宁夏银川市景博中学2026-2027学年高三上学期第一次检测数学试卷

检索一数学答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A D 二、 多选题 9 10 11 ACD AB ABD 三、填空题 12. 0.3413 15V26 13 26 8V2 14 3 四、解答题 15.(1) :平面AACC⊥平面ABC,平面AACC∩平面ABC=AC, BCC平面ABC,.BC⊥平面AACC :BCc平面ABC,.平面ABC⊥平面AACC, 四边形AACC是菱形，∴.AC⊥AC 又ACc平面AACC,平面ABC∩平面AACC=AC .AC⊥平面ABC. (2) 取棱AB,的中点F,连接DF,EF 'D,E分别是棱BB,AC的中点， .DF∥AB,EF∥BC BC∥BC,.EF∥BC, ·:EFd平面ABC,BCC平面ABC, .EF∥平面ABC; 同理由DF∥AB,得DF∥平面ABC ·DF OEF=F,DF,EFC平面DEF ∴.平面DEF∥平面ABC; 又DEc平面DEF,∴.DE∥平面ABC, 16.(1)因为小长方形面积和为1 所以10×(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)=1,解得a=0.010 则平均数为0.010×10×45+0.015×10×55+0.025×10×65 +0.035×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=68.5 (2)由题意得10×(0.010+0.015+0.025+0.035)>0.8， 则分数线在70,80)内，且设分数线为x, 可得10×(0.010+0.015+0.025)+0.035×(x-70)=0.8 解得x≈78.6，即获奖分数线为78.6 (3)由题意得两组的频率之比为1：2， 现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则分别抽取2人，4人，记为a,b,1,2,3,4 所有可能的情况为(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共15种 其中至少有1人的年龄在[90,100]的情况有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3), (a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),共9种 故所求概率P=9-3 155 17.(1)证明：连结EC,过C作CF⊥BE,垂足为F,DH⊥BE于H. EH=BF=1,RtAEFC中，CF=√5，EC=2V5. :△AEC中，AC=2√7，(27)2=28=42+(25)2，即AC2=AE2+EC2, 所以AE⊥EC,又AE⊥EB,EB∩CE=E,ECC平面EBC,EBC平面EBC ∴.AE⊥平面BCDE,又因为AEC平面ABE, 平面ABE⊥平面BCDE· (2)因为AE⊥平面BCDE,如图所示以E为原点，过E点与BE垂直的直线 为x轴，EB,EA为y,z轴建立坐标系，由(1)知E(0,0,0),B(0,4,0) A(0,0,4).D(31,0,C33,0). 所以ED=（N51,0）.EA=(0,0,4).设平面EAD法向量m=(:,,) B方 由m-ED=0,mEA=0: 小3x+%=0,取x=1,得=3.有m=,-5,0 4z1=0 又CB=（-V51,0）,BA=(0,4,4,设平面CAB法向量i=(x,2,2) 由n.CB=0,i.BA=0 -√3x2+y2=0 -4y2+422=0 取为=1，得为=2=5，有 i=(,v5,5) 设平面ADE与平面ABC的夹角为0，则cos0=m:月-1-3-万 mn2x√万7 所以sin0=V-cos'0=y42 7 18.(1)解：根据题中信息可得如下2×2列联表： A地 B地 总计 长纤维 25 35 60 短纤维 15 5 20 总计 40 40 80 可得K2= 80×(25×5-15x35)2 ≈6.667>6.635 60×20×40×40 因此，在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系” (2)解：由题意，80根棉花纤维中短纤维”共20根，其中，B地的短纤维”共5根， 所以随机变量Y的可能取值有0,1,2， 可得P(Y=0)= C-21 3038 P(r=1)-cich_15 C2.38 Pw-是5 所以，随机变量Y的分布列如下表所示 上 0 1 2 21 15 38 38 19 所以.E(y)=0x2+1 38 +2x11 1 38 192 (3)解：从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取1根是长纤维的频率是 8 所以随机变量X-83) 7121 可得D(X)=3××二= 8864 19.因为平面ABC/1平面AB,C, 平面ABC∩平面PBQ=B2,平面AB,C∩平面PBQ=1, 所以IIIB2,BQc平面ABC,I文平面ABC,所以III平面ABC; (2)AB=AC2-BC2=23. 如图，以点B为原点，以BC,BA,BB为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设BP=m,g1,V5,0）.P(m,0,6),P=(m-l,-V5,6) 平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1) 设PQ与平面ABC的夹角为O OP.n 则sin0=cos(oP, 6 2V39 op V(m-1)2+3+36 13 解得：m=1, 所以BP=1: (3)直线1与AC交于点M,连接MQ 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面为梯形BQMP, B(0,0,0).根据(2)可知，B0=1,V5,0.BP=(m,0,6) 则点P到BQ的距离d= B2 BP.BO m2+36 BO 4 由MP∥BO,且an∠ACB=5,所以∠ACR= 3 所以△MPC是等边三角形，则MP=2-m, 3m㎡2+36 听以平面P8Q裁直三棱柱所得的载面QMP的面职S=2+2-m) 0≤m≤2 S=-3mr+14+24-m）6m= -6(m2-2m+24）3(m-12+2 2√3m2+1444V3m2+1442V3m2+144 <0恒成 立 所以函数S在区间0,2上单调递减，所以S的最大值为S(0)=12. 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值为12. 景博中学2026-2027学年第一学期第一次检索 高三数学试题 班级：______ 姓名：______ 考号：______ 时间：150分钟 分值：150分 （Ⅰ卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 6. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 8 C. 2 D. 4 7. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 8. 已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题题6分，共18分. 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 下列结论正确的有（ ） A. ， B. “，”是假命题 C. “有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D. “，”的否定是“，” 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球球心到平面的距离为 C. 存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 （Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则=_________. 13. 若正三棱锥的侧棱长为，且，则点到侧面的距离为_______． 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者验算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面. 16. 一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线(精确到)； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率． 17. 如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 18. 新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）． 纤维长度 A地（根数） 4 9 2 17 8 B地（根数） 2 1 2 20 15 （1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（的观测值精确到0.01）． 附： A地 B地 总计 长纤维 短纤维 总计 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为Y，求Y的分布列和数学期望； （3）根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的方差． 19. 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l． （1）证明：平面ABC； （2）若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； （3）求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 景博中学2026-2027学年第一学期第一次检索 高三数学试题 班级：______ 姓名：______ 考号：______ 时间：150分钟 分值：150分 （Ⅰ卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题题5分，共40分. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题题6分，共18分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ABD （Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者验算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面. ∵四边形是菱形，∴. 又平面，平面平面， ∴平面． （2） 取棱的中点，连接. ∵分别是棱的中点， ∴∥，∥. ∵∥，∴∥. ∵平面，平面， ∴∥平面； 同理由∥，得∥平面. ∵平面， ∴平面∥平面； 又平面，∴∥平面. 【16题答案】 【答案】（1），平均数为； （2）； （3）. 【17题答案】 【答案】（1）证明：连结，过作，垂足为，于． ，中，，． 中，，，即， 所以，又，,平面,平面， 平面，又因为平面， 平面平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1）列联表： 地 地 总计 长纤维 短纤维 总计 在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系” （2）的分布列如下表所示： 期望为 （3） 【19题答案】 【答案】（1） 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，平面，平面，所以平面； （2）1 （3）12 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $