精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

平罗中学2026-2027学年度第一学期第一次月考试卷 高三数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 2. 已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件； 反之,若,则函数不一定是奇函数,“ f(x) 为奇函数”不是必要条件.应选A. 考点：充分必要条件. 3. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 恒成立的等价条件为 ， 【详解】命题＂＂是真命题，又 ， 则 ， 解得 ． 4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，因为，所以是奇函数，但其在整个定义域上不单调递增，所以A错误； 选项B，若，，单调递增，且时，， 若，，单调递增，且时，， 又时，所以在上是单调递增， 因为，所以为奇函数，所以B正确； 选项C，因为，所以是奇函数，但不单调递增，所以C错误； 选项D，因为，所以是奇函数， 在，上单调递增，但在整个定义域上不单调递增，所以D错误. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得： 由诱导公式． 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，即， 因为，所以，即， 由，即， 因为为增函数，且，故， 综上，. 7. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出在点处的切线斜率，进而写出直线方程，然后计算直线方程与两坐标轴的交点，然后利用直角三角形的面积公式求解即可. 【详解】，所以， ，所以在点处的切线方程为. 当时，；当时，. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 8. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为在上必须有2个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于原点对称 C. D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：当时，，在上单调递减，在上单调递增.故在上不是单调递增函数，故A错误. 选项B：因为是奇函数，奇函数的图象关于原点对称.B正确. 选项C：由奇函数性质，得.又，故，故C错误. 选项D：当时，，则.由奇函数性质.故D正确. 10. 已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） A. 的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数 C. 函数在区间上是减函数 D. “函数取得最大值”的一个充分条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【详解】， 选项A，最小正周期为，错误. 选项B，的图象向左平移个单位得到， ，所以为偶函数，正确. 选项C，当时，，所以函数在上单调递减，正确. 选项D，令，得到，并且是的真子集， 所以函数取得最大值的一个充分条件是“”，正确. 11. 已知为的导函数，对，均有，且，则（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可得，进而计算可得，可判断A；利用奇函数的性质可判断B；令，可得，进而计算可得，进而计算可判断C；取，验证可判断D. 【详解】令，得：， 故，即为奇函数. 令，得：，故.故A错误. 选项B：为奇函数，图象关于对称，向右平移1个单位得， 故的图象关于点对称，故B正确. 选项C：令，得：， 故的图象关于直线对称. 结合奇函数性质：， 故，即是周期为4的周期函数. 由周期性，. 故.故C正确. 选项D：由，两边求导得. 取满足条件的函数， 验证：， ， 二者不恒等，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则xy的最大值为_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可. 【详解】因，则，所以， 当且仅当时等号成立， 则xy的最大值为. 故答案为： 13. 在中，角所对的边分别为，已知，，，则______． 【答案】或 【解析】 【详解】由正弦定理得：， 因为，且，所以， 在范围内，的解为或，两者均满足． 14. 若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性转化为在区间上恒成立， 构造函数，利用导数求最小值即可求得即. 【详解】因为，所以． 由的图象在区间上单调递增， 可知不等式即在区间上恒成立． 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 故要使在上恒成立，只需． 由，解得， 故实数a的取值范围为，则a的最小值为． 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】先由图像求振幅、周期得到，代入最高点求出，得到的解析式；按照 “先平移、再横向伸缩” 完成图像变换得到，利用整体换元法求正弦型函数的单调递增区间. 【小问1详解】 由图象可知，，故. 最高点在处，得，即，故，解得，. 由，得.因此. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位，得， 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得， 由，解得，. 故的单调递增区间为. 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求证：在上单调递增； （3）若在区间上有解，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）由（1）知，则， 因为均大于0，所以对任意恒成立，故在上单调递增. （3）3 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求参数值，注意验证； （2）应用导数研究函数的单调性即可； （3）问题化为在上，结合单调性确定最大值，再解一元二次不等式求参数范围即可得. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以，解得， 验证，当时，，满足题设； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在上有解，等价于在上， 由（2）知为增函数，则最大值为， 因此，即，解得， 故整数n的最大值为3. 17. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知， 由余弦定理， 即，代入得：， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理，得：代入，得. 三角形面积公式：， 代入， . 【小问3详解】 由余弦定理：， 由，得， 代入上式：. 由基本不等式，时：， 当且仅当时取等号. 因此：，又， 结合三角形两边之和大于第三边，得：. 18. 已知函数， （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）若在定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间是，没有单调递减区间. （2）当时,在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时,在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （3）． 【解析】 【分析】(1)处理含对数的函数单调性问题，先明确定义域，再对导函数通分因式分解，将导数符号判断转化为分子二次式的符号分析；(2)讨论含参函数单调性，以导函数零点的定义域内外关系、零点间的大小关系为分类标准，逐段确定导数正负与函数增减性；(3)已知极值点个数求参数范围，可转化为导函数在定义域内的变号零点个数问题，结合二次方程根的分布条件列不等式求解. 【小问1详解】 ，函数定义域为． 当时，，， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故在上单调递增，即的单调递增区间是，没有单调递减区间. 【小问2详解】 ，函数定义域为．， 令，得或． ①当，即时， 当时，，故；当时，，故． 故在上单调递减，在上单调递增． ②当，即时， 当时，，，；当时，，；当时，两项均正，． 故在和上单调递增，在上单调递减． ③当，即时，由（1）得在上单调递增． ④当，即时，当时，两项均负，；当时，，，；当时，两项均正，． 故在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 函数有两个不同极值点，等价于在 上有两个不等的变号实根， 方程 的两根为 和 ，需满足： 两根均在定义域内： ； 两根不相等（保证不为重根时不变号）： ， 所以 的取值范围是 . 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【解析】 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2026-2027学年度第一学期第一次月考试卷 高三数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于原点对称 C. D. 当时， 10. 已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） A. 的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数 C. 函数在区间上是减函数 D. “函数取得最大值”的一个充分条件是“” 11. 已知为的导函数，对，均有，且，则（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则xy的最大值为_____________. 13. 在中，角所对的边分别为，已知，，，则______． 14. 若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间． 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求证：在上单调递增； （3）若在区间上有解，求整数的最大值． 17. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 18. 已知函数， （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）若在定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围． 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $