对于A,y=ax-2a+3(a∈R)→y-3=a(x-2)(a∈R),故直线恒过定点 (2,3),故A正确；对于B,两直线ax+2y=0与x十(a十1)y+4=0平行，则a(a +1)-2=0,解得a=1或-2，当a=1时，两直线x+2y=0与x十2y十4=0满 足要求，当a=一2时，两直线一2x十2y=0与x一y十4=0满足要求，综上，a=1 或一2，故B正确；对于C,若AB>0,BC>0,则直线Ax一By一C=0变形为y= 会x一号，直线斜率合>0，与y轴截距为一吕<0，则直线经过第-、三、四象限， 不经过第二象限，故C正确；对于D,直线l:mx十y-m一1=0→y-1=一m(x一1)，直线经过定点E(1,1), 画出坐标系如图所示，其中kc=23号=一4，=二号二子，则要想直线与线段AB相交，则直线斜率 一m≤-4或-m≥子，解得m≥4或m≤-子，故D错误.故选ABC 12.y一2=号(x+1)因为直线1的一个方向向量d=(3,4),所以直线1的斜率为号，所以直线方程为y一2= 号+1D. 13.23|a+2b12=(a+2b)2=|a2+2·|a·|2b·cos60°+(2|bl)2=22+2×2×2×- +2=4+4+4 =12..|a+2bl=√12=23. [9,) 由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), E(0,1,2),G(20,1),设F(x,0,0),D0,,0)(0<x<1,0<y<1),由于 GD⊥EF,则Gi·EF=0,x+2y-1=0,.DF=(x,-y,0)=(-2y+1, D -,0).:0<x<1,·0<y<2,·1D1=+-+0= B V5y-4+干=√5(-号)'+，当)=号时，线段D℉长度的最小值是5，当)y=0时，线段DF长度 的最大值是1，又不包括端点，故D1<1. 15.解：1)a/62=手=解得x=2y=-4,则a=(24,1).b=(-2,-4,-10.…4分 又b⊥c,∴.b。c=0,即-6十8-之=0，解得之=2，故c=(3,一2,2).…6分 (2)由(1)得a十c=(5,2,3),b+c=(1,一6,1)，设a十c与b十c的夹角为0，…9分 因此6品晨-是 …13分 【高二测试·数学参考答案第2页（共4页）】 16.解：(1)设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x十3y十m=0.…2分 把点A的坐标代人可得：一8十6十m=0,解得m=2.…5分 所以过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x十3y十2=0.…7分 (2)设过点A且和直线l1平行的直线方程为3x一4y十n=0.…9分 把点A的坐标代人可得：一6一8十n=0,解得n=14.…12分 所以过点A且和直线l1平行的直线方程为：3x一4y十14=0. 15分 17.解：(1)由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k,则1的点斜式方程为 y一2=k(x十1)，则它在两坐标轴上截距分别为-1-号和k+2, 3分 所以-1-是++2=0，解得=-2或k=1, 所以l的方程为y-2=一2(x+1)或y-2=x十1，即2x十y=0或x-y十3=0.…7分 (2)油(1)知，A(-是-1,0），B(0,k+2),… …9分 所以△40B的面积S=合引-是-1·1+21=2-会+2+号≥2√受·层+24， 当且仅当k=2时，等号成立，… …14分 所以l的斜截式方程为y=2x十4.… 15分 18.(1)证明：建立空间直角坐标系如图，，PA=AD=AB=2, P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),M1,0,0),C(2,2,0).…3分 N是PC的中点，.N(1,1,1),M=(0,1,1).…4分 又AB=(2,0,0)是平面PAD的一个法向量，M衣·AB=2X0+1X0+1X0= 0,M亦LAB, .MN∥平面PAD.…7分 (2)解：由(1)知PD=(0,2,-2),PM=(1,0,-2),P元=(2,2，-2).…10分 设平面PMC的法向量为n=(x,y,z), (n·Pc=0, B x=2z, 则nPi=0: 解得 (y=一， 令x=1,则n=(2,一1,1). ………………4… 13分 设PD与平面PMC所成角为0， 则sin0=|cos(Pi,n1=P中.nl 10-2-2 3 ……… 16分 |PD1|nl√02+22+(-2)z·√22+(-1)2+1Z 所以PD与平面PMC所成角的正弦值为 3 17分 19.(I)证明：连接DC.ABC-A1B,C1为正三棱柱，∴.△ABC为正三角形.…1分 又D为AC的中点，BD LAC.…2分 .平面ABC⊥平面ACCA1,.BD⊥平面ACC1A1,BD⊥DE.…3分 ,AE:EA1=1:2,AB=2,AA1=√3， 【高二测试·数学参考答案第3页（共4页）】 AB=AD=1.…5分 ∴.在Rt△ADE中，∠ADE=30°；在Rt△DCC中，∠CDC=60°.∴.∠EDC1=90°，即ED⊥DC.…6分 又DC∩BD=D,.DE⊥平面BDC, 又BCC平面BDC1,.DE⊥BC.… …7分 (2)解：存在点E满足条件。…8分 设存在点E满足条件，设AE=h. 取AC1的中点D,连接DD,则DD⊥平面ABC,∴DD⊥AD,DD⊥BD. …9分 如图，分别以DA,DB,DD所在直线为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(0,3,0),E(1,0,h).…10分 Di=(03,0),D2=(1,0,),AB=(-1,W3,0),A2=(0,0,h).…11分 小2 D 设平面DBE的法向量为1=(x1,y1,名)，则 m1·Di=0,V3y=0, 即以 n1·Di=0,(x+hx1=0. 令名=1，得1=(-h,0,1).…13分 同理，设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,2),则 ·=0即一+W5光=0令=1，=0，得=5,10.…15分 即 2·A正=0，h2=0. 1 O)1=一，=cos60°-合解得h-号<B(负值含去)， h+1·2 故当AE=2时，平面BDE与平面ABE的夹角等于60： 17分 -1页（共4页）】