宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

平罗中学2025-2026学年度第一学期第一次月考试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分. 每道题只有一个选项符合题目要求.） 1．设集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．设函数，若，，，则，，的大小为（     ） A． B． C． D． 5. 向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　 　） A．1 B．2 C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（     ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图像关于点对称 D．在上单调递增 8．双曲线的两焦点为，P在双曲线上，且满足，则的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 二、多选题：（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（   ） A． B． 直线与面所成角为 C． 线段 D． 直线面 10．下列说法正确的是（     ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．一组数据的第百分位数为 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（　 　） A．函数的极大值点为2 B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．函数的值域为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12．已知 ， ，则 的最小值为 13．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为 14．已知在△ABC中，内角的对边分别为，，且，则△ABC面积的最大值为 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15．已知等差数列的公差为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前n项和. 16．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17．如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内． 19. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． (1)当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； (2)当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一学期月考试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 命题教师：高思杰 审题教师: 张含笑 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分. 每道题只有一个选项符合题目要求.） 1．设集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．设函数，若，，，则，，的大小为（     ） A． B． C． D． 5. 向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　 　） A．1 B．2 C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（     ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图像关于点对称 D．在上单调递增 8．双曲线的两焦点为，P在双曲线上，且满足，则的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 二、多选题：（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（   ） A． B．直线与面所成角为 C．线段 D．直线面 10．下列说法正确的是（     ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．一组数据的第百分位数为 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（　 　） A．函数的极大值点为2 B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．函数的值域为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12．已知 ， ，则 的最小值为 13．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为 14．已知在△ABC中，内角的对边分别为，，且，则△ABC面积的最大值为 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15．已知等差数列的公差为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前n项和. 16．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17．如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内． 19. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． (1)当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； (2)当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 【参考答案】： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A D C D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）解：由题意知，等差数列的公差为，且， 则，且， 联立方程组，解得，则， .………………………5分. 所以，即数列的通项公式为. .…………………7分. （2）解：由（1）知，可得， 则 所以数列的前n项和.....……………13分. 16．【解析】（1）定义域为R，， 令，解得或， .…………………………………2分. ①当时， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； .…………………………………4分. ②当时，则在R上单调递增； ③当时， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； .…………………………………7分. 综上，当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． ………………9分. （2）由（1）知时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为， 所以，解得； .…………………………………12分. 时，在R上单调递增，显然无极值点，不合题意； 时，在和单调递增，在单调递减， .……………14分. 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意； 综上，，即的取值范围是.…………………………………15分. 17.【解析】【详解】（1）因为为的中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为为的中点，所以. .…………………………………5分. （2）如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点垂直平面为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 取的中点，连接．因为，所以． 由（1）平面，平面，所以平面平面． 因为平面平面，平面，， 所以平面，所以， .………………………………8分. 所以，，． 设平面的一个法向量为， 所以，即，可取． 同理，可得平面的一个法向量为． .…………………………12分. 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面的夹角为....………………………………15分. 18【解析】（1）由题意，，解得， 故椭圆的方程为. .…………………………………5分. （2） 如图，设，由题意，， 则直线的方程为，代入， 整理得：， 则，即，， 故， .…………………………………9分. 直线的方程为，代入， 整理得：， 则，即， ，故， .………………………13分. 于是， ， .………………………15分. 因，故可得， 即为钝角，因圆的直径所对的圆周角为直角， 故点在以为直径的圆内. …………………………………17分. 19.【解析】（1）X的可能取值为0,1,2， 当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题， 所以， .…………………………………2分. 当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题， 甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为， 所以， .…………………………………5分. 当时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题， 概率为， ②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为， 所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． .…………………………………9分. （2）两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为. 所以获得纪念品的概率， 又因为，所以，即， .……………………………13分. 对P进行变形， ， 由可得，即，所以， 当且仅当即时等号成立. 所以P的最小值. 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为．…………………………………17分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $