精品解析：河北省保定市第三中学2025-2026学年高二上学期创新班12月月考数学试题

保定三中2025—2026学年度第一学期12月月考 2024级创新项目数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 2. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，两类不同的元件并联成一个系统.当，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知，正常工作的概率分别为0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ） A. 0.98 B. 0.26 C. 0.72 D. 0.02 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在上的最大值为，则的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 10. 设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则 11. 为坐标原点，点，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则_______． 13. 已知，，则的值为 ． 14. 在集合中任取两个数，构成以原点为起点的向量从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 16. 某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图. （1）分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）； （2）若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）当时，求的最值． 18. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； （3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定三中2025—2026学年度第一学期12月月考 2024级创新项目数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：，所以，故选C． 考点：向量的坐标运算． 2. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样可得出关于的等式，解之即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得． 故选：D． 3. 如图，，两类不同的元件并联成一个系统.当，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知，正常工作的概率分别为0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ） A. 0.98 B. 0.26 C. 0.72 D. 0.02 【答案】A 【解析】 【分析】利用对立事件的概率计算公式求解即得. 【详解】系统正常工作的概率为. 故选：A 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】，． ，又， ，又，， 故选B． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 5. 如图，在中，点是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 6. 有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照方差的公式计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：C 7. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在上的最大值为，则的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在，上的最大值为，分类求解得答案． 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象． 再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象， ，上，，， 当，即时，则，求得． 当，即时，由题意可得， 作出函数与的图象如图： 由图可知，此时函数与的图象有唯一交点，则有唯一解． 综上，的取值个数为2． 故选：B． 【点睛】本题考查型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 10. 设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C. 【详解】A，若，则，A错误； B ，因为，则，B正确； C，因为A与B相互独立，则也相互独立， 则，C错误； D，若A与B相互独立，则也相互独立， 则，D正确. 故选：BD 11. 为坐标原点，点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用三角函数平方关系计算和的模长，判断是否相等.选项B：通过两点间距离公式分别计算和，对比表达式是否一致.选项C：结合向量点积的坐标运算公式，再利用两角和的余弦公式，比较与的结果.选项D：通过向量点积的坐标运算，结合余弦差角公式化简，比较与的结果. 【详解】对于A、易知，A正确； 对于B、， ，B不正确； 对于C、， ，C正确； 对于D、， ，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，利用共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以， 故答案为：2. 13. 已知，，则的值为 ． 【答案】3 【解析】 【详解】，故答案为3. 14. 在集合中任取两个数，构成以原点为起点的向量从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先枚举集合中构成的所有向量，列出任取两个不共线向量的全部情况（确定基本事件总数）；再通过向量点积求夹角正弦，结合平行四边形面积公式（两向量模长乘积乘夹角正弦）计算每组向量对应的面积，统计面积不超过的情况数；最后利用古典概型概率公式计算概率. 【详解】可以为，，，，，， 从中任选两个不共线向量，即有以下情况，， ，，，，， ，，，，，共12种情况， 当选择时，，故， 此时平行四边形的面积为，满足要求， 同理可得，当选择，，，， ，时，面积不超过2，综上，共7种情况，满足要求， 故平行四边形面积不超过2的概率为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图. （1）分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）； （2）若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1，可求得，然后利用频率分布直方图平均值及百分位数的求法求解即可； （2）根据分层随机抽样可知从航模社抽取2人，建模社抽取3人，再利用列举法求解古典概型的概率即可. 【小问1详解】 根据题意，，解得， ，解得， 则航模社测试的平均成绩， 设建模社测试成绩的分位数为，又的频率为， 的频率为，的频率为， 其中，， 所以在之间， 则，解得， 所以建模社测试成绩的分位数为. 【小问2详解】 根据题意，航模社“体能合格”的人数为人， 建模社“体能合格”的人数为人， 故航模社“体能合格”与建模社“体能合格”的人数之比为， 则按分层随机抽样从航模社抽取2人，分别为，建模社抽取3人，分别为， 再从这5人中选2人担任经验分享会主持人共有： ， ，共10种选择， 其中2人都来自“建模社”有3种选择， 2人都来自“建模社”的概率为. 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）当时，求的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的单调性可得出函数的单调递减区间； （2）设，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为．- 【小问2详解】 设，则，因为，所以， 所以，所以的最小值为，最大值为. 18. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； （3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 【答案】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值如表所示； （2）根据（1）的结果，先计算，设甲参加第一轮测试值记为，第二轮测试值记为，则即可求解； （3）先计算，再计算两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率，最后计算即可. 【小问1详解】 列举出第二次排序时所有可能的及相应的值列表如下： 【小问2详解】 由（1）可知，， 设甲参加第一轮测试值记为，第二轮测试值记为， 所以 . 【小问3详解】 由（1）可知，， 则两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率， 所以. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $