精品解析：湖北宜昌市当阳市实验初级中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026学年度八年级上学期数学10月学情检测试题 一.选择题（30分） 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3. 如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（ ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 4. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 5. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 9 或 7. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把的一角折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，P是内一点，延长交于点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别平分和，的延长线与的外角的平分线交于点．以下结论：，，，．其中正确的是（    ） A. B. C. D. 二.填空题（15分） 11. 已知在中，，这个三角形是________三角形． 12. 如图，D，E分别是上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为______（只填一个条件即可）． 13. 如图，在中，，，点是边中点，设，则的取值范围是_______． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以4厘米／秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为________厘米／秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题 16. 如图， ，点，在线段上，且，连接，，若． 求证：请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵ ， ∵________①， ∵， ∴，即________②， 在和中，， ∴（________⑤）, ∴________⑥ ∴． 17. 如图，已知，且，，求证：． 18. 如下图所示的是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向上，B岛在A岛的北偏东方向上，C岛在B岛的北偏东方向上，求从C岛看A，B两岛的视角的度数． 19. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 20. 如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． （1）若是中线， 则，则与的周长差为 ； （2）若是的角平分线，，则 ． （3）若是的高，，求的度数． 21. 我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数． 22. 如图：， （1）图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接，求证：平分． 23. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 24. （1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度八年级上学期数学10月学情检测试题 一.选择题（30分） 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段能组成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 【详解】自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”，选项A、选项B和选项C都与题干不符． 故选：C． 3. 如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（ ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故，间的距离不可能是5米． 故选：D． 4. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可． 【详解】解：A.根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； B.根据三角形的三边关系，该三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.根据全等三角形的判定定理（角边角），能作出唯一的，符合题意； D. 根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 6. 已知一个等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 9 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：是腰长时，三边分别为、、时，不能组成三角形； 是底边时，三边分别为、、，能组成三角形，周长， 故选B． 7. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴由题意得：， 故选：A． 8. 如图，把的一角折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为180度．根据折叠的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得到， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，P是内一点，延长交于点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 由三角形的外角性质可得：从而可判定的大小． 【详解】解：∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，，分别平分和，的延长线与的外角的平分线交于点．以下结论：，，，．其中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题关键是要熟练掌握并能结合图形列出关系式． 依据题意，由平分平分，可得，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，平分平分， ． 根据三角形外角性质，， ， 即，故正确． 由， 根据三角形内角和定理，， 又， ， 不一定是， ，故错误． 、分别平分和， ． 根据三角形内角和定理，． 又， ，故正确． 由知，由知． ． 不一定是， ，故错误． 综上，正确的是． 故选：B． 二.填空题（15分） 11. 已知在中，，这个三角形是________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】设，则，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴这个三角形是直角三角形． 12. 如图，D，E分别是上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为______（只填一个条件即可）． 【答案】，或，或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析是解题的关键． 根据已知的和公共角进行分析判断即可． 【详解】，， 当时，根据判定； 当时，根据判定； 当时，根据判定； 故答案是：，或，或． 13. 如图，在中，，，点是边中点，设，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质以及三角形三边关系，通过倍长中线的方法，将已知线段和所求线段转化到中，再利用三角形三边关系来确定的取值范围． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， ，即， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以4厘米／秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为________厘米／秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【解析】 【分析】先根据题意求出长度，利用与全等，以及，设点和在运动时间秒，分两种情况讨论①②，列关于的方程，解出即可求出的速度． 【详解】解：厘米，点为的中点， 厘米. 设点和在运动秒时，与全等， ，， ①时， ，， ，， ， ． ． ②时， ，， ，， ， ． ． 三、解答题 16. 如图， ，点，在线段上，且，连接，，若． 求证：请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵ ， ∵________①， ∵， ∴，即________②， 在和中，， ∴（________⑤）, ∴________⑥ ∴． 【答案】①;②;;;⑤;⑥． 完整证明过程如下： 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴, ∴， ∴． 【解析】 【分析】先补全条件证明，再利用三角形全等得到，即可证明． 【详解】略． 17. 如图，已知，且，，求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定，即可求解． 【详解】略 18. 如下图所示的是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向上，B岛在A岛的北偏东方向上，C岛在B岛的北偏东方向上，求从C岛看A，B两岛的视角的度数． 【答案】20° 【解析】 【分析】根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ． ， ． 19. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 20. 如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． （1）若是中线， 则，则与的周长差为 ； （2）若是的角平分线，，则 ． （3）若是的高，，求的度数． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线，高线，角平分线，三角形内角和定理， （1）根据中线的性质得，再根据周长公式可得答案； （2）先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形内角和求出答案； （3）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴. ∵， ∴的周长与的周长差为. 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴. ∵， ∴. 在中，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵是的高线， ∴. ∵，是的角平分线， ∴，. 在中，. 21. 我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵△AOB和△COD是对顶三角形， ∴∠AOB=∠COD， ∴△AOE和△COD是对顶三角形， ∴∠OAE+∠OEA=∠C+∠D， ∵∠EAO=∠C， ∴∠D=∠OEA， ∵∠D=2∠B， ∴∠OEA=2∠B， 又∵∠OEA=∠B+∠BAE， ∴∠B=∠BAE； （2）100° 【解析】 【分析】（1）先证明△AOE和△COD是对顶三角形，得到∠OAE+∠OEA=∠C+∠D，再由∠EAO=∠C，∠D=2∠B，推出∠OEA=2∠B，即可利用三角形外角的性质证明∠B=∠BAE； （2）由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC，则∠BDO-∠OEC=20°，证明∠A+∠DOE=180°，如图所示，连接AO，推出∠ADO+∠AEO=180°，进而证明∠BDO=∠AEO，推出∠BDO+∠OEC=180°，即可求出∠BDO=100°． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：∠ECD-∠BDE=20°， 由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC， ∴∠BDO-∠OEC=∠ECD-∠DBE=20°， ∵∠BOD=∠A，∠BOD+∠DOE=180°， ∴∠A+∠DOE=180°， 如图所示，连接AO， ∴∠ADO+∠AOD+∠DAO=180°，∠AOE+∠AEO+∠EAO=180°， ∴∠A+∠DOE+∠ADO+∠AEO=360°， ∴∠ADO+∠AEO=180°， ∵∠AEO+∠OEC=∠BDO+∠ADO=180°， ∴∠BDO=∠AEO， ∴∠BDO+∠OEC=180°， ∵∠BDO-∠OEC=20°， ∴∠BDO=100°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确理解题意掌握三角形内角和定理是解题的关键． 22. 如图：， （1）图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：结论：，理由如下： 如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2） 解：，理由如下： ，， ， 又， ， ，， ， 即； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得且， ， ， ， ，， 的面积． 24. （1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）， 证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2） 略 （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $